数列复习(习题+答案)

1 数列复习 一 数列的相关概念 1 数列的项数是 11 13 15 21n 4n 2 已知 则数列的前项为 1 0a 1 21 nn aan nN n a50 1 4 9 16 二 等差 等比数列的定义 1 下列四个命题 数列是公差为的等差数列 数列是公6 4 2 02 1 2 3a aaa 差为的等差数列 等差数列的通项公式一能写成的形式 为常数 若1a n aanb a b 为等差数列 则数列也是等差数列 其中 正确命题的序号为 n a 1nn aa 2 已知等比数列是公比为的等比数列 则数列 n a 1q q 2 n a 2 n a 2 1 n a 中 成等比数列的是 1nn aa 1nn aa 3 数列是等比数列 若数列满足 n a n b nn nab 1 nnn aab 2 nn ab 中的一个关系式 则能确定数列为等比数列的关系式是 填写满足条件的数列 n n n a a b 1 n b 的序号 4 若成等差数列 且成等比数列 则的大小关系为 cba cba cba 0abc 5 成等差数列 是 成等比数列 的充要条件 选填充分非必要条件 必要非充分cba cba 2 2 2 条件 充要条件和非充分非必要条件 6 对于如下给出的命题 一个数列既是等差数列 又是等比数列 那么这个数列必定是常数列 成等比数列 是 成等差数列 的充要条件 cba cbalg lg lg 三角形的三个内角成等差数列该三角形必有一个内角为 3 在中 成等差数列 是 三边成等差数列 的充要条件 ABC CBAsin sin sincba 其中正确命题的个数为 C 个个个个 A1 B2 C3 D4 7 若成等比数列 则不等式的解集为 cba 0 2 cbxax C 或以上都错 A BR C R D 三 数列的性质 1 等差数列中 则此数列的通项公式为 n a 147246 15 45aaaaaa 13223 nn an an 或 2 等比数列中 则它的前项之积为 n a1 8 1 63 aa10 1 32 3 设是以为公比的等比数列 则 n a2 30 12330 2a aaa 36930 aaaa 20 2 4 等比数列中 已知 那么 n a 123456 1 2a aaaaa 789101112 aaaaaa 32 5 在和之间插入个正数 使这个数成等比数列 则所插入的个数的积为 n 1 1 nn2 nn 2 1 n n n 6 若一个三角形的三个内角成等差数列 且已知一个角为 则其他两个内角的度数分别为28 60 92 7 在等差数列中 n a0 0 12 13123 SSa 2 求公差的取值范围 指出中 哪个值最大 并说明理由 d 12321 SSSS 参考解答 最大 24 3 7 d 6 S 8 已知等差数列中 则使的最小的正整数 n a 1 25a 38 SS 0 n a n 7 9 在等差数列中 若 则 n a 341011 2001aaaa 579 aaa 6003 4 10 等比数列 其中 则 n a48 n S60 2 n S n S363 11 数列和数列均为等差数列 它们的前项的和分别为和 若 则 n a n bn n S n T 4 27 n n T S n n 的值为 5 5 b a 5 12 是等差数列的前项和 已知与的等比中项为 与的等差中 n S n an 3 3 1 S 4 4 1 S 5 5 1 S 3 3 1 S 4 4 1 S 项为 则其通项公式为 1 4 183 5 nn aannN 或 13 已知数列通项公式 则它的前项中最大项和最小项分别为多少 n a Nn n n an 14 13 20 请说明理由 参考解答 为最小项 为最大项 3 a 3 313 314 a 4 a 4 413 414 a 14 数列的通项公式 问是否存在这样的自然数 使得对于任意的自然数 n a n n na9 01 N 都有成立 并说明理由 参考解答 或时成立n Nn aa 8N 9 Nn aa 15 已知函数的图象与轴正半轴的交点为 2 22f xxn xn x 0 n A a 1 2 3 n 求数列的通项公式 n a 令 为正整数 对任意的正整数 都有 求的取值范围 32 nn aa n b nn 1nn bb 参考解答 n an nN 3 16 设函数 数列的通项满足 104loglog2 xxxf x n a n a Nnnf n a 22 求数列的通项 对于任意自然数 比较与的大小 n an n a 1 n a 参考解答 2 2 n annnN 1nn aa 四 数列的通项 1 等差数列中 成等比数列 则公差 公比 结 n a 10733 10aaaa d 5 0 8 或 q 3 1 4 或 论叙述有对应性 2 若正数等比数列的公比 且成等差数列 则等于 n a1 q 653 aaa 64 53 aa aa 51 2 3 若 两个数列 及都是等差数列 公差分别为 yx yaaax 321 ybbbbx 432121 d d 则的值为 21 d d 5 4 4 互不相等的三个实数成等差数列 且成等比数列 则 cba bca cba 4 1 2 5 等比数列中 第项为 第项为 为实常数 则 n amn pmn qqp n aqp 3 6 设成等比数列 为的等差中项 为的等差中项 则 cba xba ycb y c x a 2 7 已知数列分别满足 若 nn ab nmm nnmn m aaabbbmnN 则的通项公式为 11 12ab nn ab n a n n b 2n 8 已知数列的前项之和为 则它的通项公式为 n an23 n n S n a 1 11 2 32 n n n 9 已知数列的前项之和为 则它的通项公式为 n an23 n n S n a 1 11 2 32 n n n 10 已知 则 11 2 23 nn aaanN 5 a 77 11 设数列满足 为正整数且 求 为正整数 n a23 2 11 nn aaan1 n a 1 1 1 n n a a n 的值 求数列的通项公式 参考解答 n a 1 1 1 n n a a 3 1 31 n n a nN 12 列满足 则其通项公式为 n a 4 2 11 n n n a a aa 1 6 5 42 n n anN 13 数列满足 则其通项公式为 n a nn aaanaa 2 1 21 2 1 1 1 n anN n n 14 对于数列 若是首项为 公比为的等比数列 则 n a 123121 nn aaaaaaa1 3 1 该数列的通项公式为 n n a 3 1 1 2 3 15 数列中 则 n a12 n n S 22 3 2 2 2 1 n aaaa 1 41 3 n nN 16 在内能被整除且被除余 的整数有个 2000 1000 34183 17 数列与的通项公式为 它们的公共项由小到大排成的数列为 n a n b23 2 nba n n n 则其通项公式为 n c 21 2 n n cnN 18 数列满足 求数列的通项公式 n a Nnnaaa n n 52 2 1 2 1 2 1 2 2 1 参考解答 1 141 22 n n n a n 19 三个互不相等的实数是等比数列中的连续三项 并且它们又依次是某一个等差数列中的第 n a 项 已知这三个数的和为 求这三个数 记为等比数列的前项和 且2 9 44217 n S n an 求的值 参考解答 2 6156 55 n S a n7 35 1753n 20 已知数列的前项和 n annnSn 2 21 2 Nn 判定与是否为数列中的项 数列从哪项起取正值 判定数列单调性 2 5 2 37 n a n a n a 4 参考解答 不是数列中的项 是数列中的项 从第项起取正值 递增 5 2 n a 2 37 n a n a6 21 已知数列的通项公式与前项和之间满足关系式 n a n an n S nn aS32 求 与的递推关系式 与的递推关系式 1 a n a 1 n a 2 n n S 1 n S 2 n 参考解答 1 1 2 a 1 432 nn aan 1 4322 nn SSn 22 已知数列中 n a160 640 80100 aa 若为等差数列 为公差 求及 若为等比数列 为公比 求及 n add 40 a n aqq 40 a 参考解答 24d 40 800a 1 10 2q 40 10a 23 已知数列的前项和满足 求出数列的通项公式 n an n S 5 log1 n Sn nN n a 并判断是什么数列 请说明理由 参考解答 n a 1 4 5n n anN 24 数列为等差数列 公差 其中恰为等比数列 若 n a0 d n kkk aaa 21 17 5 1 321 kkk 则 n kkkk 321 31 n nnN 25 已知数列的前项和满足 n an n S 2 1 naSS nnn 9 2 1 a 求证成等差数列 求数列的通项公式 用列举法写出所有满足时的自 n S 1 n a 1 nn aa 然数的集合 参考解答 证明略 n 2 1 9 4 2 211213 n n a n nn 3 4 5 7 26 已知数列的前项和的公式是 n an nnSn 2 2 12 求证 数列是等差数列 并求出它的首项和公差 n a 记 求证 对任何自然数 都有 21sin sinsin nnnn aaabn 1 1 8 2 n n b 参考解答 则是以为首项 以为公差的等差数列 证明略 41 12 n an n a 4 3 27 数列的前项和为 满足 n an n S23 nn San nN 求数列的通项公式 n a n a 设数列 当且时 求数列与中相同项 m b123 m bm mN 1100m n a m b 的和 数列中是否存在三项 它们可以构成等差数列 若存在 请求出一组适合条件的项 若不存 n a 在 请给予证明 参考解答 中不存在可以构成等差数列的三项 3 23 n n anN 1503 n a 28 已知的三边成等差数列 为公差 试用表示公差的取值范围 ABC cba dad 5 已知的三边成等比数列 为公差 求公比的取值范围 ABC cba qq 参考解答 3 a da 5151 22 q 五 数列的求和 1 等比数列中 前项和 则公比 3 7a 3 3 21S q 1 1 2 or 2 数列中 前项和 是常数 则其通项公式 n anbnanSn 2 ba n a 2anbanN 3 一个等差数列共项 其和为 前项之和为 后项之和为 则 n25010251075 n50 4 项数为奇数的等差数列 奇数项之和为 偶数项之和为 该数列共有项 中间项为 9675919 5 已知为等差数列 且该数列的序数为奇数的所有项之和比序数为偶数的所有项之和大 1221 a aa 15 若 则的值为 209 3aa 12 a17 6 设是公差为的等差数列 如果 那么 n a2 14797 50aaaa 36999 aaaa 82 7 一个等差数列的项数为 若 且n272 90 2421231 nn aaaaaa 则该数列的公差 33 21 n aa d3 8 已知数列的前项和为 若为等差数列 其通项公式 n an 2 13 n Spnpnp n a 为 61 n annN 9 等差数列中 则的值为 n a qppSqS qp qp S pq 10 等比数列中 前项和 则公比 3 7a 3 3 21S q 0 5 1 或 11 数列的前项和 则前项和为 n an 10 2 NnnnSn nn ab n bn 2 2 1015 10506 n nnn T nnn 12 若数列的前项和为 且 则 n an n S 1 7 322 n a an nnN n S 2 26nn 13 已知数列的前项和 则 1 1 nn n9 n S n99 14 求值 1 2 1 14 1 12 1 222 n Sn 21 n nN n 15 求值 1 42 53 6 3 nn 1 15 3 nnnnN 16 已知数列的通项公式为 求数列的前项和 n a 3215 3 26 n n nn a n n an n S 参考解答 2 415 6 21476 n n nnn S n 17 等比数列的前项和等于 紧跟后面的项的和等于 再紧跟其后的项的和为 n an2n212n3S 求出的值 参考解答 当为偶数时 当为奇数时 或Sn112S n112S 378S 6 18 等比数列的公比 前项和 则与的大小关系为 n a0 qn n S 98a S 89a S A 不能确定 A 98a S 89a S B 98a S 89a S C 98a S 89a S D 六 数列极限 1 已知是实常数 且 则的值为 cba 2lim cbn can n 3lim 2 2 bcn cbn n acn can n 2 2 lim6 2 n n 2 1 4 1 2 1 1lim2 3 1 1 32 1 21 1 lim nn n 1 4 n nn n 6 32 6 32 6 32 lim 2 22 3 2 5 n lim 2222 1 1 4 1 1 3 1 1 2 1 1 n 1 2 6 已知 则 321 Nnnnf 2 2 lim nf nf n 2 7 设 若 则 ban n n nf 1 23 2 3 lim nf n a3 b0 8 极限的值为 n lim 0 a aa aa nn nn 11 01 101 a a a 9 数列 为数列的前项和 求 1 3216 1 37 2 n n nn a n nN n S n anlim n n a 参考解答 lim n n S lim n n a 0 lim n n S 1923 32 10 等差数列的前项的和为与 若 求的值 参考解答 nn ba n n S n P 13 2 n n P S n n n n n b a lim 2 3 11 对于两个无穷数列和 是 的 n a n b 0lim nn n ba n n n n ba limlim 充分非必要条件必要非充分条件充要条件非充分非必要条件B A B C D 12 某无穷等比数列 公比 前两项和为 且所有奇数项和比所有偶数项和大 求该无穷等1 q 2 1 2 比数列的各项和 参考解答 2 3 13 等比数列中 且前项和满足 则的取值范围为 n a1 1 an n S 1 1 lim a Sn n 1 a 1 12a 14 等比数列的公比 则的值为 n a 1 3 q 12 242 lim n n n aaa aaa 2 15 数列和都是公差不为零的等差数列 且 则的值为 n a n blim3 n n n a b 12 2 lim n n n aaa n b 7 3 4 16 数列的通项公式为 则该数列的各项之和为 2 1 32 n a nn D 无穷大 A B1 C 5 6 D 1 2 17 已知数列 它的前项和为 如果是一个首项为 公比为 n a0 n a nN n n S n aa 的等比数列 且 求的值 01qq 222 12 nn GaaanN lim n n n S G 参考解答 lim n n n S G 1 1 1 01 q a q q a 18 已知数列的前项和为 且 n an n S 2 1 3 nn SanN 求的值 若记数列的前项和为 求的值 lim n n S nn aS n n Ulim n n U 参考解答 lim n n S 1lim n n U 5 7 19 在直角坐标平面内 点从原点出发沿轴的正方向前进后向左转 继续前进后向右转Pxa90 2 a 再继续前进后再向左转 这样无限地继续下去 点最后到达哪一点 参考解答 90 2 2 a 90 P 42 33 aa 20 已知点 设表示外接圆的面积 则 n A 2 0 n B 2 0 0 2 4 n C nN n SABC n n Slim4 21 数列相的邻两项是方程的两根 n a 1 nn aa0 3 1 2 n nx cx2 1 a 求无穷数列的各项和 参考解答 21n ccc 9 2 七 数学归纳法 1 求证 能被整除21532 2 n nn 25 2 已知满足 n a 12 111 6 nnnn nanaabnanN 写出数列的前项 n b4 求出数列的通项公式 并写出推理过程 n b 是否存在非零常数使数列成等差数列 若存在 试举出一个实例 若不存在 说qp qpn an 明理由 参考解答 时该数列成 123 2 8 18bbb 2 2 n bnnN 20qp 等差数列 3 和分别是等比数列和等差数列 它们的前四项和分别为和 而第二项与第四项的 n a n b12060 8 和分别为和 令集合 求证 9034 321 22 2 2 1nn bbbbBaaaA AB 八 应用 1 大楼共层 现每层指定一人 共人集中到设在第层的临时会议室开会 则问为多少时 才能nnkk 使位开会人员上下楼梯所走的路程总和最短 假定相邻两层楼梯长相等 n 参考解答 当为奇数时 当为偶数时或n 1 2 n k n 2 n k 2 2 n 2 假设每次用相同体积的清水漂洗一件衣物 且每次能洗去污垢的 那么至少要洗次 才能使存留 3 4 4 的污垢在以下 1 3 世博会的申办成功 将极大地刺激上海市的经济增长 若年人均为美元 且假设2002GDP4500 八年间人均的年增长率为 则到年 上海市的人均将达到 精确到元 GDP 102010GDP9646 4 连接三角形三边中点得第二个三角形 再连接第二个三角形三边中点得第三个三角形 如此这样不断 地作下去 则所得的所有三角形 不包括第一个三角形 的面积之和与第一个三角形的面积之比为 1 3 5 某城市年底人口为万 人均住房面积为平方米 如果该城市每年人口的平均增长率为19905006 1 为使年底人均住房面积达到平方米 该城市平均每年应新增住房面积多少平方米 20008 参考解答 每年平均新增住房万平方米141 6 一台计算装置有一个数据入口和一个运算结果的出口将自然数列中的各数依次输入口 AB nA 从口得到输出的数列 结果表明 B n a 从口输入时 从口得到 A1 nB 3 1 1 a 当时 从口输入 从口得到的结果是将前一结果先乘以中的第个2 nAnB n a 1 n a n1 n 奇数 再除以中的第个奇数 n1 n 求 从口输入和时 从口分别得到的数 从口输入时 从口得到的数 A23BA2001B 参考解答 推得 所以 2 1 15 a 3 1 35 a 1 2121 n anN nn 2001 1 16016003 a 7 某布匹批发市场一布商在月日投资购进匹布 开始销售 且每天他都能销售前一天1020400021 库存的 并当天新进匹 设天后所剩布匹的数目为 201000n n a 计算 并求 21 a a n a 若干天后 布商所剩的布匹数能否稳定在匹到之内 若能 说出是几天 若不能 说49005000 明理由 参考解答 天后 即从月日后能做到 1 4 5000800 5 n n a 111031 8 林场原有森林木材量 木材以每年的增长率生成 而每年要砍伐的木材量为 为使经过a 25x 年木材存有量翻两番 则每年砍伐量为 结论精确到 20 x0 24a01 0 9 城市年末汽车保有量为万辆 预计此后每年报废上一年末汽车保有量的 并且每年新200130 6 增汽车数量相同 为了保护城市环境 要求该城市汽车保有量不超过万辆 则每年新增汽车数量不应60 超过辆 精确到整数 36000 10 有台型号相同的联合收割机 收割一片土地上的庄稼 若同时投入至收割完毕需要用小时 1024 但现在它们是每隔相同的时间顺序投入工作的 每一台投入工作后都一直工作到庄稼收到割完毕 如果第 一台收割机工作的时间是最后一台的倍 求用这种收割方法收割完这片土地上的庄稼需用多长时间 5 参考解答 设从第一台投入工作起 这台收割机工作的时间依次为小时 依题10 12310 a a aa 意 9 组成一个等差数列 每台收割机每小时工作效率为 且有 n a 1 240 1012 110 1 240240240 5 aaa aa 由此可知 则 1210 240aaa 110 10 240 2 aa 110 48aa 小时 即用这种方法收割完这片土地上的庄稼共需小时 1 40a 40 11 年底某市有待业人员万人 根据测算该市在今后几年中平均每年将新增待业人员千人 2004108 市政府积极采取有效措施增加工作岗位 估计年可提供新增岗位千个 且以后将以平均每年20055 的速度递增 问 10 年底待业人员比年底待业人员增加多少 20072006 到哪一年底社会上待业人员总量达到最多 到哪一年开始 待业人员总量少于万 并逐渐减少最终能够彻底解决就业问题 5 参考解答 万人 到第五年即年底待业人数最多 到年达到要求 0 19520092020 12 某计算器有两个数据输入口 一个输出口 从分别输入自然数 经计算后由 21 J JC 21 J Jnm 输出自然数 它们满足 若分别输入 则输出结果 若输入任何一个固定不变的Ck 21 J J11 1 J 自然数 当输入的自然数增大 时 则输出结果必原来增大 若输入 当输入的自然数 2 J12 2 J1 1 J 增大 时 则输出结果为原来的倍 则若输入 输入时 输出自然数 12 1 J3 2 J6C14 九 综合 1 一个正数其小数部分 整数部分和自身依次成等比数列 求该数 参考解答 0 551 2 若数列的通项公式 递增的正整数数列使成 n a 22 n an t n 12 35 t nnn a a aaa 等比数列 求的值 求数列的通项公式 参考解答 1 n a t n 1 18 n a 1 32 t t ntZ 3 数列的第项为