2000-08高考真题摘萃-圆锥曲线之二-06年.doc

92益智（Easy）学习 20002008高考真题圆锥曲线摘萃188题 共180页E 白林老师2010年10月16日整理 本节自55页92页 20002008高考真题摘萃圆锥曲线之二 20006共26题2010年10月16日星期六【2006年74题99题，共26题】74.(2006全国I文21)设P是椭圆+y=1（a1）短轴一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求的最大值.【解析】本题主要考查依题意可设P（0，1），Q（x,y），则 又因为Q在椭圆上，所以 因为若若，则当y=1时，|PQ|取最大值2.75.(2006全国I理20)在平面直角坐标系xOy中，有一个以F1(0,)和F2(0,)为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量=+，求：（）点M的轨迹方程；（）|的最小值。【解析】本题主要考查（）椭圆方程可写为+=1 (ab0)，且得a2=4,b2=1，所以曲线C的方程为x2+=1 (x0,y0), 所以y=2 (0x1,y2) （）， ， 且当，即时，上式取等号故的最小值为3.76.(2006全国II文22理21)已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。 （I）证明为定值； （II）设的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值。【解析】本题主要考查 （）由已知条件，得设由，即得 将式两边平方并把代入得 解、式得，且有抛物线方程为 求导得所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是，即 解出两条切线的交点M的坐标为所以 所以为定值，其值为0. （）由（）知在ABM中，FMAB，因而S=|AB|FM|。 |FM| 因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y= -1的距离，所以 |AB|=|AF|+|BF| 于是 由 且当=1时，S取得最小值4.77.(2006北京文19)椭圆C：=1(ab0)的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1F1F2，|PF1|=，|PF2|=.()求椭圆C的方程；()若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M，交椭圆C于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程.【解析】本题主要考查解法一：()因为点P在椭圆C上，所以2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3.在RtPF1F2中，|F1F2|=2，故椭圆的半焦距c=，从而b2=a2-c2=4，所以椭圆C的方程为.()设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2).已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5，所以圆心M的坐标为(-2，1)，从而可设直线l的方程为y=k(x+2)+1，代入椭圆C的方程得(4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0.因为A，B关于点M对称，所以= -2，解得k=，所以直线l的方程为y=(x+2)+1，即8x-9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.)解法二：()同解法一.()已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5，所以圆心M的坐标为(-2，1).设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2).由题意x1x2且， . 由-得=0. 因为A，B关于点M对称，所以x1+x2= -4，y1+y2=2，代入得，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为y-1=(x+2)，即8x-9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.)78.(2006天津文22)如图，双曲线=1（a0，b0）的离心率为，F1、F2分别为左、右焦点， M为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且.()求双曲线的方程；()设A(m，0)和B(，0)（0m1）是x轴上的两点过点A作斜率不为0的直线l，使得l交双曲线于C、D两点，作直线BC交双曲线于另一点E证明：直线DE垂直于x轴【解析】本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、平面向量、曲线和方程的关系等解析几何的基础知识和基本思想方法，考查推理和运算能力. ()解：根据题设条件，F1（-c,0）,F2(c,0).设点M（x,y）.则x、y满足 ，因e=,解得M(,),故=利用a2+b2=c2,得c2=,于是a2=1,b2=.因此，所求双曲线方程为x2-4y2=1.()解：设点C（x1,y1）,D(x2,y2),E(x3,y3),则直线l的方程为 y=(x-m).于是C(x1,y1)、D(x2,y2)两点坐标满足将代入得（x12-2x1m+m2-4y12）x2+8my12x-4y12m2-x12+2mx1-m2=0.由x21-4y21=1 (点C在双曲线上)，上面方程可化简为（m2-2x1m+1）x2+8my12x-(x12-2mx1+m2x12)=0.由已知，显然m2-2x1m+10.于是x1x2=-.因为x10，得x2=同理，C(x1,y1)、E(x3,y3)两点坐标满足可解得x3=所以x2=x3,故直线DE垂直于x轴.79.(2006天津理22)如图，以椭圆(ab0)的中心O为圆心，分别以a和b为半径作大圆和小圆过椭圆右焦点F(c，0)(cb)作垂直于x轴的直线交大圆于第一象限内的点A.连结OA交小圆于点B设直线BF是小圆的切线 ()证明：c2=ab，并求直线BF与y轴的交点M的坐标；()设直线BF交椭圆于P、Q两点，证明=b2【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、平面向量、曲线和方程的关系等解析几何的基础知识和基本思想方法，考查推理及运算能力. ()证明：由题设条件知，RtOFARtOBF，故即.因此，c2=ab.解：在RtOFA中，FA=于是，直线OA的斜率k0A=.设直线BF的斜率为k，则k=这时，直线BF的方程为y=（xc），令x=0，则y=所以直线BF与y轴的交点为M（0，a）.()证明：由（），得直线BF的方程为y=kx+a，且k2= 由已知，设P（x1,y1）、Q（x2,y2）,则它们的坐标满足方程组由方程组消去y，并整理得（b2+a2k2）x2+2a3kx+a4-a2b2=0. 由、和，x1x2=由方程组消去x，并整理得（b2+a2k2）y2-2ab2y+a2b2-a2b2k2=0. 由式和，y1y2=综上，得到.注意到a2-ab+b2=a2-c2+b2=2b2,得80.(2006上海文21)已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（-，0）.且右顶点为D（2，0），设点A的坐标是（1，）. (1)求该椭圆的标准方程.(2)若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；(3)过原点O的直线交椭圆于点B、C.求ABC面积的最大值.【解析】本题主要考查(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1. 又椭圆的焦点在x轴上, 椭圆的标准方程为(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0),由 得 点P在椭圆上,得, 线段PA中点M的轨迹方程是.(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此ABC的面积SABC=1.当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入,解得B(,),C(,),则,又点A到直线BC的距离d=,ABC的面积SABC=于是SABC=由1,得SABC,其中,当k=时,等号成立.SABC的最大值是. 81.(2006上海理20)在平面直角坐标系O中，直线与抛物线2相交于A、B两点（1）求证：“如果直线过点T（3，0），那么3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由【解析】本题主要考查（1）如果直线轴，则 如果直线与轴不垂直，设直线的方程为， 综上，得“如果直线过点，那么”是真命题。（2）（1）中命题的逆命题：在平面直角坐标系O中，直线与抛物线2相交于、两点。如果 ，那么直线必过点。 设直线与轴的交点坐标为，则直线方程为，把它代入得 由，即直线必过点。（1）中命题的逆命题是假命题。82.(2006浙江文19)如图，椭圆 (ab0)与过点A(2，0)、B(0，1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e= ()求椭圆方程；()设Fl、F2分别为椭圆的左、右焦点，求证：|AT|2=|AF1|AF2|【解析】本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。解：（）过A、B的直线方程为 因为由题意得有惟一解，即（+）x2-a2x+a2-a2b2=0有惟一解，所以=a2b2 (a2+4b2-4)=0(ab0),故a2+4b2-4=0.又因为e=即所以a2=4b2.从而得a2=2，b2=，故所需求的椭圆的方程为 （）由（）得c= 所以F1（-，0），F2（，0）. 由解得x1=x2=1， 因此T（1，）. 从而|AT|2= 因为|AF1|AF2|=，所以|AT|2=|AF1|AF2|.83.(2006浙江理19)如图，椭圆（2，0）、B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=。 （）求椭圆方程； （）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF2的中点，求证：ATM=AF1T。【解析】本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。解：（）过点A、B的直线方程为.因为由题意得有惟一解，即有惟一解，所以 = （ab0）,故 ， 又因为，即，所以 从而得，故所求的椭圆方程为 。（）由（）得， 故从而M 由解得 所以T（1，）.因为， 又 ，得= 因此84.(2006福建理20)已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。 （I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程； （II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。【解析】本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。（I） 圆过点O、F， 圆心M在直线上。 设则圆半径 由得 解得 所求圆的方程为 （II）设直线AB的方程为 代入整理得 直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。 记中点 则 的垂直平分线NG的方程为 令得 点G横坐标的取值范围为85.(2006湖北文9)设过点P（x，y）的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若，且=1，则P点的轨迹方程是_x2+3y2=1（x0，y0）【解析】设A(xA,0) B(0,yA).， xA=x. yA=3y.Q与P关于y对轴. .x2+3y2=1. 所以P点的轨迹方程为x2+3y2=1（x0，y0）86.(2006湖北理20)设A、B分别为椭圆（a,b0）的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且x=4为它的右准线。 （）求椭圆的方程；（）设P为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP、BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M、N，证明：点B在以MN为直径的圆内。（此题不要求画图）【解析】本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。 （）依题意得解得从而b=。故椭圆方程为。（）解法1：由（）得A（-2，0）B（2，0）。设M（M点在椭圆上， 又M点异于项点A，B， 由P、A、M三点共线可得P（4，），从而(). 将式代入式简化得 2-x00，0，于是MBP为锐角，从而MBN为钝角，故点B在以MN为直径的圆内。解法2：由（）得A（-2，0），B（2，0），设则直线AP的方程为直线BP的方程为点M、N分别在直线AP、BP上，从而 联立消去y得（27+）是方程的两根，（-2） 又于是由，式代入式化简可得N点在椭圆上，且异于顶点A、B，又0，从而0，故MBN为钝角，即点B在以MN为直径的圆内。解法3：由（）得则又MN的中点Q的坐标为（87.(2006湖南文9理7)过双曲线M：x2-=1的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是_【解析】据题意，如图证:lAB：y=x+1lOC：y=6xlOB：y=-6x由解得C点纵坐标为，B点纵坐标，|AB|=|BC| =2 b=，e=.88.(2006湖南文21)已知椭圆C1=1，抛物线C2（y-m）2=2px（p0），且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.()当ABx轴时，求p、m的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；()若P=且抛物线C2的焦点在直线AB上，求m的值及AB的方程【解析】本题主要考查 () 当ABx轴时，点A、B关于x轴对称，所以m=0，直线AB的方程为x=1，从而点A的坐标为(1，)或(1，-)因为点A在抛物线上，所以=2p，即P=.此时C2的焦点坐标为(，0)，该焦点不在直线AB上()解法一 当C2的焦点在AB上时，由()知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k(x-1) 由消去y得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0 设A、B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则x1、x2是方程的两根，x1+x2=. 因为AB既是过C1的右焦点的弦，又是过C2的焦点的弦， 所以|AB|=(2-x1)+(2-x2)=4-(x1+x2)，且|AB|=(x1+)+(x2+)=x1+x2+p=x1+x2+. 从而x1+x2+=4-(x1+x2) 所以xl+x2=，即=. 解得k2=6，即k= 因为C2的焦点F(，m)在直线y=k(x-1)上，所以m=-k 即m=或m=-. 当m=时，直线AB的方程为y=-(x-1)； 当m=-时，直线AB的方程为y=(x-1) 解法二 当C2的焦点在AB上时，由()知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k(x-1)由消去y得(kx-k-m)2=x 因为C2的焦点F(，m)在y=k(x-1)上，所以m=k(-1)，即m=-k代入有(kx-)2=x即k2x2-(k2+2)x+=0. 设A、B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则x1、x2是方程的两根，x1+x2=由消去y得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0. 由于x1、x2也是方程的两根，所以x1+x2=.从而=.解得k2=6即k=因为C2的焦点F(，m)在直线y=k(x-1)上，所以m=-k即m=或m=-当m=时，直线AB的方程为y=-(x-1);当m=-时，直线AB的方程为y=(x-1)解法三 设A、B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，因为AB既过C1的右焦点F(1，0)，又过C2的焦点F(，m)，所以，|AB|=(x1+)+(x2+)=x1+x2+p=(2-x1)+(2-x2)即x1+x2=(4-p)= 由()知x1x2，于是直线AB的斜率k=-3m, 且直线AB的方程是y=-3m(x-1)，所以y1+y2=-3m(x1+x2-2)=. 又因为，所以3(x1+x2)+4(y1+y2)=0. 将、代入得m2=,即m=或m=-.当m=时，直线AB的方程为y=-(x-1)；当m=-时，直线AB的方程为y=（x-1）89.(2006湖南理21)已知椭圆C1:=1，抛物线C2:(y-m)2=2px(p0)，且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.()当ABx轴时，求m、p的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；()是否存在m、p的值，使抛物线C2的焦点恰在直线AB上?若存在，求出符合条件的m、p的值；若不存在，请说明理由【解析】本题主要考查 ()当ABx轴时，点A、B关于x轴对称，所以m=0，直线AB的方程为x=1，从而点A的坐标为(1，)或(1，-) 因为点A在抛物线上，所以=2p，即p=.此时C2的焦点坐标为(，0)，该焦点不在直线AB上（）解法一 假设存在m、p的值使C2的焦点恰在直线AB上，由（）知直线AB的斜率存在，故可设直线AB的方程为y=k（x-1）.由消去y得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0. 设A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则x1、x2是方程的两根，x1+x2=.由消去y得（kx-k-m）2=2px. 因为C2的焦点F（，m）在y=k（x-1）上，所以m=k（-1），即m+k=.代入有（kx-）2=2px.即k2x2-p（k2+2）x+=0. 由于x1、x2也是方程的两根，所以x1+x2=.从而. 又AB过C1、C2的焦点，所以|AB|=（x1+）+（x2+）=x1+x2+p=（2-x1）+（2-），则p=4-（x1+x2）=4-=. 由、得=.即k4-5k2-6=0.解得k2=6.于是k=，p=.因为C2的焦点F（，m）在直线y=（x-1）上，所以m=（-1）.即m=或m=-.由上知，满足条件的m、p存在，且m=或m=-，p=.解法二 设A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），因为AB即过C1的右焦点F（1，0），又过C2的焦点F（，m），所以|AB|=（x1+）+（x2+）=x1+x2+p=（2-x1）+（2-x2）.即x1+x2=（4-p）. 由（）知x1x2，p2，于是直线AB的斜率k=，且直线AB的方程是y=（x-1）. 所以y1+y2=（x1+x2-2）=. 又因为，所以3（x1+x2）+4（y1+y2）=0. 将、代入得m2=. 因为，所以y1+y2-2m=2p 将、代入得m2=. 由、得=.即3p2+20p-32=0.解得p=或p=-8（舍去）.将p=代入得m2=，所以m=或m=-.由上知，满足条件的m、p存在，且m=或m=-，p=.90.(2006安徽理22)如图，F为双曲线C：=1（a0,b0）的右焦点，P为双曲线C右支上一点，且位于x轴上方，M为左准线上一点，O为坐标原点。已知四边形OFPM为平行四边形，|PF|=|OF|。（）写出双曲线C的离心率e与的关系式：（）写=1时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B两点，若|AB|=12，求此时的双曲线方程。 【解析】本小题主要考查直线方程、双曲线的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力及推理能力。 （）解法1：设为PM与双曲线右准线的交点，F（c,o），则 ，即 解法2：设为PM与双曲线右准线的交点，N为左准线与x轴的交点，由于在双曲线右支上，则 由|PF|=得 将、代入得 再将 化简，得 由题意，点P位于双曲线右支上，从而|PM|M|.于是由式得（II）解：当时，由解得e=2，从而c=2a,b=由此得双曲线的方程是 下面确定a的值。解法1：设双曲线左准线与x轴的交点为N，P点的坐标为（），则 由于P（）在双曲线的右支上，且位于x轴上方，因而所以直线OP的斜率为设过焦点F且平行于OP的直线与双曲线的交点为、，则直线AB的斜率为直线AB的方程为 将其代入双曲线方程整理得 由|AB|=12得a=1，于是，所求双曲线的方程为 解法2：由条件知OFPM为菱形，其对角线OP与FM互相垂直平分，其交点Q为OP的中点。设OP的方程为y=kx(ko),则FM的方程为 由解得Q点的坐标为（），所以P点的坐标为（）.将P点的坐标代入双曲线方程，化简得 解得设过焦点F且平行于OP的直线与双曲线的交点为、，则直线AB的斜率为，直线AB的方程为将其代入双曲线方程，整理得 由|AB|=12得a=1.于是，所求双曲线的方程为 91.(2006江西文21)如图，椭圆Q：=1(ab0)的右焦点为F(c，0)，过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P为线段AB的中点. (1)求点P的轨迹H的方程； (2)若在Q的方程中，令a2=1+cos+sin，b2=sin(0). 设轨迹H的最高点和最低点分别为M和N.当为何值时，MNF为个正三角形?【解析】本题主要考查如图， （1）设椭圆Q：=1上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），又设P点坐标为P（x，y），则由-得b2(x1-x2)2x+a2(y1-y2)2y=0.1当AB不垂直x轴时，x1x2得到化简得：b2x2+a2y2-b2cx=0（*）2当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（*）所以点P的轨迹H的方程为：b2x2+a2y2-b2cx=0 （2）因为轨迹H的方程可化为：M（），N（），F(c，0)，使MNF为一个正三角形时，则，即a2=3b2.由于a2=1+cos+sin，b2=sin(0)，则1+cos+sin=3sin，得=2arctan(或表示为=arctan).92.(2006江西理21)如图，椭圆Q:=1(ab0)的右焦点为F(c，0)，过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P为线段AB的中点 (1)求点P的轨迹H的方程； (2)若在Q的方程中，令a2=1+cos+sin，b2=sin(0).确定的值，使原点距椭圆Q的右准线l最远此时，设l与x轴交点为D，当直线m绕点F转动到什么位置时，三角形ABD的面积最大?【解析】本题主要考查如图， （1）设椭圆Q：=1上的点A（x1,y1）、B（x2,y2），又设P点坐标为P（x,y），则1当AB不垂直x轴时，x1x2,由-得b2(x1-x2)2x+a2(y1-y2)2y=0,b2x2+a2y2-b2cx=0, （*）2当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程(*).故所求点P的轨迹H的方程为：b2x2+a2y2-b2cx=0.（2）因为，椭圆Q右准线l方程是x=,原点距椭圆Q的右准线l的距离为，由于c2=a2-b2,a2=1+cos+sin，b2=sin(0).则=.当=时，上式达到最大值，所以当=时，原点距椭圆Q的右准线l最远.此时a2=2,b2=1,c=1,D(2,0),|DF|=1.设椭圆Q：=1上的点A（x1,y1）、B(x2,y2)，ABD面积S=|y1|+|y2|=|y1-y2|.设直线m的方程为x=ky+1,代入=1中，得(2+k2)y2+2ky-1=0.由韦达定理得y1+y2=-,y1y2=-,4S2=(y1-y2)2=（y1+y2）2-4y1y2=,令t=k2+11,得4S2=2,当t=1,k=0取等号.因此，当直线m绕点F转动到垂直x轴位置时，三角形ABD的面积最大. 93.(2006四川文理15)如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则_;【解析】根据对称性.|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P7F|=72a=710=3594.(2006四川文22理21)已知两定点，满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点（）求的取值范围；（）如果，且曲线上存在点，使+=m，求的值和的面积S.【解析】本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识以及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。（）由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，且，易知故曲线的方程为设，由题意建立方程组消去，得又已知直线与双曲线左支交于两点，有解得 依题意得整理后得或但 故直线的方程为设，由已知，得，又，点将点的坐标代入曲线的方程，得得，但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意， 点的坐标为到的距离为的面积95.(2006重庆理22)已知一列椭圆，若椭圆上有一点，使到右准线的距离是与的等差中项，其中分别是的左、右焦点。（）试证：；（）取，并用表示的面积，试证：且【解析】本题主要考查证：（I）由题设及椭圆的几何性质有 ，故设则右准线方程为因此，由题意应满足即，解之得，即从而对任意（）设点的坐标为，则由及椭圆方程易知， 因，故的面积为，从而令，由，得两根从而易知函数在内是增函数，而在内是减函数.现在由题设取，则，是增数列，又易知.故由前已证，知，且97.(2006山东文15理14)（15）已知抛物线，过点P(4，0)的直线与抛物线相交于A(两点，则y的最小值是 【解析】假设过点P（4，0）的直线斜率存在，设为k则直线方程为y=k（x-4），代入y2=4x中得 k2（x2-8x+16）=4x化简整理 k2x2-（8k2+4）x+16k2=0x1+x2=又y+y=4（x