控制工程基础第二版（徐立）课后习题答案.doc

2020-01-08 2f14fffda654ea1fe7dd671ed715e7c3.pdf- P75/75页二到四章答案2-1 试建立题2-1图所示各系统的微分方程 其中外力，位移和电压为输入量；位移和电压为输出量；（弹性系数），（阻尼系数），（电阻），（电容）和（质量）均为常数。解：2-1(a) 取质量m为受力对象，如图，取向下为力和位移的正方向。作用在质量块m上的力有外力f(t)，重力mg，这两个力向下，为正。有弹簧恢复力和阻尼力，这两个力向上，为负。其中，为、物体处于静平衡位置时弹簧的预伸长量。m根据牛顿第二定理，有其中：代入上式得整理成标准式：或也可写成：它是一个二阶线性定常微分方程。2-1(b) 如图，取A点为辅助质点，设该点位移为，方向如图。再取B点也为辅助质点，则该点位移即为输出量，方向如图ABA点力平衡方程：B点力平衡方程：由和: 得：二边微分：将代入：整理成标准式：或也可写成：它是一个一阶线性定常微分方程。2-1(c) 如图，由电路理论的基尔霍夫定律：，其中，是上的压降。即得：又因为：输出为：将和代入上式：整理成标准式：或也可写成：2-1(d) 把电路图画成如下形式，或许看得更清楚一些。由图中可见：两边微分并整理：式两边再次微分以备后用：图中上面两条并联支路两端的电压应相等：整理得：将式和式代入式：式两边微分以备后用：再观察图中，添加辅助电压，有：且有：此二式均代入式：两边微分并整理：将、三式代入式，并经整理，有：或也可写成：解法二：本题以上的求解过程较为繁复。但采用电工学中的等效阻抗法求解要方便得多，见下。由图可写出如下方程：联立式、，消去中间变量，可得：微分方程为：2-2 试证明题2-2图中所示的力学系统(a)和电路系统(b)是相似系统（即有相同形式的数学模型）。解：2-2(a) 见题图，取辅助点A、B两点。A点力平衡方程：B点力平衡方程：式两边拉氏变换：式两边拉氏变换：整理上式：式代入式，并整理得传递函数：或写成：2-2(b) 可以采用等效阻抗法。见题图，红色虚线框内分别是两个复数阻抗：为并联：为串联：而输出输入关系为：两边拉氏变换：整理得传递函数：比较两个传递函数式和式，二者在结构上完全相同；二者在参数上也呈对应关系：即：所以两个系统是相似系统。2-3 求下列函数的拉氏变换。(a)解：查拉氏变换表中序号2、3和4，然后迭加即可：(b)解：查拉氏变换表中序号8和序号9，然后迭加即可：(c)解：查拉氏变换表中序号5和6，然后迭加即可：(d)解：利用拉氏变换表中序号7：(e)解：可以利用延迟定理求解。第一步，根据拉氏变换表中序号7公式，即：当时，有又根据教材P22延迟定理公式（2-10），当时，即当时，其拉氏变换变为用代入表达式：根据，其拉氏变换变为第二步，本题化为式形式，即：根据，其拉氏变换变为：2-4 试求题2-4图所示各信号的象函数。解：2-4(a)其中，各自的象函数为：对于：对于，为延迟时间的斜坡函数，可应用延迟定理。已知单位斜坡函数的象函数为，由延迟定理，其延迟时间的象函数为。得：解：2-4(b)本小题的解题思路与(a)相同，可应用延迟定理。（1）由图可知，由4个分段阶跃函数组成，即：后3个阶跃函数分别延迟了时间，只要在各自对应的象函数乘以延迟因子即可，即：解：2-4(c) 解题思路与(a),(b)相同，仍是应用延迟定理。T2-5 求下列各拉氏变换式的原函数。(a)解：拉氏反变换(查表)：(b)解：令，得故由待定系数法求得即拉氏反变换(查表)：(c)解：令，得故由待定系数法求得即拉氏反变换(查表)：(d)解：令，则由于，根据延迟定理，有所以，(e)解：原式 所以，2-6 已知在零初始条件下，系统在单位阶跃作用时，输出响应为，试求系统的传递函数。解：单位阶跃输入时，有，依题意则系统的传递函数：2-7 已知系统的微分方程为，试求解系统在零初始条件下，输入作用下的输出。解：对微分方程两边进行拉氏变换：即：单位阶跃输入时，有，代入上式：对上式进行拉氏反变换，即得输出：2-8 试求解微分方程，设初始条件为零。解：对微分方程两边进行拉氏变换：对上式进行拉氏反变换，即得输出：2-9 求题2-9图所示各有源网络的传递函数。题2-9图解：2-9(a) 根据运算放大器“虚地”概念(参电路原理知识)，可写出2-9(b) 根据复数阻抗概念，参(a)：其中，（串联），（并联）故2-9(c) 根据复数阻抗概念，参(a)：其中，（并联），故2-10 飞机俯仰角控制系统方块图如题2-10图所示，试求闭环传递函数。题2-10图解：经结构图等效变换可得闭环系统的传递函数。为方便起见，在以下的推导中，先用符号代替具体的函数，推导完成后再代回。K2=0.5G3= K sK1=0.7K3=0.4第一步，简化一个小闭环：G3= K sK1=0.7K3=0.4第二步，再简化一个小闭环：G3= K sK1=0.7第三步，简化大闭环：最后，将各个函数和系数代回，得2-11 已知系统方程组如下，试绘制系统方块图，并求闭环传递函数。解：系统方块图为：结构图等效变换：从上图可以清晰地看出变换效果，闭环系统有三个反馈环，且不存在交叉关系。因此，从内到外逐个消除反馈环后即得系统闭环传递函数：2-12 已知控制系统结构图如题2-12图所示，求输入时系统的输出。题2-12图解：设则系统闭环传递函数为：当时（即幅值为3的阶跃函数），有：对上式进行拉氏反变换，即得输出：2-13 试用方块图等效变换化简求题2-13图所示各系统的传递函数。解：2-13(a)将前馈通道与反馈通道分开；并注意反馈符号：或者闭环传递函数：另一种解法虽未采用方块图等效变换化简方法，但却有新意。G1G2H两边除以：解：2-13(b)选择交换点时，一要预判可行性；二要看是否对全局有利：闭环传递函数：解：2-13(c)二个大反馈构成并联：闭环传递函数：解：2-13(d)为合并三个反馈环创造条件：三个反馈环为并联关系：闭环传递函数：2-14 试用梅逊公式求2-13题中各方块图对应的闭环传递函数。2-14(a) 解图中有2条前向通路，1个回路2-14(b) 解图中有1条前向通路，3个回路2-14(c) 解图中有2条前向通路，5个回路2-14(d) 解图中有2条前向通路，3个回路2-15 试用梅逊公式求题2-15图中各系统的闭环传递函数。 题2-15图2-15(a) 解图中有1条前向通路，4个回路则有 2-15(b) 解图中有2条前向通路，3个回路，有1对互不接触回路则有 2-15(c) 解图中有4条前向通路，5个回路则有 2-15(d) 解图中有2条前向通路，5个回路则有 2-15(e) 解图中有2条前向通路，3个回路，有1对互不接触回路则有 2-16 已知系统的方块图如题2-16图所示，图中为输入信号，为干扰信号，试求传递函数，。题2-16图2-16(a) 解令，求。图中有2条前向通路，3个回路，有1对互不接触回路。 则有 令，求 。有3条前向通路，回路不变。则有 2-16(b) 解令，求。图中有1条前向通路，1个回路。则有 令，求 。图中有1条前向通路，回路不变。则有 令，求 。图中有1条前向通路，回路不变。则有 2-16(c) 解令，求。图中有3条前向通路，2个回路。则有 令，求 。有1条前向通路，回路不变。则有 2-17(补充) 象函数为 应用终值定理求的终值; 求的原函数，并令求得来证明的结果。解：（1）由终值定理：（2） 得证2-18(补充) 象函数为 应用终值定理求的终值; 求的原函数，并令求得来证明的结果。解：（1）由终值定理：（2） 得证2-19(补充) 某控制系统的微分方程为其中。设初始条件为零，试求：（1） 该系统的传递函数；（2） 该系统的阶数和时间常数；（3） *若输入为脉冲函数，求输出。解：（1）（2） 系统阶数n=1，时间常数秒（3） *因输入，故，得2-20(补充) 某二阶环节传递函数如下, 它是否为振荡环节, 为什么?解：解法1: , 这是二个惯性环节的串联, 有二个实极点, 不是一对共轭复数极点,故不能振荡;解法2: 二阶振荡环节的标准形式为:比较给定G(s), 得, 是过阻尼, 不能振荡.3-1 已知某单位反馈系统的开环传递函数为，试求其单位阶跃响应。解法一，采用拉氏反变换：系统闭环传递函数为：输入为单位阶跃，即：故：可由待定系数法求得：所以，对上式求拉氏反变换：解法二，套用典型一阶系统结论：由式(3-15)，已知典型一阶系统为：由式(3-16)，其单位阶跃响应为：若一阶系统为，则其单位阶跃响应为：现本系统闭环传递函数为：其中，所以，采用解法二，概念明确且解题效率高，计算快捷且不易出错，应予提倡。3-2 设某温度计可用一阶系统表示其特性，现在用温度计测量容器中的水温，当它插入恒温水中一分钟时，显示了该温度的98%，试求其时间常数。又若给容器加热，水温由0按10/min规律上升，求该温度计的测量误差。解：（1）由题意知，误差为2%，因此调节时间：，即时间常数T：（2）由题意知输入信号为斜坡信号，。由式(3-24)，一阶系统跟踪斜坡信号时有一固定稳态误差：3-3 一阶系统的结构如题3-3图所示，其中K1为开环放大倍数，K2为反馈系数。设K1100，K20.1。试求系统的调节时间ts（按5误差计算）；如果要求ts0.1，求反馈系数K2。题3-3图 系统的结构图解：系统闭环传递函数为：可见，时间常数（1）调节时间（5误差）（2）已知，所以34 设单位反馈系统的开环传递函数为，求该系统的单位阶跃响应。解：系统闭环传递函数为：这是一个二阶过阻尼系统，不是二阶振荡系统，因此不能套用现成结论。可用传统方法求解，即：输入为单位阶跃：故：对上式求拉氏反变换：3-5 已知某系统的闭环传递函数为系统单位阶跃响应的最大超调，峰值时间，试确定和值。解：由，可求得： （也可查图3-16而得）由，可求得：3-6 一单位反馈系统的开环传递函数为求：（1）系统的单位阶跃响应及动态性能指标、和； （2）输入量为单位脉冲时系统的输出响应。解：系统闭环传递函数为：（注：上式已经符合标准式(3-27)，否则应变换为标准式才能继续）系统的参数为：，为欠阻尼。（1）由式（3-46），单位阶跃响应：，其中代入各参数：，其中以下求各指标：由，其中，故： （也可查图3-16而得）（2）由式（3-46），单位脉冲响应：代入各参数：3-7 某二阶系统的结构框图如题3-7图所示，试画出，和时的单位阶跃响应曲线。题3-7图 控制系统框图解：系统闭环传递函数为：系统的参数为：。(1) 此时，为欠阻尼，可求得：(2) 此时，由，可知，仍为欠阻尼。由于阻尼比增大，因此超调量减小。若, 调节时间将由于阻尼比的增大而减小.(3) 此时，由，可知，成为过阻尼系统，因此没有超调量。调节时间的计算不能应用公式, 应按照定义计算, 通常会加大, 略.三种情况下的单位阶跃响应曲线如下面图所示。3-8 由实验测得二阶系统的单位阶跃响应曲线如题3-8图所示，试计算其系统参数和。题3-8图 二阶系统的单位阶跃响应曲线解：由图可知，。由，可求得： （也可查图3-16而得）由，可求得：3-9 某系统如题3-9图所示，若要求单位阶跃响应的最大超调，调节时间，试确定值和值。题3-9图 控制系统框图解：系统闭环传递函数为：与标准式(3-27)比较，知：且，所以：根据题意，最大超调。而超调量是阻尼比的单值函数，由此可决定阻尼比：而调节时间，所以：由此得联立方程：解得：3-10 典型二阶系统的单位阶跃响应为试求系统的最大超调、峰值时间、调节时间。解：由式（3-46），典型二阶系统的单位阶跃响应表达式为：，其中将上式与给定响应式比较，可计算系统的二个参数。由，求得阻尼比：或者也可这样求：由，求得阻尼比：由，得二个参数求出后，求各指标就很方便了。（1）最大超调 (或查图3-16)（2）峰值时间（3）调节时间：3-11 已知某三阶控制系统的闭环传递函数为试说明该系统是否有主导极点。如有，求出该极点，并简要说明该系统对单位阶跃输入的响应。解：闭环系统有三个极点，分别是：将实极点与共轭复极点的实部作一比较：，且附近无零点。因此确实可视为闭环系统主导极点。即可以用二阶主导极点系统近似等于原三阶系统：该二阶系统的参数为：单位阶跃输入的响应指标为：3-12 已知控制系统的特征方程如下，试分析系统的稳定性。3-12（1）解：特征方程的系数均大于0且无缺项。列劳斯表如下114235955结论：劳斯表第列变号二次，系统不稳定。（特征方程有二个右根）3-12（2）解：特征方程的系数均大于0且无缺项。列劳斯表如下2310151010结论：劳斯表第列变号二次，系统不稳定。（特征方程有二个右根）3-12（3）解：特征方程的系数均大于0且无缺项。列劳斯表如下1113301结论：劳斯表第列出现零值，系统不稳定。（特征方程有纯虚根）3-12（4）解：特征方程的系数均大于0且无缺项。列劳斯表如下182016212162121600结论：劳斯表出现全零行，系统不稳定。（特征方程有纯虚根）3-13 设某系统的特征方程，试确定待定参数a及b，以便使系统稳定。解：列劳斯表如下1为使系统稳定，需满足以下条件：特征方程的系数均大于0，即：劳斯表第列元素均大于0，去除与条件重复部分后，有：解以上4个不等式：由(1): ；由(2)和(3): ；综合得：；由(3): ；由(4): ；综合得：于是，闭环系统稳定条件为：3-14 已知单位反馈系统的开环传递函数为（1）（2）试分析闭环系统的稳定性。解：（1）系统闭环传递函数为：闭环系统特征方程为：判别稳定性：特征方程的系数均大于0且无缺项。列劳斯表如下0.1102.51006100结论：劳斯表第一列均为正值，系统闭环稳定。（2）系统闭环传递函数为：闭环系统特征方程为：判别稳定性：特征方程的系数均大于0且无缺项。列劳斯表如下42500112032499.912.9521结论：劳斯表第一列均为正值，系统闭环稳定。3-15 试分析下列图示系统的稳定性。题3-15图 控制系统框图解：3-15（a）先求系统闭环传递函数：闭环系统特征方程为：判别稳定性：这是一个二阶系统，只要特征方程的系数均大于0就必然稳定，无须采用劳斯判据。（同学可自证之）3-15（b）该闭环系统有二个反馈回路，可采用方块图等效化简方法合并之。即系统闭环传递函数：闭环系统特征方程为：判别稳定性：特征方程的系数均大于0且无缺项。列劳斯表如下110211010结论：劳斯表第列均为正值，系统闭环稳定。3-16 试确定使题3-16图所示系统稳定的值。3-16（a）解：先求系统闭环传递函数：闭环系统特征方程为：判别稳定性：特征方程的系数均大于0且无缺项，要求K0。列劳斯表如下121KK若要求劳斯表第列均为正值，应满足：综合有：开环增益K在上述范围内，则闭环系统稳定。3-16（b）解：先求系统闭环传递函数（可参考习题3-15b）：闭环系统特征方程为：判别稳定性：特征方程的系数均大于0且无缺项，要求。列劳斯表如下1101010若要求劳斯表第列均为正值，应满足：综合有：速度反馈增益K在上述范围内，则闭环系统稳定。3-16（c）解：先求系统闭环传递函数：闭环系统特征方程为：判别稳定性：特征方程的系数均大于0且无缺项，要求。列劳斯表如下0.02510.35KK若要求劳斯表第列均为正值，应满足：综合有：开环增益K在上述范围内，则闭环系统稳定。3-17 已知单位反馈系统的开环传递函数为式中，试确定使系统稳定的值。解：先求系统闭环传递函数：闭环系统特征方程为：判别稳定性：特征方程的系数均大于0且无缺项，要求。列劳斯表如下1KK若要求劳斯表第列均为正值，应满足：综合有：（1）代入数据后：开环增益K在上述范围内，则闭环系统稳定。本题的数学模型较为常见，采用先公式运算再代入参数的方法可以得到一般性结论，例如（1）式。习题3-19就可引用本题结果。3-18 设单位反馈系统的开环传递函数为要求闭环特征根实部均小于-1，试确定值的取值范围。解：通常，闭环特征根实部均小于0可使闭环系统稳定。但在工程上，不仅要求闭环系统稳定，而且常常要求闭环系统具有一定的稳定裕量。本题的意义即在于此。有关稳定裕量的概念，将在第4章中介绍。数学上可这样处理：令，代入特征方程。这表示，若求解特征方程，使闭环特征根的实部小于0，就相当于使的实部小于-1，因此，对于变量的特征方程，就可以使用常规劳斯判据了。求系统闭环传递函数：闭环系统特征方程为：令，代入特征方程：即：判别稳定性：特征方程的系数均大于0且无缺项，要求。列劳斯表如下若要求劳斯表第列均为正值，应满足：综合有：开环增益K在上述范围内，则闭环系统不但稳定，且所有闭环极点的实部均小于-1。3-19 已知单位反馈系统的开环传递函数为试根据下述条件确定的取值范围。（1） 使闭环系统稳定；（2） 当时，其稳态误差。解：（1）关于闭环稳定性求解本题当然可以用普通方法，如在习题3-12至3-18中所应用的。但我们换一种思路，设计利用一些规律性的结果。在习题3-17中已经求出，对于单位反馈系统若具有下列形式的开环传递函数：当时，闭环系统稳定。将本题改写成如上形式：可以看出，二个参数为：因此，习题3-17中，稳定条件就成为即（2）关于稳态误差式是求闭环稳态误差的开环传递函数的标准形式。可以看出，该系统是1型系统，开环增益是K/25，静态速度误差系数也为：当输入为斜坡函数时，其稳态误差为已知要求在此输入下：即综合和，有：开环增益K在上述范围内，既满足闭环系统稳定性要求，也满足稳态误差要求。3-20 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试求三个静态误差系数，并分别求出当、时系统的稳态误差值。（1）解：将开环传递函数写成标准形式：参数为：型别：0开环增益：K=1三个系数（查表3-5）：静态位置误差系数：静态速度误差系数：静态加速度误差系数：稳态误差（查表3-6）：阶跃输入：斜坡输入：抛物线输入：（2）解：开环传递函数已经是标准形式。参数为：型别：1开环增益：K=5三个系数（查表3-5）：静态位置误差系数：静态速度误差系数：静态加速度误差系数：稳态误差（查表3-6）：阶跃输入：斜坡输入：抛物线输入：（3）将开环传递函数写成标准形式：参数为：型别：2开环增益：三个系数（查表3-5）：静态位置误差系数：静态速度误差系数：静态加速度误差系数：稳态误差（查表3-6）：阶跃输入：斜坡输入：抛物线输入： （注：给定输入为：）3-21 已知单位反馈系统的传递函数为求参考输入为斜坡函数时的稳态误差。解：给定条件是闭环传递函数，为更好地识别系统的参数与型别，可先求出其开环传递函数。由：可求得：将给定代入上式：进一步整理成标准形式：可见，这是一个2型系统。立即可知，它对于斜坡输入的稳态误差为零（由表3-6）：。进一步地，当输入为单位加速度函数时，本系统的稳态误差为：。3-22 设单位反馈系统的开环传递函数为试求三个静态误差系数，以及系统在参考输入作用下的稳态误差。解：开环传递函数已经是标准形式。参数为：型别：2开环增益：K=10三个系数（查表3-5）：静态位置误差系数：静态速度误差系数：静态加速度误差系数：为求系统在参考输入作用下的稳态误差，可先求稳态误差各个分量（查表3-6），然后合成：阶跃输入：斜坡输入：抛物线输入：稳态误差合成：3-23 控制系统框图如题3-23图所示。当扰动信号分别为、时，试分别计算下列两种情况下扰动信号产生的稳态误差，并对其结果进行比较。题3-23图 控制系统框图（1），（2）， 解：图示系统为典型控制系统方块图。令，即，可以得到扰动信号产生的稳态误差，据式（3-82）有：在本题中，有，即（1）当时，；当时，；（1），代入式（1）：当时，；当时，；（2）， 代入式（1）：当时，；当时，；3-24(补充) 用某温度计(一阶系统)测量容器中水温，在恒温水中一分钟时，显示了该温度的95%，求其时间常数。又若给容器加热，水温由0按6/min规律上升，求该温度计的测量误差。(注: 计算过程及结果均应有单位参与.)解:（1）由题意知，误差为5%，因此调节时间：，即时间常数T：（2）由题意知输入信号为斜坡信号，。由式(3-24)，一阶系统跟踪斜坡信号时有一固定稳态误差：要有必要的说明及单位运算. 单位混淆会导致如之类的错误.4-1 设单位反馈系统的开环传递函数为：。当系统作用有下列输入信号时：，试求系统的稳态输出。解：系统的闭环传递函数为：这是一个一阶系统。系统增益为：，时间常数为：其幅频特性为：其相频特性为：当输入为，即信号幅值为：，信号频率为：，初始相角为：。代入幅频特性和相频特性，有：所以，系统的稳态输出为：4-2 已知系统的单位阶跃响应为：。试求系统的幅频特性和相频特性。解：对输出表达式两边拉氏变换：由于，且有（单位阶跃）。所以系统的闭环传递函数为：可知，这是由两个一阶环节构成的系统，时间常数分别为：系统的幅频特性为二个一阶环节幅频特性之积，相频特性为二个一阶环节相频特性之和：4-3 已知系统开环传递函数如下，试概略绘出奈氏图。（1）（2）（3）（4）解：手工绘制奈氏图，只能做到概略绘制，很难做到精确。所谓“概略”，即计算与判断奈氏曲线的起点、终点、曲线与坐标轴的交点、相角变化范围等，这就可以绘制出奈氏曲线的大致形状。对一些不太复杂的系统，已经可以从曲线中读出系统的部分基本性能指标了。除做到上述要求外，若再多取若干点（如6-8点），并将各点光滑连线。这就一定程度上弥补了要求A的精度不足的弱点。但因为要进行函数计算，例如求出实虚频率特性表格，工作量要大些。在本题解答中，作如下处理：小题（1）：简单的一阶惯性系统，教材中已经研究得比较详细了。解题中只是简单套用。小题（2）：示范绘制奈氏图的完整过程。小题（3）、小题（4）：示范概略绘制奈氏图方法。4-3（1）这是一个一阶惯性（环节）系统，例4-3中已详细示范过（当T=0.5时），奈氏曲线是一个半圆。而表4-2给出了任意时间常数T下的实虚频率特性数据。可以套用至本题。系统参数：0型，一阶，时间常数起终点奈氏曲线的起点：（1,0），正实轴奈氏曲线的终点：（0,0），原点奈氏曲线的相角变化范围：（0,90），第IV象限求频率特性。据式（4-29）已知：实频特性：虚频特性：可以得出如下实频特性和虚频特性数值：01012.525508010012520040080010001.000.990.980.940.800.610.500.390.200.060.020.010.000.00-0.10-0.12-0.24-0.40-0.49-0.50-0.49-0.40-0.24-0.12-0.100.00绘图：4-3（2）示范绘制奈氏图的完整过程。这是一个由一个积分环节和一个一阶惯性环节组成的二阶系统。系统参数：1型系统，n=2, m=0起终点奈氏曲线的起点：查表4-7，1型系统起点为负虚轴无穷远处；奈氏曲线的终点：n-m=20，查表4-7知终点为原点，入射角为-180；奈氏曲线的相角变化范围：（-90，-180），第III象限求频率特性：实频特性：虚频特性：当时，实频曲线有渐近线为-0.1。可以得出如下实频特性和虚频特性数值：00.10.20.50.6125891020-0.10-0.10-0.10-0.10-0.10-0.10-0.10-0.08-0.06-0.06-0.05-0.020.00-10.00-5.00-2.00-1.66-0.99-0.48-0.16-0.08-0.06-0.05-0.010.00绘图：4-3（3）示范概略绘制奈氏图方法。系统参数：1型系统，n=3, m=1起终点奈氏曲线的起点：查表4-7，1型系统起点为负虚轴无穷远处；奈氏曲线的终点：n-m=20，查表4-7知终点为原点，入射角为-180；奈氏曲线的相角变化范围：（-90，-180）；绘图：4-3（4）示范概略绘制奈氏图方法。系统参数：2型系统，n=3, m=1起终点奈氏曲线的起点：查表4-7，2型系统起点为负实轴无穷远处；奈氏曲线的终点：n-m=20，查表4-7知终点为原点，入射角为-180；奈氏曲线的相角变化范围：（-180，-180）；由于惯性环节的时间常数大于一阶微分环节的时间常数，二者相频叠加总是小于零，故图形在第2象限。绘图：如要详绘，则先求频率特性：即有实频特性：虚频特性：制表：00.050.10.20.30.40.50.60.812568-19346-4414-835.4-276.9-121.5-64-38.3-17.63-10-2.038-0.304-0.21-0.1180032691466518.3232.2119.46841.9118.91101.3080.0850.0490.02104-4 试画出下列传递函数的波德图。（1）（2）（3）（4）（5）解：绘制波德图要按照教材P134-135中的10步，既规范也不易出错。4-4（1）（1） 开环传递函数已如式(4-41)标准化；（2） 计算开环增益K，计算；得系统型别，确定低频段斜率；开环增益K2, 0型系统，低频段斜率为0；（3） 求各转折频率，并从小到大按顺序标为，同时还要在转折频率旁注明对应的斜率；，惯性环节，斜率-20；，惯性环节，斜率-20；（4） 绘制波德图坐标。横坐标从0.1到10二个十倍频程。见图；（5） 绘制低频段幅频渐近线，为水平线；（6） 在，斜率变为-20；在，斜率变为-40；标注斜率见图；（7） 幅频渐近线的修正。在处修正-3dB，在处修正-1dB；在处修正-3dB，在处修正-1dB；注意在处有两个-1dB修正量，共修正-dB；（8） 绘制两个惯性环节的相频曲线；（9） 环节相频曲线叠加，形成系统相频曲线；（10） 检查幅频渐近线、转折频率、相频起终点的正确性。4-4（2）（1） 开环传递函数已如式(4-41)标准化；（2） 计算开环增益K，计算；得系统型别，确定低频段斜率；开环增益K200, 2型系统，低频段斜率为-40；（3） 求各转折频率：，惯性环节，斜率-20；，惯性环节，斜率-20；（4） 以下文字略，见绘图；低频延长线过此点：L(1)=46dB4-4（3）常见问题l 必要的文字与计算部分;l 横坐标的选取?l 转折频率与斜率不准确;l 34dB在何处?l 斜率的标注;l 修正及其精度?l 相频先环节,后叠加;l 相频从-180起,不是0;l 相频左右趋势,光滑与美观;l 15分评分.（1） 开环传递函数标准化：（2） 计算开环增益K，计算；得系统型别，确定低频段斜率；开环增益K50, 2型系统，低频段斜率为-40；（3） 求各转折频率：，惯性环节，斜率-20；，二阶振荡环节，阻尼比，斜率-40；（4） 其它：二阶振荡环节在转折频率处要按实际阻尼比按图4-17修正。见绘图；低频延长线过此点：L(1)=34dB4-4（4）（1） 开环传递函数标准化：（2） 计算开环增益K，计算；得系统型别，确定低频段斜率；开环增益K20, 2型系统，低频段斜率为-40；（3） 求各转折频率：，惯性环节，斜率-20；，一阶微分环节，斜率+20；（4） 其它见绘图；低频延长线过此点：L(1)=26dB4-4（5）（1） 开环传递函数标准化：（2） 计算开环增益K，计算；得系统型别，确定低频段斜率；开环增益K0.032, 1型系统，低频段斜率为-20；（3） 求各转折频率：，一阶微分环节，斜率+20；，二阶振荡环节，阻尼比，斜率-40；，二阶振荡环节，阻尼比，斜率-40；（4） 其它见绘图；低频延长线过此点：L(1)=-30dB4-5 根据下列给定的最小相位系统对数幅频特性曲线图写出相应的传递函数。解：4-5(a)（1）求结构从图中看出，低频段斜率为0，是0型系统，由渐近线的斜率变化：第1个转折频率处斜率变化，是一阶惯性环节；第2个转折频率处斜率变化也是，也是一阶惯性环节；因此传递函数结构为（2）求参数从图中看出，低频段与零分贝线水平重合，因此对第1个一阶惯性环节，转折频率，则：对第2个一阶惯性环节，转折频率，则：综合得：解：4-5(b)（1）求结构从图中看出，低频段斜率为，是1型系统，由渐近线的斜率变化：第1个转折频率处斜率变化，是一阶惯性环节；第2个转折频率处斜率变化也是，也是一阶惯性环节；因此传递函数结构为（2）求参数从图中看出，低频段延长线与零分贝线交点频率：，因为是1型系统，由式(4-67)对第1个一阶惯性环节，转折频率，则：对第2个一阶惯性环节，转折频率，则：综合得：解：4-5(c)（1）求结构从图中看出，低频段斜率为0，是0型系统，由渐近线的斜率变化：第1个转折频率处斜率变化，是一阶惯性环节；第2个转折频率处斜率变化也是，也是一阶惯性环节；第3个转折频率处斜率变化也是，也是一阶惯性环节；因此传递函数结构为（2）求参数从图中看出，低频段为水平线，幅值为。由式(4-64)：对第1个一阶惯性环节，转折频率，则：对第2个一阶惯性环节，转折频率，则：对第3个一阶惯性环节，转折频率，则：综合得：解：4-5(d)（1）求结构从图中看出，低频段斜率为，是1型系统，由渐近线的斜率变化：第1个转折频率处斜率变化，是二阶振荡环节；因此传递函数结构为（2）求参数从图中看出，低频段延长线与零分贝线交点频率：，因为是1型系统，由式(4-67)对二阶振荡环节，从图中看出，谐振峰值为，峰值频率。可以由式（4-37）求出阻尼比：当时，阻尼比为。（也可简单地查表4-5，得）。由式（4-36）：综合得：4-6 试由下述幅值和相角计算公式确定最小相位系统的开环传递函数。（1），；（2），；（3），；（4），。解：（1），；直接可以得到：且有幅频特性：即所以（2），；直接可以得到：且有幅频特性：即所以（3），；直接可以得到：比较二阶振荡环节的相频特性式（4-32）：由，得二阶微分环节的参数求法与上面二阶振荡环节基本相同，差别仅是式（4-32）是正值。所以：由，得一阶微分环节：一阶惯性环节：所以：且有幅频特性：即所以：（4），。直接可以得到：且有幅频特性：即所以：4-7 画出下列各给定传递函数的奈氏图。试问这些曲线是否穿越实轴。若穿越，则求与实轴交点的频率及相应的幅值。（1）； （2）；（3）； （4）。解：4-7（1）系统参数：0型系统，n=2, m=0起终点奈氏曲线的起点：查表4-7，0型系统起点为正实轴无穷远处；奈氏曲线的终点：n-m=20，查表4-7知终点为原点，入射角为-180；奈氏曲线的相角变化范围：（0，-180）；从相角变化范围来看，曲线均在正实轴以下，并未发生穿越；求频率特性如下：所以，实频特性：虚频特性：制表：00.20.30.50.711.522.53456810.7630.5530.20.005-0.1-0.108-0.082-0.061-0.046-0.028-0.019-0.013-0.00800-0.497-0.607-0.6-0.476-0.3-0.138-0.071-0.04-0.024-0.011-0.006-0.003-0.0010绘图如上。4-7（2）系统参数：1型系统，n=3, m=0起终点奈氏曲线的起点：查表4-7，1型系统起点为负虚轴无穷远处；奈氏曲线的终点：n-m=30，查表4-7知终点为原点，入射角为-270；奈氏曲线的相角变化范围：（-90，-270）；从相角变化范围来看，曲线将从第III象限穿越至第II象限，发生一次实轴穿越：绘图见右；求与实轴的交点：频率特性：幅频特性：相频特性：发生负实轴穿越时，相频为-180，即令，可求得穿越时的频率：；此时的幅值：4-7（3）系统参数：2型系统，n=3, m=0起终点奈氏曲线的起点：查表4-7，2型系统起点为负实轴无穷远处；奈氏曲线的终点：n-m=30，查表4-7知终点为原点，入射角为-270；奈氏曲线的相角变化范围：（-180，-270）；从相角变化范围来看，曲线均在第III象限，未发生穿越；绘图见右；4-7（4）系统参数：2型系统，n=3, m=1起终点奈氏曲线的起点：查表4-7，2型系统起点为负实轴无穷远处；奈氏曲线的终点：n-m=20，查表4-7知终点为原点，入射角为-180；奈氏曲线的相角变化范围：（-180，-180）；传递函数中，一阶微分环节贡献一个零点，一阶惯性环节贡献一个极点。零极点发生一定的对消效应，但并不完全对消。惯性环节的时间常数比一阶微分环节的时间常数小，即极点位置比零点位置更靠近虚轴，因此将发生更大的作用。也就是说，零极点的相频特性合成后，仍为负值。综合两个微分环节后，相频特性-180，曲线均在第III象限，未发生穿越；绘图见右；4-8 试用奈氏稳定判据判别图示开环奈氏曲线对应系统的稳定性。(c) 添加辅助线后可以看出，奈氏曲线包围了(-1, j0)点，所以闭环系统不稳定。(a) 奈氏曲线包围了(-1, j0)点，所以闭环系统不