2020届高考数学专题十等差数列与等比数列精准培优专练理.docx

培优点十 等差数列与等比数列一、等差、等比数列的基本运算例1：等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为，则等于（）ABCD【答案】B【解析】由，得又，所以，所以，所以，所以，故选B例2：是公差不为0的等差数列，满足，则该数列的前项和等于（）ABCD【答案】C【解析】由题意，得，即，即，又因为，所以，则该数列的前项和故选C例3：已知递增数列对任意均满足，记，则数列的前项和等于（）ABCD【答案】D【解析】因为，所以，若，那么矛盾；若，那么成立；若，那么矛盾，又有，于是得到，即，数列是首项为，公比为的等比数列，所以前项和为，故选D二、等差、等比数列的性质及应用例4：已知数列，满足，其中是等差数列，且，则等于（）ABCD【答案】C【解析】数列，满足，其中是等差数列，数列是等比数列，由，可得，即，例5：各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则等于（）ABC或D或【答案】B【解析】数列为等比数列且数列的前项和为，也构成等比数列，各项均为正数的等比数列，故选B例6：等比数列的首项为，公比为，前项和为，则当时，的最大值与最小值之和为（）ABCD【答案】C【解析】依题意得，当为奇数时，随着的增大而减小，随着的增大而增大，；当为偶数时，随着的增大而增大，随着的增大而增大，因此的最大值与最小值分别为、，其最大值与最小值之和为，故选C三、等差、等比数列的综合问题例7：已知等差数列的公差为，且（1）求数列的通项公式与前项和；（2）将数列的前项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列的前项，记的前项和为，若存在，使对任意，总有恒成立，求实数的取值范围【答案】（1），；（2）【解析】（1）由，得，从而（2）由题意知，设等比数列的公比为，则，随增加而递减，为递增数列，得又，故，若存在，使对任意总有，则，得，即实数的取值范围为四、数列与其他知识的交汇例8：已知等差数列的项和为，若，且，三点共线(该直线不过点)，则等于（）ABCD【答案】B【解析】，、三点共线，又，故选B对点增分集训一、选择题1设等差数列的前项和为，若，则等于（）ABCD【答案】C【解析】等差数列的前项和为，解得，故选C2等比数列中，则数列的前项和等于（）ABCD【答案】D【解析】等比数列中，数列的前项和，故选D3在正项等比数列中，已知，则的最小值为（）ABCD【答案】C【解析】在正项等比数列中，当且仅当时取等号，的最小值为，故选C4在等比数列中，是方程的两根，则的值为（）ABCD【答案】A【解析】，是方程的两根，为等比数列，又，同号，故选A5一个等比数列的前三项的积为，最后三项的积为，且所有项的积为，则该数列的项数是（）ABCD【答案】B【解析】设等比数列为，其前项积为，由已知得，可得，6若是等差数列，首项，则使前项和成立的最大正整数是（）ABCD【答案】C【解析】因为，所以，所以，所以使前项和成立的最大正整数是，故选C7在数列中，若，且对任意正整数，总有，则的前项和等于（）ABCD【答案】C【解析】依题意得，即有，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故选C8记为正项等比数列的前项和，若，且正整数，满足，则的最小值是（）ABCD【答案】C【解析】是等比数列，设的公比为，解得(负值舍去)又，当且仅当，即，时等号成立，的最小值是，故选C9数列是以为首项，为公比的等比数列，数列满足，数列满足，若为等比数列，则等于（）ABCD【答案】B【解析】由题意知，当时，不是等比数列，所以由，则，得，要使为等比数列，必有，得，故选B10在我国古代著名的数学专著九章算术里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢问：几日相逢？（）A日B日C日D日【答案】B【解析】由题可知，良马每日行程构成一个首项为，公差的等差数列，驽马每日行程构成一个首项为，公差为的等差数列，则，则数列与数列的前项和为，又数列的前项和为，数列的前项和为，整理得，即，解得：或(舍)，即九日相逢故选B11在由正数组成的等比数列中，若，则的值为（）ABCD【答案】B【解析】因为，所以，即，所以二、填空题12数列的通项，其前项和为，则_【答案】【解析】由题意可知，若，则；若，则；若，则，13已知数列满足，且，则_【答案】【解析】由，得，于是，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，故，14数列是首项为，公差为的等差数列，其中，且设，若中的每一项恒小于它后面的项，则实数的取值范围为_【答案】【解析】由题意得，则，即数列是以为首项，为公比的等比数列，要使对一切恒成立，即对一切恒成立；当时，对一切恒成立；当时，对一切恒成立，只需单调递增，当时，取得最小值，即，且，综上，15艾萨克牛顿(1643年1月4日-1727年3月31日)英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时给出一个数列满足，我们把该数列称为牛顿数列如果函数有两个零点，数列为牛顿数列，设，已知，则的通项公式_【答案】【解析】函数有两个零点，解得，则则，则数列是以为公比的等比数列，又，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则三、解答题16已知数列的前项和为，且（1）求，的值；（2）是否存在常数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值和通项公式；若不存在，请说明理由【答案】（1），；（2）存在，【解析】（1）当时，由，得；当时，由，可得；当时，由，得（2）令，即，解得，由及，两式相减，得由以上结论得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，因此存在，使得数列为等比数列，所以，17已知数列的前项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，若对于任意正整数都成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）由已知得，令，得，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以（2）由