§634幂级数.doc

634幂级数一、幂级数的定义 形如 的函数项级数称为幂级数，其中称为幂级数的系数。 若令，则有 通过变量代换，幂级数可以化为幂级数。二、幂级数的收敛半径和收敛区间 定理6（阿贝尔定理）（1） 若在点收敛，则对于一切满足，绝对 收敛； （2）若在发散，则对于一切满足，发散。证明：（1）设在收敛，即收敛，则，从而数 列有界，即，使得（）。 故， 当时，等比级数收敛，从而 收敛， 即 绝对收敛。（2）可用反证法证明。倘若幂级数在时发散而有一点适合使级 数收敛，则根据（1）中的结论，级数当时应收敛，这与所设矛盾， 定理得证。阿贝尔定理表明：若幂级数在点处收敛，则幂级数在以原点为 中心，为半径的开区间内绝对收敛。 定理7 若幂级数不是仅在处收敛，也不是在整个数轴上收敛，则必 存在数，使得（1） 当时，幂级数绝对收敛；（2） 当时，幂级数发散；（3） 当或时，幂级数可能收敛也可能发散。 正数幂级数的收敛半径。区间称为幂级数的收敛区间，注：（1）考察了幂级数在收敛区间两个端点处的敛散性之后，便 可得到幂级数的收敛域。 （2）若仅在处收敛，则规定； （3）若在整个数轴上收敛，则规定。定理8 若，则幂级数的收敛半径 证明：考察级数，这级数相邻两项之比为，（1）若存在，则 当，即时，收敛，从而绝对收敛； 当，即时，发散，通项不能趋于零， 所以也不能趋于零，从而也发散。故收敛半径。（2）若，则对一切，有，即知对任何，均 收敛，从而绝对收敛，所以。（3）若，则对一切，有，从而对， 所 以发散，故收敛半径。 例1求下列幂级数的收敛半径和收敛域。（1）； 解： ， 收敛半径，收敛区间为（-1，1）。 当时，幂级数成为，因为，而收敛，所以收敛。 当时，幂级数为，此级数绝对收敛。 幂级数的收敛域为。（2）； 解：令，则得新级数， ， 收敛半径。当时，新级数成为， ，收敛。当时，新级数成为，而发散，也发散。所以新级数的收敛域为，即，从而，故原级数的收敛域为。（3）解法1：此幂级数缺奇次幂项，即，因此不能直接用公 式求收敛半径。根据比值（或根值）判别法来求收敛半径。 ， 当，即时级数收敛； 当，即时级数发散，故收敛半径。 当，原级数化为，发散； 当，原级数化为，发散。 故收敛域为。解法2：设，则得新级数。 ， 新级数的收敛半径， 当，即时原幂级数收敛， 当，即时原幂级数发散，故原幂级数的收敛半径为。 当，原级数化为，发散； 当，原级数化为，发散。 故收敛域为。三、幂级数的性质1幂级数的代数运算 设与 的收敛半径分别是与（、均不为零）， 和函数分别为与， ，则当时，可作如下运算：（1）加法和减法 ，（2）乘法 2幂级数的分析性质定理9（内闭一致收敛性） 若幂级数的收敛半径，则幂级数在任意闭区间上都一致收敛。证明：，收敛， 有， 故由M判别法知，在上一致收敛。定理10 若的收敛半径为，和函数为，则（1）在内连续，如果幂级数在(或)处也收敛，则在 （或）内连续。（2）在内可导，且 ， 逐项求导所得的幂级数与原级数有相同的收敛半。 反复应用这个结论可得：在内具有任意阶导数。（3）在内可积，且 ， 逐项积分所得的幂级数与原级数有相同的收敛。 此外，如果逐项求导或逐项积分后的幂级数在（或）处收敛，则在（或）处，等式和 仍成立。例2求幂级数的收敛域及和函数。解：，故当，即当时级数收敛；，即当时级数发散，知收敛区间为（-1，1）。 当时，级数成为，这是收敛的交错级数， 故级数的收敛域为-1，1。 设和函数为，则，-1，1， 逐项求导得 ，（-1，1）， 故，-1，1。 注意：幂级数经过逐项求导（或积分），收敛半径不变，但端点处的收敛性可能改变。本例中所对应的级数在内收敛，而原级数在上收敛。例3在区间（-1，1）内求幂级数的和函数。 解：设和函数为，则，且。 ， ， ， 当时， 故例4求数项级数的和。解法1：构造幂级数，其收敛域为（-1，1）。 记和函数为，则。 ， （-1，1）。 故所求数项级数的和为。解法2： ， 。 从以上例题可以看出，求和函数经常与求等比级数的和相互联系。一般地，当通项中的系数是关于的整