必修4平面向量数量积考点归纳

平面向量平面向量 误区警示误区警示 平面向量 概念繁多容易混淆 对于初学者更是一头雾水 现将与平面向量基本概念相关的误区整理如 下 向量就是有向线段向量就是有向线段 解析 向量常用一条有向线段来表示 有向线段的长度表示向量的大小 箭头所指的方向表示向量的方向 有向线段是向量的一种表示方法 不能说向量就是有向线段 若向量若向量与与相等 则有向线段相等 则有向线段 ABAB 与与 CDCD 重合重合AB CD 解析 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 因此 若 则有向线段 AB 与 CD 长度相等且方向AB CD 相同 但它们可以不重合 若向量若向量 则线段 则线段 AB CDAB CDAB CD 解析 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 故由与平行 只能得到线段 AB 与 CD 方向相同或相AB CD 反 它们可能平行也可能共线 若向量若向量与与共线 则线段共线 则线段 ABAB 与与 CDCD 共线共线AB CD 解析 平行向量也叫做共线向量 共线向量就是方向相同或相反的非零向量 故由与共线 只能得到线段 AB 与 CD 方向相同或相反 它们可能平行也可能共线 AB CD 若若 则则 a b b c a c 解析 由于零向量与任一向量平行 故当 时 向量 不一定平行 b 0 a c 当且仅当 都为非零向量时 才有 a b c a c 若若 则 则 或或 a b a b a b 解析 由 只能确定向量与的长度相等 不能确定其方向有何关系 a b a b 当与不共线时 或 都不能成立 a b a b a b 单位向量都相等单位向量都相等 解析 长度等于一个长度单位的向量叫做单位向量 由于单位向量的方向不一定相同 故单位向量也不一定相 等 若若 0 则 0a a 解析 向量和实数是两个截然不同的概念 向量组成的集合与实数集合的交集是空集 故若 0 则 不能够说 0 a a 0 a 平面向量数量积四大考点解析平面向量数量积四大考点解析 考点一考点一 考查考查概念型问题概念型问题 例例 1 1 已知 是三个非零向量 则下列命题中真命题的个数 abc 反向 baab ba ba baab bababa ab bacb A 1 B 2 C 3 D 4 评注 评注 两向量同向时 夹角为 0 或 0 而反向时 夹角为 或 180 两向量垂直时 夹角为 90 因此当两向量共线时 夹角为 0 或 反过来若两向量的夹角为 0 或 则两向量共线 考点二 考查求模问题考点二 考查求模问题 例例 2 2 已知向量 若不超过 5 则 k 的取值范围是 kba 5 2 2 ba 评注 评注 本题是已知模的逆向题 运用定义即可求参数的取值范围 例例 3 3 1 已知均为单位向量 它们的夹角为 60 那么 ba ba3 A B C D 471013 2 已知向量 向量 则的最大值是 sin cos a 1 3 bba 2 评注 评注 模的问题采用平方法能使过程简化 考点三 考查求角问题考点三 考查求角问题 例例 4 4 已知向量 3垂直于向量 7 5 向量 4垂直于向量 7 2 求向量与的夹角 ababababab 练习一 数量积 内积 的意义及运算练习一 数量积 内积 的意义及运算 1 已知向量 为单位向量 当它们之间的夹角为时 在方向上的投影与在方向上的投影分别为 4a e 3 a e e a 3 2 3 2 1 2 2 3 2 3 2 1 2 2 练习目的 区别在方向上的投影与在方向上的投影 达到正确理解投影的概念 a e e a 2 在边长为 2 的等边中 的值是 ABC AB BC 练习目的 结合图形 根据投影的意义 理解的几何意义 AB BC 3 已知的夹角为 3 2 baba 与60 c 35 3ab dmab 1 求的值 2 当 m 为何值时 垂直 ab dc 与 图 1 练习目的 结合以前所学向量垂直的等价关系 类比数量积的运算与实数多项式的运算关系 达到巩固数量积的运算 目的 练习二 数量积的坐标运算 模及夹角练习二 数量积的坐标运算 模及夹角 4 直角坐标系中 分别是与轴正方向同向的单位向量 在直角三角形中 xOyij xy ABC 若 则的可能值个数是 2 3ABijACik j k 1 2 3 4 练习目的 结合向量垂直的等价关系 练习数量积的坐标运算 体会分类讨论的数学思想方法 5 已知向量 2a 2 3b 2 3 2 ab 求 1 2 与的夹角 ab ab ab 练习目的 巩固平面向量的模以及夹角公式 类比向量的运算与实数多项式的运算的关系 6 设向量满足 的夹角为 若向量与向量夹角为钝角 a b 2 1ab a b 60 27tab atb 求实数 的取值范围 t 练习目的 综合运用向量的数量积 夹角公式以及向量共线的条件解题 在解题时要特别注意特殊情况 才能不遗漏地正确解题 练习三 平面向量的综合应用练习三 平面向量的综合应用 7 1 已知中 是中的最大角 若 则的形状为 ABC ABa BCb ABC 0a b ABC 练习目的 体会应用平面向量的夹角公式判断三角形的形状 平面向量巩固检测平面向量巩固检测 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 已知 其中 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 cos sin a cos sin b 0 1 求证 与互相垂直 ab ab 2 若与的长度相等 求的值 为非零的常数 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 ka ba k b k 2 已知 是两个不共线的向量 且 cos sin cos sin aba b 求证 与 垂直 abab 若 且 求 sin 4 4 4 ab 5 16 3 设 1212121122 2 32 其中且1 aeebeeeee eee 1 计算 的值 ab 2 当为何值时与3互相垂直 kk abab 4 已知向量 cos x sin x cos sin 其中 x 0 a 3 2 3 2 b x 2 x 2 2 1 求 及 2 若 f x 2 的最小值为 求 的值 a b a b a b a b 3 2 平面向量数量积四大考点解析平面向量数量积四大考点解析 考点一考点一 考查考查概念型问题概念型问题 例例 1 1 已知 是三个非零向量 则下列命题中真命题的个数 abc 反向 baab ba ba baab bababa ab bacb A 1 B 2 C 3 D 4 分析 分析 需对以上四个命题逐一判断 依据有两条 一仍是向量数量积的定义 二是向量加法与减法的平行四边形 法则 解 解 1 cos abab 由 及 为非零向量可得 cos 1ababab 0 或 且以上各步均可逆 故命题 1 是真命题 ab 2 若 反向 则 的夹有为 cos 且以上各步可逆 故a babababab 命题 2 是真命题 3 当 时 将向量 的起点确定在同一点 则以向量 为邻边作平行四边形 则该平行四边形必为ababab 矩形 于是它的两对角线长相等 即有 反过来 若 则以 为邻边a ba ba ba bab 的四边形为矩形 所以有 因此命题 3 是真命题 ab 4 当 但与的夹角和与的夹角不等时 就有 反过来由 abacbcacbca 也推不出 故 4 是假命题 cbcab 综上所述 在四个命题中 前 3 个是真命题 而第 4 个是假命题 应选择 C 评注 评注 两向量同向时 夹角为 0 或 0 而反向时 夹角为 或 180 两向量垂直时 夹角为 90 因此 当两向量共线时 夹角为 0 或 反过来若两向量的夹角为 0 或 则两向量共线 考点二 考查求模问题考点二 考查求模问题 例 2 已知向量 若不超过 5 则 k 的取值范围是 kba 5 2 2 ba 分析 分析 若则 或 对于求模有时还运用平方法 yxa 22 2 yxa 22 yxa 解 由 又 由模的定义 得 解得 故填 kba 2 35 ba 2529 2 k26 k 2 6 评注 评注 本题是已知模的逆向题 运用定义即可求参数的取值范围 例 3 1 已知均为单位向量 它们的夹角为 60 那么 ba ba3 A B C D 471013 2 已知向量 向量 则的最大值是 sin cos a 1 3 bba 2 解 1 13931960cos63 222 bbaaba 所以 故选 C 133 ba 2 由题意 知 2 1 ba 3 sin2ba 又16 3 sin88442 22 2 bbaaba 则的最大值为 4 ba 2 评注 评注 模的问题采用平方法能使过程简化 考点三 考查求角问题考点三 考查求角问题 例例 4 4 已知向量 3垂直于向量 7 5 向量 4垂直于向量 7 2 求向量与的夹角 ababababab 分析 分析 要求与的夹角 首先要求出与的夹角的余弦值 即要求出 及 而本题中很难abababab 求出 及 但由公式 cos 可知 若能把 及 中的两个用另一个表示abab ba ba abab 出来 即可求出余弦值 从而可求得与的夹角 ab 解 解 设与的夹角为 3垂直于向量 7 5 4垂直于 7 2 ababababab 即 0274 0573 baba baba 08307 015167 22 22 bbaa bbaa 解之得 2 2 2 2 2 2 babaababab cos 因此 a 与 b 的夹角为 ba ba ba b 2 2 1 2 1 3 3 练习一 数量积 内积 的意义及运算练习一 数量积 内积 的意义及运算 1 已知向量 为单位向量 当它们之间的夹角为时 在方向上的投影与在方向上的投影分 4a e 3 a e e a 别为 3 2 3 2 1 2 2 3 2 3 2 1 2 2 1 答案 B 解答 在方向上的投影a e 1 cos42 2 a 3 在方向上的投影e a 11 cos1 22 e 3 练习目的 区别在方向上的投影与在方向上的投影 达到正确理解投影的概念 a e e a 2 在边长为 2 的等边中 的值是 ABC AB BC 2 答案 解答 由平面向量数量积公式得 图 1 AB BC 120ABBC COS 1 2 2 2 2 因此的值为 AB BC 练习目的 结合图形 根据投影的意义 理解的几何意义 AB BC 3 已知的夹角为 3 2 baba 与60 c 35 3ab dmab 1 求的值 ab 2 当 m 为何值时 垂直 dc 与 3 解答 1 1 cos603 23 2 a bab 22222 2322 319ababa b 所以 ab 19 2 由垂直 得 即dc 与d0c 35 3 0abmab 22 3 15 950m aba bma b 又因为的夹角为 3 2 baba 与60 所以a b 1 cos603 23 2 ab 代入 得 29 14 m 因此当时 垂直 29 14 m dc 与 练习目的 结合以前所学向量垂直的等价关系 类比数量积的运算与实数多项式的运算关系 达到巩固数量 积的运算目的 练习二 数量积的坐标运算 模及夹角练习二 数量积的坐标运算 模及夹角 4 直角坐标系中 分别是与轴正方向同向的单位向量 在直角三角形中 若xOyij xy ABC 则的可能值个数是 2 3ABijACik j k 1 2 3 4 4 答案 B 提示 由题设 1 BCikj 转化为坐标表示 2 1 3 ABACk 1 1 BCk 是直角三角形可以分为三种情况 ABC 1 得 2 3 10ABAC AB ACk AA6k 2 得 2 1 1 1 0ABBC AB BCk A1k 3 3 1 1 0ACBC AC BCk k A 即 无解 2 30kk 故 的可能有两个值 1 6 k 练习目的 结合向量垂直的等价关系 练习数量积的坐标运算 体会分类讨论的数学思想方法 5 已知向量 2a 2 3b 2 3 2 ab 求 1 2 与的夹角 ab ab ab 解答 由题设 2 2 3 ab 1 由得 2 3 2 ab 2 16ab 即 22 22 216abababa b A 解得 0a b A 所以 22 22 2abababa b A 22 2 2 3 216a b A 因此 4 ab 2 设夹角为 又 22 22 2 2 3 8ababab A 所以 1 cos 2 abab a bab A 8 4 4 练习目的 巩固平面向量的模以及夹角公式 类比向量的运算与实数多项式的运算的关系 6 设向量满足 的夹角为 若向量与向量夹角为钝角 求实数 的取 a b 2 1ab a b 60 27tab atb t 值范围 6 解答 由题设 1 cos602 11 2 a bab 因为向量与向量夹角为钝角 27tab atb 所以 27 0 27 tabatb tabatb A 27 0tabatb A 由 2222 2 7 27 21570t at bta btt A 解得 1 7 2 t 另一方面 当夹角为时 也有 所以由向量与向量同方向得 2 21570tt 27tab atb 27tab atb 0 因此2 7tt 解得 14 2 t 14 由于 所以 得0 0t 14 2 t 因此 当时 两向量的夹角为 不合题意 14 2 t 所以 若向量与向量的夹角为锐角 实数 的取值范围是 27tab atb t 14141 7 222 练习目的 综合运用向量的数量积 夹角公式以及向量共线的条件解题 在解题时要特别注意特殊情况 才能 不遗漏地正确解题 练习三 平面向量的综合应用练习三 平面向量的综合应用 7 1 已知中 是中的最大角 若 则ABC ABa BCb ABC 0a b 的形状为 ABC 7 答案 锐角三角形 提示 由 cos a b ab 0 可得 即的夹角为钝角 所以 为锐角 cos0 ABBC 与ABC 因此为锐角三角形 ABC 练习目的 体会应用平面向量的夹角公式判断三角形的形状 平面向量巩固检测平面向量巩固检测 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 已知 其中 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 cos sin a cos sin b 0 1 求证 与互相垂直 ab ab 证明 222222 cossin cossin 0ababab A 与互相垂直ab ab 2 若与的长度相等 求的值 为非零的常数 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 ka ba k b k 解析 k a coscos sinsin bkk a k coscos sinsin bkk 2 12 cos k a bkk 2 1 2 cos a kbkk 而 22 12 cos 12 cos kkkk cos 0 2 2 已知 是两个不共线的向量 且 cos sin cos sin aba b 求证 与 垂直 abab 若 且 求 sin 4 4 4 ab 5 16 解 1 4cos 3sin 3cos 4sin a b 1 ab 又 2 2 2 2 0abababab abab 2 2 2 2 2 2 2 2 ababababab 5 16 又 cos ab