26.2 几种常见的平面变换.doc

七彩教育网 本资料来源于七彩教育网26.2 几种常见的平面变换【知识网络】 1、以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义； 2、矩阵变换把平面上的直线变成直线（或点），即； 3、通过大量具体的矩阵对平面上给定图形（如正方形）的变换，认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影。【典型例题】例1：（1）平面上任意一点在矩阵的作用下 ( )A. 横坐标不变,纵坐标伸长5倍 B. 横坐标不变,纵坐标缩短到倍C. 横坐标,纵坐标均伸长5倍 D. 横坐标,纵坐标均缩短到倍答案：B。（2） 表示x轴的反射变换的矩阵是 ( )A. B. C. D. 答案：D。（3）已知二次曲线，若将其图形绕原点逆时针旋转角后，所得图形的新方程式中不含xy项，则= （ ）A、30 B、45 C、60 D、75答案：C。解析：由已知得旋转变换矩阵M=T：，从而有代入原二次曲线方程，得到关于的新方程式，要使其中不含项，必须满足，即，。（4）设OAB的三个点坐标为O(0,0),A(a1,a2),B(b1,b2)，在矩阵M=对应的变换下作用后形成则OAB与的面积之比为_ 。答案：1：1。解析：由题意知TM为切变变换，故变换前后的图形面积大小不变。 （5）函数在矩阵M=变换作用下的结果是 。答案：。解析：本变换是伸压变换。例2：试讨论下列矩阵将所给图形变成了什么图形，并指出该变换是什么变换。A（2，5） A（-2，5）XOY （1）方程为； （2）点A（2，5）； （3）曲线方程为答案：（1）所给方程表示的是一条直线。设A（x,y）为直线上的任意一点，经过变换后的点为：A（ x1,y1） 变换后的方程仍为：该变换是恒等变换。（图略）（2）经过变化后变为（-2，5），它们关于y轴对称，故该变换为关于y轴的反射变换（3）所给方程是以原点为圆心，2为半径的圆，设A（x,y）为曲线上的任意一点，经过变换后的点为,则 将之代入到可得方程，此方程表示椭圆，所给方程表示的是圆，该变换是伸压变换。图2图1XXYYOO例3：将双曲线C：上点绕原点逆时针旋转45，得到新图形，试求的方程。答案：由题意，得旋转变换矩阵M=，任意选取双曲线上的一点，它在变换TM作用下变为，则有M=，故，又因为点P在曲线上，所以，即有。所求的方程为。例4：研究直线在矩阵对应的变换作用下变成什么图形，并说明其几何意义。答案：任取直线的一点，它在矩阵对应的变换作用下变为，则有，故即又因为点P在直线上，所以即有从而直线在矩阵作用下变成直线。其几何意义是：把直线上的每一点沿垂直于直线的方向投影到该直线上。【课内练习】1下列矩阵是二阶单位矩阵的是 （ ）A、 B、 C、 D、答案：A。解析：由定义知。2坐标平面上将一个三角形分别作投影、伸压、旋转、反射、切变的线性变换，则得到的新图形一定与原三角形全等的个数为 （ ）A、1 B、2 C、3 D、4答案：B。解析：只有旋转、反射变换满足。3将圆在矩阵A=对应的伸压变换下变成一个椭圆，则 （ ）A、 B、3 C、 D、5答案：B。解析：由已知得。4在矩阵变换下，点A(2,1)将会转换成 。答案：(2,5)。解析：。5若直线在矩阵M=对应的变换作用下，把自己变为自己，则的值分别为 。答案：0，2。解析：由题意知TM：，故，易求得。6曲线C在伸压变换下T：）作用得到的图象，则曲线C的方程为 。答案：。解析：由已知，曲线C上每一点变换前后纵坐标没有变化，而横坐标变为原来的2倍，即将的图象上每一点的纵坐标保持不变，而横坐标变为原来的一半，故曲线C的方程为。7直线在矩阵A对应的变换作用下变成直线，则A 。答案：。8试讨论下列矩阵将所给图形（或方程表示的图形）变成了什么图形?画图并指出该变换是什么变换？A（，）XO图1 A（，）（1） 点：（2，1）（2） 点：（2，1）答案：（1）、解： =即点：（，）经过变化后变为XO图2 A（2，5）A（2，1）A（，）该变换是把向量绕着原点逆时针旋转得到向量该变换为旋转变换。变换图形如图。 （2）、解： =即点：（，）经过变化后变为A（2，5）。该变换为沿Y轴正向的切换。变换图形如图2。9研究双曲线在矩阵作用下变换得到的图形，并说明变换的几何意义。答案：设所求图形上任一点为，与之对应的原图形上的点为，则，图形略。其变换的几何意义是把双曲线上的任一点垂直投影到上。10已知矩阵M= ，向量=，=（1）试验证下列等式成立：M(+)=M+M;对任意实数，有M(+)=(M)+(M);（2）对于本题条件加以推广，定出推广后的命题，不要求证明。答案：（1）证明M(+)= M，M=，M=，M+M=，故M(+)=M+M；（2）M(+)= M(M)=，(M)= ，(M)+(M)= 故M(+)=(M)+(M) （2）推广的命题：已知二阶非零矩阵M，向量，那么对任意实数，有M(+)=(M)+(M)。【作业本】A组1变换的几何意义为 ( )A.关于y轴反射变换 B. 关于x轴反射变换C. 关于原点反射变换 D.以上都不对答案：B。2下列矩阵表示伸压变换的是 （ ） A、 B、 C、 D、答案：C。解析：根据伸压变换的定义知。3直线在矩阵变换下变成的图形是 （ ）A、直线 B、线段 C、点 D、射线答案：C。解析：任取直线上一点，它在矩阵变换下变成，则有，故，因此，直线在矩阵作用下变成点（1，1）。4图形F=，经过切变变换后的图形F的周长为 。答案：。解析：图形F为正方形，经切变变换后变为平行四边形，且各顶点依次为(0,0),(2,0),(8,2),(6,2)，故其周长为。5已知平面四边形ABCD在旋转变换作用下变成四边形，那么下面基本量：四边形的面积；四边形的形状；四边形的周长；四边形的顶点坐标。其中不改变的有 。（写出所有正确的序号）答案：。解析：由旋转变换的性质知。6写出对直线的反射矩阵M。答案：设平面上任一点，它在矩阵M对应的变换作用下变为，则，又M，M=。7如图所示，已知正三角形ABC，其中A（2，2），求点B的坐标。答案：由已知A（2，2）绕原点逆时针旋转60后移到，因此，得旋转变换矩阵 M=，M，点B的坐标为。8研究圆在矩阵作用下变换得到的图形。解：设所求图形上任一点，与之对应的原图形上的点为则，又在已知圆上，在矩阵对应的变换作用下，圆变换成线段AB，其中，如图所示。B组1下列叙述中错误的是 （ ）A、对应的变换是一伸压变换 B、表示y方向的切变变换C、表示以原点为中心的旋转变换 D、在反射变换下，任何图形不变答案：B。解析：选项B中矩阵表示x方向的切变变换。2将以伸缩使其变为的图形，则 （ ）A、 B、 C、 D、 答案：C。解析：由已知伸缩变换矩阵M=。3在平面上任意四边形ABCD，经过下列变换后，使所得图形与原四边形ABCD全等的变换矩阵是 （ ）A、 B、 C、 D、答案：C。解析：选项C是旋转变换，其中旋转角为。4曲线在矩阵作用下变换得到的曲线为 。答案： 。解析：T：。 5坐标平面上A(2,1),AOB为一等腰直角三角形，且AOB=90，点B在第二象限则点B的坐标为 。答案：。解析由已知得旋转变换矩阵，即B。6 在坐标平面上，将点P(3,4)作下列变换，试分别求变换之后的点P坐标。（1）以原点为中心，顺时针旋转60；（2）沿x轴方向平移个单位。答案：（1），Q（，）。（2）。7在伸 缩变换中，沿x轴方向伸缩a倍，然后沿y轴方向伸缩b倍，相当于矩阵的作用。那么对于沿x,y轴两方向的切变矩阵是否也有类似像矩阵的合成结果？并说明理由。答案：对于平面上的任意一点，则经过切变矩阵后变为，再经过