以向量的观点认识几何的本质.doc

中学几何主要是研究图形的位置关系和度量关系，属于欧氏几何的范畴。最基本的几何图形是点、线、面，由线可围成平面图形，由面可围成几何体。中学几何研究的图形可分为两类，一类是直边或直面图形，例如，直线，由直线围成的三角形，由平面围成的四面体、长方体等；另一类是曲边或曲面图形，例如，圆，球等。在中学几何中，基本几何图形点、线、面之间的位置关系主要有平行、垂直、包含（如点在直线上，线在平面内，线与线、面与面重合等），由基本图形围成的平面图形之间的关系主要有全等、相似、位似等。图形的度量主要有夹角、长度、面积、体积等。欧氏几何是基于点、直线、平面的概念构造的一个复杂公理体系，欧几里德的几何原本多达23个定义、5个公设和5个公理以及在此基础上推导出的400多个命题，而在数学的其它任何地方都很少用到这些；向量只有大小和方向两个唯一要素，且与它的起始点无关，基于向量基础上表达的欧氏空间的性质却大为方便而且简单。向量公理化体系在现代数学中起着特别重要的作用，也是大学学习数学的基础。用位移（点与点相对位置）引入向量：自由向量给定空间一点O和一个向量a,我们就可唯一确定另一点A的位置。这样我们就可用向量运算研究几何。向量法：“三步曲”向量几何不依赖于坐标系的解析几何（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何关系。向量法的基本思想：利用向量表示空间基本元素，将空间的基本性质和基本定理的运用转化成为向量运算律的系统运用：点（以确定点为始点的）向量；直线一个点A、一个方向a定性刻画；引进数乘向量ka，可以实际控制直线；平面一个点A、两个不平行（非0）向量a，b在“原则”上确定了平面（定性刻画）；引入向量的加法a+b，平面上的点X就可以表示为a+b（以及定点A）而成为可操纵的对象（定量刻画）；距离和角是刻画几何元素之间度量关系的基本量引进向量的数量积的定义 ab=|a|b|cos，作为反映向量的长度和两个向量间夹角的关系。我们特别要强调“数形结合的三座桥梁”： 解析几何 向量 函数向量是连接代数与几何的桥梁向量由大小和方向两个因素确定。大小反映了向量数的特征，方向反映了向量形的特征。向量是集数、形一身的数学概念，是数学上体现数形结合思想的典型模型。 1）向量是代数对象可以像数一样进行运算。如：向量加法、向量减法、向量的数乘。2）向量是几何对象向量有方向，可以刻画直线、平面、切线等；向量有长度，可以解决有关几何对象的长度、面积、体积等几何度量问题。利用向量的数量积推导cos(-)的公式,并以此为核心，推导出后面的一系列公式。改变学习三角函数就是背公式、记技巧，被动的模仿练习的学习方式，充分利用教材中设置的“动手实践”、“思考交流”等栏目，改变学生的学习方式。向量是沟通几何、三角与代数的桥梁数量积定义本身就把几何、代数、三角联系起来:bABea+bO平行四边形有向面积性质转化为向量的外积运算及其算律OBbaABAeecCDb aAq（a + b) e=a e +b e(a + b) e|c|=a e +b e|c|(a + b) c=a c +b c平行、垂直的条件余弦定理在三角中的应用空间向量基本结构：三条基本定理1、共线向量定理 对空间两个向量a、b（b0), a b的充要条件是存在实数x,使a=x b.用向量语言描述空间的线、线平行。两个向量平行可以说两个向量成比例两个向量平行叫做两个向量线性相关2、共面向量定理 如果两个向量 a、 b不共线,则向量c与向量 a、 b共面的充要条件是,存在唯一的一对实数x , y，使c=x a+y b建立在空间线、线平行和面、面平行性质的基础上.这样我们就可用向量语言表述空间线、面平行，面、面平行关系.三个向量共面叫做三个向量线性相关两条相交直线确定一平面3、空间向量分解定理如果三个向量a、b、c不共面,则对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使p=xa+yb+zc.空间向量分解定理表明, 三维空间中任四个向量都是线性相关。在直观背景下引进两个向量、三个向量、四个向量线性相关的概念，这十分有利于学生大学学习高等数学。应用空间向量的三个基本定理，我们就可用向量表示直线、平面以及它们之间的关系，并用向量运算处理空间的平行、垂直和度量问题(1) 分析问题中的已知和未知, 把已知条件和未知转化为向量表示,并设变元表示未知向量.(2) 进行向量运算,把最终结果转化为方程或方程组求解.(3) 在进行向量运算时要充分地运用算律和代数技能.用向量语言表示面、面，线、面平行用向量语言表示平面：给定空间一点和两个非零向量.过这一点可作一个且只可作一个平面与两个非零向量平行已知两个非零向量 v1和v2 与平面a共面,则 l/ a或在a内 v/ v1 (v2)或 v=x v1+yv2 如果平面和平面都与两个不共线的向量共面,则平面方程如果在空间任给定一点M,一平面与a、b都平行, 则空间点P在这个平面上的充要条件是,存在实数对x,y,使空间的基本性质转化为空间的向量 全等与平行的性质转化为向量及其向量的加法运算律：交换律、结合律 图形的放大和缩小和相似特征性质转化为向量的倍积运算和数乘向量的分配律 正投影、长度和角度的计算转化为向量的内积运算及其算律，平行四边形有号面积转化为外积运算及其算律以向量的观点认识几何的本质“几何学是研究现实世界物体的形状、大小与位置关系的数学学科人们通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求”度量性质不是图形本身的性质，而是图形相关与绝对形的性质。向量的思想和方法恰恰反映了几何学研究的这一本质。同时与现代微分几何的方法遥相呼应，所以在高中数学中给学生树立向量思想认识几何学既有助于认识几何问题的本质也有助于今后的进一步学习。浅谈高中数学中向量思想向量在高中数学中的地位。向量思想的重要性几何问题的大