第二十四讲概率.doc

同步讲台（24）第二十四讲 概 率 知点 考点 答点（1）随机事件概率学把“可能性”引进数学在概率学中，我们称一定发生的事件为必然事件，不可能发生的事件是不可能事件，可能发生也可能不发生的事件是随机事件. 概率也就是事件发生的可能性.所以必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0，而随机事件的概率在区间（0，1）之中.【例1】 同时掷两枚骰子，则以下事件各是什么事件？（1） 点数之和是正整数；（2） 点数之和小于2；（3） 点数之和是3的倍数.【解析】（1）是必然事件，（2）是不可能事件；（3）是随机事件.（2）等可能事件概率公式的起源如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且这n个结果出现的可能性相同，则称这类事件为等可能事件.由此导出基本概率公式是：.（其中n和 m分别表示基本事件总数和事件A发生的次数.）【例2】将一枚骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 （ ） 【解析】抛掷一枚骰子后，出现任何一面的可能性相同.所以本题属于等可能事件.一枚骰子连续抛掷三次，则基本事件总数；设事件A；连掷3次所得点数依次成等差数列，那么3数相等时有111，222，666等六种；3数不相等时有123，234，345，456，135，246及其反序数等12个.于是事件A发生的次数种.故.选B.（3）互斥事件概率的加法原理在某种试验中，不能同时发生的事件称为互斥事件.如果A、B是互斥事件，那么：.【例3】在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ ）A B C D 【解析】设小球标注的数字之和为3与6的事件分别为A、B.显然A与B不能同时成立，是互斥事件.由于基本事件总数事件A只有1+2=3一种，；事件B有1+5=2+4=6两种，.A与B互斥，.选A.（4）对立事件两互斥事件的特写在一次试验中，如果事件A与B一定恰有一个发生，则称事件A与B是对立事件.注意对立事件必然互斥，但是互斥事件不一定对立.一般地，记A的对立事件为.由于A与具有互补性，所以.这是简化概率计算的基本公式.【例4】8个篮球队中有2个强队，先任意将这8个队分成两个组(每组4个队)进行比赛，这两个强队被分在一个组内的概率是多少?【解析】 我们用a、b分别记八个队中的两个强队.令C=“a队与b队分在同一组”，则=“a队与b队不在同一组”.a队与b队不在同一组，只能分成两种情况：a队在第一组，b队在第二组，此时有CCC种分法；a队在第二组，b队在第一组，此时有CCC种分法.这些分法中任何两种都是不同的，因此，有C+ C种分法.八个队平分成的两组的分法共CC= C种.每一种分法是一基本事件，任何两个基本事件都是等可能的.这样，P()=，P(C)=1-P()=1-=.【点评】 应抓住两个强队被分在一组和不同一组是对立的事件，由此入手来解之.（5）相互独立事件概率的乘法原理如果事件A与B的发生互相没有影响，则称事件A与B为相互独立事件.特别注意：不能将互斥事件与相互独立事件搞混，前者相互约束，而后者相互无关；前者不可能同时发生，而后者可以同时发生.如果A与B是相互独立事件，那么A与B同时发生的概率是：.【例5】甲、乙两个袋中均有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲袋装有4个红球、2个白球, 乙袋装有1个红球、5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球,则取出的两球都是红球的概率为 (答案用分数表示) 【分析】分别从甲、乙两袋中随机地取球，则取球的结果相互没有影响.所以本题中发生的事件是相互独立事件.【解析】两袋中各有6个球，则各取1球的基本事件总数为.设从甲袋中取出一个球是红球的事件为A，从乙袋中取出一个球是红球的事件为B，那么.故“取出的两球都是红球的概率”是.（6）独立重复试验加法原理与乘法原理的复合在调查某事件发生的概率时，往往要做大量重复的试验.这些试验不仅相互独立，而且都是同一类型的等可能事件.我们称这种试验为独立重复试验.独立重复试验中的概率计算公式是：.【例6】甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为06，则本次比赛甲获胜的概率是（ ） (A1 0216 (B)036 (C)0432 (D)0648【分析】两人赛球不止一局，且每局每人获胜的概率相同.所以本题这种赛球属于独立重复试验.【解析】设事件A：在“3局2胜”的球赛中甲获胜，则A有3种可能.（1） 前两局甲胜，其概率为；（2） 1、3局胜，2局负，其概率为（3） 首局负，2、3局胜，其概率为显然3种情况互斥，故选D.【说明】本题虽然属于独立重复试验.的题型，却有不能死套公式.这是因为：如果甲前两局获胜，则无须打第3局.（7）和事件概率计算与集合计数在某次试验中，如果事件A与B不互斥，则计算A与B都发生的概率不能用简单的加法，这是因为事件A与B含有交叉的部分，而这部分被重复计算一次，应该把重复计算的数据减去.和事件的正确计算方法是：.【例7】某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响（I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；（II）任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培养的概率【分析】在题设的两项培训中，每个下岗人员都有3种选择方法：参加1项、两项或不参加培训.所以仅根据现有数据，无法判断哪些是仅参加了一项培训，哪些是两项培训都参加了的.所以本题属于典型的计算和事件的题型.【解析】设事件A表示参加财会培训，事件B表示参加计算机培训，则表示同时参加两项培训.（I） 任选1名下岗人员，则该人参加过培训的概率是：.（II） 设事件C表示3人中至少有2人参加培训，则事件表示3人中至多1人参加培训.根据（I），三人中无人参加培训的概率是；而三人中恰1人参加培训的概率是：.这两种情况互斥，于是3人中至少有2人参加培训的概率是 通法 特法 妙法（1）穷举法从集合的列举法看概率 并非每一道概率试题都适合“正难则反”.如果事件本身的数据并不庞杂，而其关系又没有简单且合适的计算方法，这时就不妨采用穷举法.【题1】一袋中装有大小相同，编号分别为的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为（） 【分析】“有放回地每次取一个球”，则各次取球的结果彼此没有影响，所以本题的题型属于独立重复试验.又由于“编号和不小于15”的反面是“编号和小于15”，情况反而复杂得多，所以计算本题的概率不适合“正难则反”.再由于“编号和不小于15”的情况十分有限，所以运用“穷举法”将各种情况逐一列出是非常合适的选择.【解析】有放回地连取2次，其基本事件总数为.设“取2次，取得两个球的编号和不小于15” 事件为A ，则A只可能有7+8，8+7，8+8三种情况，故，选D.（2）求补法正难则反减少计算量概率计算是以排列、组合及二项式计算为基础的，由于数据计算往往相当繁杂，所以尽可能减少计算量是一个十分现实的课题.根据对立事件的互补性减少计算量便是最佳选择.【题2】 某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为、，且各轮问题能否正确回答互不影响.（）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;（）求该选手至多进入第三轮考核的概率.（注：本小题结果可用分数表示）【分析】（）求该选手进入第四轮才被淘汰，则该选手必顺利通过前三轮，但第四轮没有通过；（）求该选手至多进入第三轮的情况繁多，而它的反面“已经进入前四轮”的情况只有一种，所以解本题第2问适合“正难则反”.【解析】（）设事件A：该选手进入第四轮才被淘汰，则. （）设该选手至多进入第三轮考核的事件为B，则事件表示该选手已经进入第四轮.，该选手至多进入第三轮考核的概率是：（3）图表法现有数据的科学处理 许多概率问题，题本身都提供了大量的数据，通过科学地分析这些数据从而得到科学的结论便是当务之急.利用图表对题目所给数据进行分析便是一个优质高效的选择.【题3】 某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示：分组500，900)900，1100)1100，1300)1300，1500)1500，1700)1700，1900)1900，)频数4812120822319316542频率0.0480.1210.2080.2230.1930.1650.042（I）将各组的频率填入表中；（II）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率；（III）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管3支，若将上述频率作为概率，试求灯管的使用寿命不足1500小时的概率【解析】（I）因为基本事件总数为1000，所以根据表中给出的频数可以直接写出各组的频率（见表中红字）（II）设“任取1支灯管其使用寿命不足1500小时”的事件为A，则表中的前4列便是关于A的全部数据，故0.048+0.121+0.208+0.223=0.6.（III）设“3支灯管中至少有2支使用寿命不足1500小时”的事件为B，则B有两种情况：（1）3支的使用寿命不足1500小时，其概率为：（2）3支中恰有两支使用寿命不足1500小时，其概率为：.于是P（B）=0.216+0.432=0.648.（4）信息研究法对付创新题型的基本方法在越来越多的高考试题中，注入了新时代的各种信息.也许这些试题本身的难度并不高，但是许多考生由于读不懂试题而导致失分，这种情况犹为可惜，所以我们不能不在信息研究上下一些功夫.【题4】 图l是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为、(如表示身高(单位：)在150，155)内的学生人数)图2是统计图l中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图现要统计身高在160180(含160，不含180)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是，【解析】图1的信息十分明确，我们重点研究图2.这是电脑操作的一种程序.根据题目给出的信息，它的功能是将“身高在160180(含160，不含180)的学生人数”筛选出来.