不定式的求解与应用论文.doc

I 不定方程的求解及应用不定方程的求解及应用 摘要摘要 不定方程作为初等数论中的重要内容 其类型多样 解法不一 不定方程求解问题一般比较复杂 常见的不定方程的解法有辗转相 除法 矩阵法 奇偶分析法 余数分析法等等 在对它的求解问题 进行研究的同时可以看到不定方程的解法在日常学习生活中的众多 领域有着较强的实用价值 本文按照未知数的次数把不定方程分为一次不定方程 二次不 定方程和高次不定方程三类 通过对这三类不定方程的研究来具体 探讨不定方程的求解问题 并且结合实例给出它在不同情况下的不 同解法 同时给出它在奥数问题 数列问题以及实际问题中的一些 应用 关键词关键词 不定方程 解法 应用 不定方程的求解及应用 II Indefinite Equation and its Application Abstract Indeterminate equation as in elementary number theory important content its type is diverse not a solution Indeterminate equation is one of the important research subjects in its solution Diophantine equation to solve the problem of complicated common indefinite equation solution with Euclidean algorithm matrix method parity analysis method the remainder analysis method etc On the problem of study at the same time can see the indefinite equation solution in daily study life in many fields have a strong practical value In this paper according to the number of unknowns to indeterminate equation is divided into an indefinite equation two time indefinite equation and high order indeterminate equation three class the three class of indefinite equation research to discuss specifically indeterminate equations and an example is given in different cases of different solution at the same time it is given in the Olympic mathematics contest problem series of problems and practical problems in some applications Key words indeterminate equation solution application 目目 录录 中文摘要中文摘要 I I 英文摘要英文摘要 IIII 引言引言 2 2 1 1 不定方程的解法 不定方程的解法 2 2 1 1 一次不定方程的解法 2 1 1 1 观察法 2 1 1 2 辗转相除法 3 1 1 3 换元法 5 1 1 4 矩阵法 6 1 2 二次不定方程的解法 7 1 2 1 估计法 7 1 2 2 奇偶分析法 8 1 2 3 配方法 8 1 2 4 因式分解法 9 1 3 高次不定方程的解法 10 1 3 1 分解法 10 1 3 2 余数分析法 11 2 2 不定方程的应用不定方程的应用 1111 2 1 不定方程在奥数中的应用 12 2 2 不定方程在数列中的应用 12 2 3 不定方程在实际问题中的应用 13 结论结论 1414 参考文献参考文献 1515 不定方程的求解及应用 2 引言引言 不定方程作为初等数论中的重要内容 其类型多样 解法不一 对于一次 不定方程的解的求法 通常是用观察法 辗转相除法 换元法 矩阵法 特殊 法等等 本文通过一系列具体实例 说明了解一次不定方程 组 常用的方法 对于二次不定方程的解的求法 通常是用奇偶分析法 配方法等等 此外 适 当联系了高中新教材的相关内容 至于高次的多元的不定方程 迄今为止 只 有少数具体的特例被人搞清楚 还有广阔的未知领域 高次不定方程可以用分 解法 余数分析法求解 本文从这三类不定方程入手 分别研究它们的解法 并且给出它们相关的应用 1 1 不定方程的解法 不定方程的解法 1 11 1 一次不定方程的解法一次不定方程的解法 所谓一次不定方程就是可以写成下列形式的方程 1 1 122nn a xa xa xN 其中都是整数 n2 并且不失一般性 可以假定都不 12 n a aaN 12 n a aa 等于零 一次不定方程 1 有整数解的充分与必要条件是 N 12 n a aa 如果二元一次不定方程 其中的一个特解为axbyc 1a b 那么它的通解公式为 为整数 00 xxyy 00 xxbt yyat t 1 1 11 1 1 观察法观察法 这种方法很简单 它是通过观察便能看出一次不定方程的特解的方法 下 面看个例子 3 例1 求的整数解 1002515 yx 解 原方程 2053 yx 通过观察法可知它有个整数解是 2 10 00 yx 又因为此处 1 5 3 baba 所以原不定方程的一切解为 ty tx 32 510 0 1 2 t 从例题中看出 观察法显然很简便 对于一些较简单的一次不定方程易观 察也很适用 但是它毕竟有弊端 有些方程不容易观察 所以还要寻求新的解 法 1 1 21 1 2 辗转相除法辗转相除法 定义定义 设是任意两个正整数 有带余数除法 有下面的系列等式 1 1ba brrbqa 111 0 12221 0 rrrqrb 2 112 0 nnnnnn rrrqrr 0 1111 nnnnn rrqrr 由于进行一次带余数除法 余数就至少减一 而是有限的 所以最多进b 行次带余数除法 总可以得到一个余数是零的等式 即 2 式所指b0 1 n r 出的计算方法叫作辗转相除法 定理定理 若是两个任意正整数 则 2 1ba 1 1 1 2 k kkk Q aPbr kn 不定方程的求解及应用 4 特别的 的特解为 1axby 1 11 1 1 nn nn xQyP 的特解为 axbyc 0101 xx c yy c 的通解为 axbyc 00 xxbt yyat 0 1 2 t 其中 01112 0112 1 0 1 Kkkk kkkk PPq Pq PP QQQq QQ 2 3 kn 例例2 2 求的整数解 10057 yx 解 先解 此处 157 yx 1 5 7 baba 57 5 1 1q 5 2 1 r 4 2 2 q 2 1r 012 q 12 P11 2 3p Q 01 2 2Q 因此的一个解是 157 yx 331 221 212 yx 所以原方程的一个解是 300 200 yx 所以原方程的一般解为 5 ty tx 7300 5200 2 1 0 t 1 1 31 1 3 换元法换元法 所谓的换元法就是通过换元的方法将原来的不定方程转化成系数更小 更 容易直接观察其特解的不定方程 例3 求107x 37y 25的一切整数解 解 由给定的二元一次不定方程得 2 y 37 10725x x 37 3325x 1 2xy 其中 应该为整数 所以得到一个新的不定方程 1 y 37 3325x 3 1 373325yx 又 x 1 2537 33 y 1 y 33 425 1 y 11 yx 仿前令 又得到一个新的不定方程 1 x 33 425 1 y 4 1 33x 1 4y25 又 1 y 4 3325 1 x 1 68x 4 1 1 x 12 68xy 其中 最后得到 2 y 4 1 1 x 5 14 21 yx 显然 5 的一切解是 12 1 4 xt yt 0 1 2 t 因此 4 的一切解是 不定方程的求解及应用 6 1112 1 4 68233xt yxyt 0 1 2 t 而 3 的一切解是 111 233 337yt xyxt 0 1 2 t 所以原不定方程的解是 1 337 28 107xt yxyt 0 1 2 t 小注 一个更简单容易的解法是按照上述求解过程求出原二元一次不定方 程的一个特解 再根据定理1求解出一切解 即由 5 易知 0 1 21 yx 是 5 的一个特解 286 1 2111 yxyx 是 4 的一个特解 2 3 111 yxyx 是 3 的一个特解 最后 82 3 1 yxyx 是原二元一次不定方程的一个特解 所以原二元一次不定方程的一切解为 tx373 ty1078 2 1 0t 1 1 41 1 4 矩阵法矩阵法 矩阵法就是根据不定方程的未知数的系数列出一个系数矩阵 再经过一系 列的初等变化 进而求出不定方程的整数解 7 例4 求的一切整数解 205249 zyx 解 由题意可知三元一次不定方程的系数矩阵是92451xyz 100 010 001 5249 M 141 010 001 544 231 010 111 104 932 010 511 001 又因为20120 所以原三元一次不定方程的一切整数解为 12 1 12 205 4039 xtt yt ztt 12 t tZ 1 21 2 二次不定方程的解法二次不定方程的解法 二次不定方程的解法较为复杂 其规律不易总结 本文针对几种特殊的类 型介绍几种不同的解法 1 2 11 2 1 估计法估计法 估计法即是针对方程有整数解 则必然有 实数解 当方程的实数解为一 个有界集 则着眼于一个有限范围内的整数解至多有有限个 逐一检验 求 出全部解 若方程的实数解是无界的 则着眼于整数 利用整数的各种性质 产生适用的不等式 例 5 求不定方程的整数解 22 xyxxyy 解 原方程关于的一元二次方程 x 22 10 xyxyy 如果存在整数使得上式成立 则有 x y 2 2 140yyy 不定方程的求解及应用 8 即 2 3610yy 解得 所以 2 32 3 11 33 y 0 1 2y 当 时 0y 0 1x 当 时 1y 0 2x 当 时 2y 1 2x 所以原方程的整数解为 0 0 1 0 0 1 2 1 2 2 1 2 1 2 21 2 2 奇偶分析法奇偶分析法 所谓的奇偶分析法就是根据变元和常数的奇偶性以及他们之间的关系 4 3 确定变元的取值 即不定方程的解 例6 如为正整数 且 求的值 yx 1997 22 yxyx 解 因为是奇数 所以的奇偶性不同 1997 x y 故不妨设为偶数 为奇数 xy 因为的个位数字是 所以的个位数字必须是 22 xy 7 22 xy1 6 即的个位数字必须是4 1或6 1或4 9或6 9 yx 又因为19971 所以除以4的余数必为0 1 mod4yx 由 知 2 1997x 45 x 所以 44 36 34 26 24 16 14 6 4 x 经检验 当时 有 使得 34 x29 y1997 22 yx 所以 633429 yx 9 1 2 31 2 3 配方法配方法 所谓的配方法就是不定方程的一边可以配方 通过配方的途径确定变元的 范围 从而进行求解 例7 若满足求的值 ba 0 4 2 223 22 2 abababa 解 因为 2 2232224ababa 22 58444aabba 22 42aba 所以 22 420aba 因为 2 40ab 20a 所以 2 2 40 20 ab a 即 2 2 a b 1 2 41 2 4 因式分解法因式分解法 对某些非一次型不定方程 往往可以对不定方程中的代数式进行因式分解 同时再通过对方程中的常数项分解质因数 得出常数项的约数 根据约数与因 式分解情况 并结合考虑求方程整数解的具体要求 列出某些方程组 从而求 出原不定方程的整数解 例8求不定方程的正整数解 5 2 390 xxy 解 由原方程得 39x yx 当是整数时 是整数 且 都是9的约数 x y3yx x3yx 不定方程的求解及应用 10 所以或或 1 39 x yx 3 33 x yx 9 31 x yx 解得 或或 1 12 x y 3 12 x y 9 28 x y 1 31 3 高次不定方程的解法高次不定方程的解法 对高于二次的不定方程 相当复杂 当时 没有非平2n nnn xyz 凡的整数解 即著名的费马大定理 历经 3 个世纪 已由英国数学家安 德鲁 维尔斯证明完全可以成立 多元高次不定方程没有一般的解法 任何 一种解法都只能解决一些特殊的不定方程 如利用二次域来讨论一些特殊的 不定方程的整数解 常用的解法 有分解法和余数分析法 1 3 11 3 1 分解法分解法 它适用于一边可以分解 另一边为常数的不定方程 如果常数非零 则将 其做质因数分解 例9 求不定方程的一切010536612181544 223223 yxyxyxyxyyxx 正整数解 解 原不定方程 01325322 yxyxyx 所以 602 yx 或 7 0532 yx 或 8 0132 yx 当 6 式成立时 可知原高次不定方程的一切正整数解为 2xt yt 1 2 3 t 当 7 式成立时 可知原方程的一组特解为 0 0 1 1 x y 11 所以原不定方程的通解为 ty tx 21 31 又因为 解得 所以 0 yox 2 1 3 1 t0 t 故原不定方程的整数解是 1 1 yx 当 8 式成立时 可知原不定方程的特解为 1 1 0 0 y x 所以通解为 1 3 1 2 xt yt 0 1 2 t 又因为均为正整数且 为整数 所以不定方程 8 无解 yx t 综上原不定方程的解为 或 2xt yt 1 2 3 t 1 1 yx 1 3 21 3 2 余数分析法余数分析法 对于不定方程的两边做关于某一整数的余数分析 用此来求解方程 此方 法常适用于当不定方程的一边为常数 另一边不能分解时 例10 试证明当时 方程没有整数解 2891 mmbaba 323 3 证明 假设有整数使得 9 ba 28913 323 baba 因为 mod 3 mod 3 2 30 ab 22891 所以 mod 3 33 2ab 若 则 将它们代入 9 得ka3 23 tb 10 28912323333 323 ttkk 但是 10 式左边 mod 9 8 右边 mod 9 矛盾 2 同理 当都会导致矛盾 23 13 kaka 所以综上原方程没有整数解 不定方程的求解及应用 12 不定方程的应用不定方程的应用 不定方程在许多领域都有广泛的应用 本文就不定方程在求解奥数问题 数列问题 实际问题中的应用进行一定的介绍 2 2 不定方程在奥数中的应用 不定方程在奥数中的应用 奥数中存在着大量的不定方程问题 解决此类问题时 一般运用夹逼法 构造法 平方数性质判定法 同余法等等 本文以构造法和夹逼法为例介绍 构造法即是通过对方程结构的观察 分析和联想构造出一种适当的模型将问题 转化为所构造的对象来研究 从而简捷的解决问题 而夹逼法则是依托已知不 定方程和不等式的相关性质 寻求并缩小其取值范围 然后再通过验算获得最 后的解答 例11 求不定方程的一组整数解 3333 2004xyzq 解 因为 3 32 1331mmmm 3 32 1331mmmm 由 得 33 33 116mmmmm 所以 3333 611mmmmm 取 则334m 33 33 6 334335333334334 所以原不定方程的一组整数解为 335 333 334 334xyzq 例12 已知均为正整数 且 试求的值 m n 2 41715221nnmm n 解 因为 2 221417151510nnnnn 所以 2 22141715nnnn 13 又 2 417152425350nnnnn 解得 或 舍去 或或1n 6 111n 3n 9n 所以 1 3 9n 2 2 2 2 不定方程在数列中的应用不定方程在数列中的应用 在数列中不定方程的应用解法较多 有因式分解法 奇偶分析法等 以因 式分解法为例 一般是先将不定方程的两边分解为质因数的乘积 再转化为若 干个方程组求解 例 13 已知等比数列的首项为 公比 等差数列的首项为 2 公 n aa2q n b 差 其中为大于 2 的整数 如果对任意的 总有 使da anN mN 求的取值 3 nm ab a 解 因为 所以 即 3 nm ab 1 2213 n ama 1 521 n am 又因为 所以由数的整除性知是5的约数 3a a 故 1 5 211 n a m 所以当时 存在正整数 满足题意 5a 1 2nm 2 2 3 3 不定方程在实际问题中的应用不定方程在实际问题中的应用 在实际问题中不定方程的应用也很广泛 常见于解几何问题 工程问题等 解题技巧灵活 且在解答过程中需考虑与实际情况相符 下面举例说明 例 14 有一个矩形水池 它的长宽均为整数并且各不相等 该水池的面积和周长 恰好相等 求解它的长宽各为多少 解 设矩形的长为米 宽为米 则矩形的周长为 面积为 由题意xy 2 xy xy 可知 则 2 xyxy 24 2 22 y x yy 因为和都是整数 所以是 4 的正约数 所以只能取 1 2 4 xy 2y 2y 不定方程的求解及应用 14 当时 21y 6 3xy 当时 22y 4xy 当时 24y 3 6xy 因为该矩形的长和宽不相等 所以矩形相邻两边为 3 米和 6 米 例 15 A B 两人同时加工一批零件 A 每天加工 14 个 B 每天加工 8 个 A B 二人至少加工多少天后 A 才比 B 多加工 4 个机器零件 解 设 A