高中数学反思性教学模式探究案例——《平面向量基本定理和正交分解及坐标表示》的教学设计.doc

高中数学反思性教学模式探究案例平面向量基本定理和正交分解及坐标表示的教学设计前言：平面向量基本定理既是本节的重点也是本节的难点。平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量均可以表示为两个不共线向量的线性组合，这样，如果平面内向量的始点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任意一个点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示，这是引进平面向量基本定理的一个原因。而平面向量的正交分解及坐标表示是平面向量基本定理的一个应用，同时也为平面向量的坐标表示奠定理论基础。按照浙江省普通高中新课程实验数学学科教学指导意见建议2.3.1平面向量基本定理和2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示课时分配1课时。一、课标解读：1、课标要求：了解平面向量的基本定理及其意义；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；通过本节内容的学习,认识平面向量基本定理是实现向量由几何形式过渡到代数形式的梁。培养观察、分析、归纳、抽象的思维能力。2、学习目标：了解平面内任一向量用两不共线的向量表示出来的形成过程，掌握基底和两向量的夹角、垂直等概念；掌握向量的正交分解，在此基础上会用坐标表示向量。3、学习策略：分解与合成是一个辩证统一的过程，平面向量基本定理的实质是把平面上的任一向量按某一组基底进行分解与合成的过程，在学习中要通过作图加以体会。平面向量的正交分解有着丰富的物理背景，在学习的过程中要不断地和力、位移、速度的分解加以类比，培养自己的知识迁移能力。通过本节内容的学习，要深刻体会知识与知识之间、事物与事物之间的相互联系和相互转化，不断提高反思、构建能力，领悟知识的形成、发展、应用过程。二、教学过程：1、情境创设：音乐是人们休闲时候的一种选择，不管是流行歌曲的通俗,摇滚歌曲的动感，还是古典音乐的高雅，都给了不同的人不同的享受。 不一样的音乐，不一样的感受。事实上，音乐有7个基本音符：Do Re Mi Fa Sol La Si,所有的乐谱都只是这几个音符的巧妙组合，音乐的奇妙就在于此。在多样的向量中，我们能否找到它的基本音符呢？2、合作探究：（1）探究（一）：平面向量基本定理 教学设计的背景：教科书上首先通过“思考”：给定平面内任意两个向量,让学生作出向量，进而让学生思考给定平面内任意两个向量，平面内的任意向量是否都可以用形如的向量表示，然后通过作图给出肯定的回答（没有给出详细的证明过程）。教学中可先让学生分析向量可能的位置关系，区分出共线和不共线两种情况，然后作出这两种情况下的。在此基础上，再进一步思考“平面内任一向量是否都可以用形如的向量表示”。通过作图验证共线时不能，不共线时总能的结论。为了使学生更好地理解平面向量的基本定理，教学中先从平面几何中引入分解形式，通过作平行四边形的方法引入向量的分解。虽然向量的加法、数乘向量有非常坚实的物理背景，但当我们舍弃了这种背景而只从纯粹的数学的角度来看问题的话，上述考虑设计可使我们看到引进相应的向量运算的理由，这也可以使学生更容易接受并喜爱向量运算。从前面的研究中我们发现任意一个平面向量都可以用两个不共线的向量表示。为了使学生更好地理解平面向量定理，教学中用几何画板作图，然后改变向量的方向和模的大小，引导学生发现取不同值时的图象特征，指出上述向量，a都为确定的向量，且不共线时，则实数存在且唯一。引导学生证明当共线时，a与也是共线的，不能代表平面内所有的任意向量。用几何画板演示说明：基底可以任意选取，同一平面可以有不同的基底，就像平面上可选取不同的坐标系一样。只要两个向量不共线，就可以作为平面内所有向量的一组基底。平面内两个不共线的向量相当于“基本音符”，利用平行四边形法则和共线向量定理可以将平面内任一向量a用平面不共线的向量表示，这实际上也是向量合成的逆向思维。（2）探究(二)：平面向量的正交分解及坐标表示 为了研究问题的方便，引进向量夹角的概念，两个非零向量的夹角在区间0，180上。两个向量的夹角中，垂直是一种特殊情形。在物理学中，一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的G，可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面并压紧斜面的力F2。这样的分解有以下特点：在两个互相垂直方向上的分解，叫向量的正交分解。由平面向量基本定理知，它的实质是平面内任一向量都可以用两个不共线的向量表示，也可以看作是分解为两个不共线的向量，作一般到特殊的处理，即的分解。用几何画板演示： 将向量放入坐标系，目的就是要与坐标联系，引导学生取两个互相垂直的基向量将向量进行正交分解。即将a分解为i，j，表示为a=xi+yj,由平面向量基本定理，x,y是唯一确定的，则a就唯一对应有序实数对（x,y）得到向量a的坐标。设计例2要求学生用基底i，j表示a,b,c,d，其关键是把a,b,c,d表示为基底i，j的线性组合。一种方法是把a正交分解，看a在x轴、y轴上的分向量的大小，把向量a用i，j表示，进而得到向量a的坐标。另一种方法是把向量a移到坐标原点，则向量a终点的坐标就是向量a的坐标。同样的方法可以得到向量b,c,d的坐标。另外，本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系：a与b关于y轴对称，a与c关于原点中心对称，a与d关于x轴对称，由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标。得到的启示是要充分运用图形之间的几何关系求向量的坐标。让学生发现有一个向量就有唯一确定的一个数对；反过来，一个数对对应着无穷多个向量，但这些向量都是相等的。(这在后面向量的坐标上要让学生进一步有所认识，知道坐标对应的向量的图形只是从原点出发的向量，但其他与它相等的向量都是由这个坐标表示。)在平面直角坐标系内，每一个平面向量a都可以用一有序实数对（x,y）唯一表示，而有序实数对（x,y）正好是向量a的终点的坐标，这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射，从而实现向量的“量化”表示，使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想。三、反思感悟1、反思教学内容本课时内容包含“平面向量基本定理”及“平面向量的正交分解及坐标表示”。此前的教学内容由实际问题引入向量概念，研究了向量的线性运算，集中反映了向量的几何特征,而本课时之后的内容主要是研究向量的坐标及坐标运算，并运用向量的坐标运算来解决问题，更多的是向量的代数形态，本节内容从前面的知识中得出平面向量基本定理，并以此为基础定义向量的坐标，所以本节内容是向量中承前启后的内容。作为一种数学工具，在中学数学中向量的优势更多地体现在沟通几何与代数，并将几何及其它的一些问题通过代数运算来研究，这样一个思辨的过程变为了一种程序化的操作过程。向量基本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑基础，因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解建立坐标系才有了依据,同时，只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算。向量基本定理的研究综合了前面的向量知识，同时又为后继的内容作了奠基，这就决定了本课内容在向量知识体系中的核心地位。就学生的数学学习而言，这一内容也是体会数学化的一个很好的过程，它充分地展现了数学结构体系的严谨性和逻辑性，(实际上也有教材是不出现向量基本定理直接进行向量坐标运算的，教材安排它的作用可能更多地在于体现数学结构体系的完备性)它有助于学生体会数学思维的方式和方法，培养学生进行数学的思考和数学的说理.所以它在学生的学习上也具有十分重要的地位。2、反思教学目标 理解平面向量的基本定理，具体要求为：(1)运用已有的向量知识研究平面向量的基本定理，经历给定的向量在一组基底上唯一分解的过程；(2)体验在解决问题过程中选择适当的基底带来的便捷,帮助理解基底的作用；(3)将向量的“唯一分解”与实数对的“一一对应”建立联系，指出这样的对应奠定了向量建立向量坐标的基础，体会数学中的问题转化，及定理的深刻涵义。理解向量坐标的定义,并能用坐标表示坐标平面上的向量，具体要求为：(1)结合学生在物理中已有的认知,来进一步从数学上学习正交分解及其意义；(2)结合向量及平面直角坐标系的相关基础正确把握坐标向量的几何意义。反思向量坐标的建立过程,体会平面向量坐标建立的过程及平面向量基本定理的作用和意义。3、反思教学过程 前面学生已经掌握了平面向量的线性运算，本节课的目的是要帮助学生建立向量的坐标。这中间实际上有两个问题，先是运用已有的知识去研究一个问题(向量的基本定理)，然后以这个定理为基础建立一个新的研究体系(建立平面向量的坐标)。在教学过程中围绕向量在两个基底上的唯一分解展开，对于基底的认识和理解是学生在学习中已在运用的，在物理中已有了将力、速度（向量）进行分解合成的经验，在前面的向量学习中已有向量线性运算的经验，只是没有专门提出而已，所以引入基底这一概念应该是比较自然的，但相当一部分学生在学习中只是依样画葫芦，并不清楚引入基底这个概念的意义，当然更不能很好地选择、运用基底进行运算求解，有了平面向量基本定理可以运用定理说理，让学生理解基底的作用及意义。所以在这一点上教学中进行了探究性问题设计引导。对于平面向量的基本定理,有些学生只是从形式上加以记忆，缺乏对问题本质的理解,从卷面上看学生可能不会有什么大的问题,但学生对于数学的理解肯定会产生影响，所以在这一内容的教学中教师要不断地帮助学生进行反思，通过对教学过程的反思来帮助学生改进学习方法，这也是改善学生的思维品质，提升学生的数学能力的一个途径，这一过程是隐性的、长期的，但这也是必须的。学生在向量的学习中存在的一个困难是学生在理解始点不在坐标原点的向量的坐标表示时会出现障碍，其原因是在直角坐标系中点和点的坐标是一一对应的,到了向量时,向量的坐标只是和从原点出发的向量一一对应,但只要结合向量相等的条件学生应该容易克服这一难点,不过值得注意的是在后面学生用向量求点的坐标时还会产生问题,如已知向量及点的坐标求点的坐标,有些学生还会发生错误,这时还必须结合图形及向量的坐标帮助学生进行理解,必须使学生在这种特定的场合中明白:要求点的坐标就是要求向量的坐标.同样一个问题也需要学生从不同的侧面来帮助理解.4、反思教学支持条件 这里对于平面向量基本定理的研究，并不是严格的证明，为了能便于说明问题建议通过教育技术的运用来帮助学生理解，这一过程最好能在教学中有充分地展现，这也是关注教学过程，帮助学生养成动手动脑的习惯。另外现在的许多软件具有很强的交互性，所以在教学中可以充分地运用技术，如结合几何画板进行形象的教学，能使学生的学习富有乐趣，同时又可以通过不同的方式来刺激学生，帮助学生迅速地掌握