坐标法及其应用.doc

坐标法及其应用 复习说明解析几何以坐标系为桥梁，将点用坐标表示、线用方程表达，进而达到用代数方法研究平面图形性质之目的。因此，解析几何的根本方法当属坐标法，此种方法已成为高考考查的核心。本专题从阐明坐标法的思维途径出发给出其若干应用。内容提要坐标法的实质就是借助于点的坐标，运用解析工具（即有关公式）将平面图形的若干性质翻译转换成若干数量关系；运用坐标法的一般思维程序或步骤是：位置关系数量关系坐标关系，其核心在于用点的坐标将几何关系代数化。通过引入坐标，将几何条件代数化后，可达到求解如下几类问题之目的。1 轨迹方程：求曲线的方程是解析几何的两大基本任务之一，它是由方程研究曲线性质的首要环节，其实质就是求曲线上流动的点M的坐标（x，y）所满足的等量关系。因此，求曲线的轨迹方程应属坐标法最原始乃至最本质的运用。在实施坐标法求曲线轨迹方程的过程中，常常因为难以直接产生动点流动坐标的方程，除了引入曲线上动点的坐标外，尚需视问题方便引入一些相关点的坐标（即参数），最后为达到求出动点流动坐标的轨迹方程之目的则应以消去参数坐标为已任。2 范围问题：求参变量的取值范围是解析几何的热点内容之一。一般地，先通过引入坐标建立关于坐标的方程或函数关系，根据点的坐标的存在范围，再在函数、方程与不等式的转换中完成对范围题的求解。3 最值与定值：凡涉及曲线上动点运动的定值与最值问题，均可引入该动点的坐标作为参数，通过建立目标函数寻求解题途径。4 位置关系：直线与圆锥曲线相交时若干问题的探讨是解析几何研究的核心内容。直线与圆锥曲线交点的坐标就是它们联立方程组的解，而横坐标（或纵坐标）则是关于x（或y）的一元二次方程的两个实根。在直线与圆锥曲线的位置关系下如此利用坐标法，巧妙地利用韦达定理，能合理地沟通根与系数间的关系，达到“设而不求”、优化思维之目的。范例精讲例1 已知椭圆，A、B是椭圆上两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P（x0，0），证明：。证明：设。（1）点A、B是椭圆上 （2）M为AB中点 （3）PMAB （4） 由于几何条件（2）、（3），故本例既可从（1）、（2）、（3）出发推证结论，也可从（1）、（4）出发推证结论。这里仅给出前者的转化方法：中两式相减得，即，将代入上式，得 由式得，代入式知，。又，。例2 如图，A、为定点，且，直线过点且垂直于A；过A作动直线与直线交于点B，点M在线段AB上，且满足，试求点M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线。分析：运用坐标法的首要环节是建立直角坐标系。本例的中心任务是将几何条件转化成M坐标的方程，为此尚需要引入一些相关的参数。解：以线段的中点O为原点，线段所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，则。设。下将几何性质坐标化：（1） （2）A、M、B共线 从、中消去y1并化简得：，即为点M的轨迹方程，其轨迹形状：当a=1时为圆去掉点；当时，为椭圆去掉点。评注：如果除曲线上点M的坐标x，y外，还需引入n个相关的参数，那么必须建立关于这n+2个变元的n+1个等式，方可达目的。一般地，相关参数越多，越容易建立等式，但此时解题往往越难、技巧性也越高。例3 已知A（-2，0），B（2，0），动点P与A、B两点连线的斜率分别为和，且满足。（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）当时，曲线C的两个焦点为F1、F2，若曲线C上存在点Q使F1QF2=1200，求t的取值范围。解（1）易得C的方程为：。（2）若，则C为椭圆：。当时，焦点。不妨设点Q（x，y）在x轴上方，则F1QF2是直线F1Q到F2Q的角。，将代入上式化简，得： 椭圆上存在点Q使F1QF2=1200的充要条件是方程在区间（0，b上有实根。令，方程一根大于0、一根小于0。从而方程在区间（0，b上有实根，即，解得：。当时，仿上可求得：。综上知，t的取值范围是。评注：视tanF1QF2为点Q纵坐标y的函数，若能求出其值域，则利用为值域中的元素，也可使问题获解。值得指出的是，在三角形F1QF2中利用余弦定理可将cosF1QF2表示为点Q坐标的函数，当时，其值域为，据可得。本例的结论可利用直觉进行猜想（即短轴端点对两焦点张角最大），但过程却要靠逻辑来完成。例4 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，右准线的方程为x=1，倾斜角为的直线交椭圆C于P、Q两点，且线段PQ的中点R坐标为。（1）求椭圆C的方程；（2）设A为椭圆C的右顶点，M、N为椭圆C上两点，且三者的平方成等差数列，问：直线OM和ON的斜率之积的绝对值是否为定值？如果是，请求出定值；若不是，请说明理由。解（1）由题意知椭圆方程为。设，由点P、Q是椭圆上，两式相减得，又，又，椭圆C的方程为。（2）由（1）知点A坐标为，设则，。三者的平方成等差数列，从而，直线OM和ON的斜率之积的绝对值为定值。评注：对运动方式的不同看法，常可产生问题的不同的解法。本例是着眼于点动，选择坐标参数使问题获解；当然也可着眼于线动，选择斜率参数或角参数寻找问题的其它解法，读者不妨试之。例5 已知椭圆C：的左右两个焦点分别为F1、F2，斜率为k的直线过右焦点F2，与椭圆交于A、B两点，与y轴交于点M，且。（1）若求该椭圆离心率e的取值范围；（2）若并且弦AB的中点P到椭圆右准线的距离为，求椭圆方程。解：（1）设直线，令x=0得y=-kc，即M（0，-kc）。，由定比分点坐标公式得点B的坐标为。又点B在椭圆上，从而，解得：又，。（2）当由题（1）知，。由，消去y得：。，。由韦达定理易得：，由此可得c=2，故所求方程为参考练习1过椭圆：上动点作圆：的切线PA、PB，切点为A、B（1）若PAPB，求椭圆离心率的取值范围；（2）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M、N，求三角形MON（O为原点）面积的最小值2.已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，点P1、P2分别在双曲线的渐近线上，三角形P1OP2的面积为9，点P是双曲线C上的一点，且点P分P1P2所成的比为2。（1）求双曲线渐近线的方程；（2）求双曲线C的方程。3椭圆的离心率是椭圆上关于x轴均不对称的两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P（1，0）。（1）设AB的中点为，求x0值；（2）若F是椭圆的右焦点，且，求椭圆的方程。4椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，其离心率，过点C（-1，0）的直线与椭圆E交于A、B两点，且。（1）用直线的斜率表示三角形OAB的面积；（2）当三角形OAB面积最大时，求椭圆E的方程。 答案或提示1（1）由题意可得，OAPB为正方形，（2）设P，则AB的方程直线AB交轴于，轴于则，2（1）设双曲线的方程为，故双曲线的渐近线方程为。（2）设，则，由三角形P1OP2的面积为9知，；点P分P1P2所成的比为2，又点P在曲线C上，故，即，所求双曲线方程为。3（1）设则由知，变形整