2012年北京市中考数学一模分类汇编.doc

2012年北京市中考数学一模分类汇编代几综合题因动点特殊情况产生相似1（石景山）已知二次函数中，m为不小于0的整数，它的图像与x轴交于点A和点B，点A在原点左边，点B在原点右边（1）求这个二次函数的解析式；（2）点C是抛物线与轴的交点，已知AD=AC（D在线段AB上），有一动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度移动，同时，另一动点Q从点C出发，以某一速度沿线段CB移动，经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求t的值；（3）在（2）的情况下，求四边形ACQD的面积25.（1）二次函数的图像与x轴有两个交点， . .1分m为不小于0的整数，m取0、1. .2分 当m=1时，图像与x轴的两个交点在原点的同侧，不合题意，舍去； 当m=0时，符合题意. 二次函数的解析式为： .3分 （2）AC=AD，ADC=ACD CD垂直平分PQ，DP=DQ，ADC=CDQ. ACD=CDQ，DQAC BDQBAC， .4分 AC=，BD=，AB=4. DQ=， .5分PD=. AP=AD-PD=， t= .6分 （3）BDQBAC易求， .7分. 8分动点产生图形2.（延庆） 在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y1=ax2+3x+c的图像经过原点及点A（1,2），与x轴相交于另一点B。（1）求：二次函数y1的解析式及B点坐标；（2）若将抛物线y1以x=3为对称轴向右翻折后，得到一个新的二次函数y2,已知二次函数y2与x轴交于两点，其中右边的交点为C点. 点P在线段OC上，从O点出发向C点运动，过P点作x轴的垂线，交直线AO于D点，以PD为边在PD的右侧作正方形PDEF（当P点运动时，点D、点E、点F也随之运动）；当点E在二次函数y1的图像上时，求OP的长。若点P从O点出发向C点做匀速运动，速度为每秒1个单位长度，同时线段OC上另一个点Q从C点出发向O点做匀速运动，速度为每秒2个单位长度（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动）。过Q点作x轴的垂线，与直线AC交于G点，以QG为边在QG的左侧作正方形QGMN（当Q点运动时，点G、点M、点N也随之运动），若P点运动t秒时，两个正方形分别有一条边恰好落在同一条直线上（正方形在x轴上的边除外），求此刻t的值。25.解：（1）二次函数y1=-x2+3x 1分 B(3，0) 2分（2）由已知可得C(6,0)如图：过A点作AHx轴于H点，可得：OPDOHAPD=2a3分正方形PDEFE（3a，2a）E（3a，2a）在二次函数y1=-x2+3x的图像上 4分（3） （每个t值1分，共4分）8分具体分析：如图1：当点F、点N重合时，有OF+CN=6，则有如图2：当点F、点Q重合时，有OF+CQ=6，则有如图3：当点P、点N重合时，有OP+CN=6，则有如图4：当点P、点Q重合时，有OP+CQ=6，则有简单几何最值+面积问题3（昌平） 如图，已知抛物线与轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与轴交于点C（0，3）（1）求抛物线的解析式及顶点M坐标；（2）在抛物线的对称轴上找到点P，使得PAC的周长最小，并求出点P的坐标； （3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、C重合）过点D作DEPC交轴于点E设CD的长为m，问当m取何值时，SPDE =S四边形ABMC 24 解：（1） 抛物线（）A（-1，0）、B（3，0）C（0，3）三点， ，解得 抛物线的解析式为，顶点M为（1，4） 2分（2） 点A、B关于抛物线的对称轴对称， 连结BC与抛物线对称轴交于一点，即为所求点P 设对称轴与x轴交于点H， PHy轴， PHBCBO 由题意得BH=2，CO=3，BO=3， PH=2 P（1，2） 5分（3） A（-1，0）B（3，0），C(0，3)，M(1，4)， S四边形ABMC=9 S四边形ABMC =9SPDE， =1 OC=OD，OCB=OBC= 45 DEPC，ODE=OED= 45 OD=OE=3-m S四边形PDOE=， SPDE= S四边形PDOE- SDOE=（0m3）解得，m1=1， m2=2 8分坐标系内等面积问题4（顺义）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2+2mx+n经过点A（-4，0）和点B（0，3）（1）求抛物线的解析式； （2）向右平移上述抛物线，若平移后的抛物线仍经过点B，求平移后抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，记平移后点A的对应点为A，点B的对应点为B，试问：在平移后的抛物线上是否存在一点P，使的面积与四边形AABB的面积相等，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由解：（1）抛物线y=mx2+2mx+n经过点A（-4，0）和点B（0，3）， 抛物线的解析式为： 2分（2）令，得，得，抛物线向右平移后仍经过点B，抛物线向右平移2个单位 3分 4分平移后的抛物线解析式为 5分（3）由抛物线向右平移2个单位，得，四边形AABB为平行四边形，其面积 设P点的纵坐标为，由的面积=6，即， 6分当时，方程无实根，当时，方程的解为，点P的坐标为或 7分坐标系内特殊三角形、四边形与相似5（房山）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax28ax16a6经过点B（0，4）.求抛物线的解析式；设抛物线的顶点为D，过点D、B作直线交x轴于点A，点C在抛物线的对称轴上，且C点的纵坐标为-4，联结BC、AC.求证：ABC是等腰直角三角形；在的条件下，将直线DB沿y轴向下平移，平移后的直线记为l ，直线l 与x轴、y轴分别交于点A、B，是否存在直线l，使ABC是直角三角形，若存在求出l 的解析式，若不存在，请说明理由 图 备用图 24 解：由题意知： 解得： 抛物线的解析式为：-1分证明 ：由抛物线的解析式知:顶点D坐标为（4,6） 点C的纵坐标为4，且在抛物线的对称轴上C点坐标为(4，4)设直线BD解析式为： 有：，BD解析式为直线BD与x轴的交点A的坐标为（8,0）过点C作CE轴于点E，则CE=4，BE=8又OB=4，OA=8, CE=OB,BE=OA,CEB=BOA=90CEBBOA(SAS)-2分图1CB=AB, 1=22+3=90，2+3=901+3=90，即ABC=90ABC是等腰直角三角形-3分存在.当CAB=90时，如图1所示， ABABOAB=BAO易证:ECA=OABECA=BAOtanBAO=tanECA=EA=2A坐标为(2,0)直线l解析式为-5分当ACB=90时，如图2所示，过点C作CE轴于点E，图2易证AFCBECAF=BE由tanBAO=设B坐标为（0，n）有B坐标为（0，）直线l解析式为-7分6.（门头沟）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、 B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点E. 点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行. 一次函数y=xm的图象过点C，交y轴于D点.（1）求点C、点F的坐标；（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标.25.解：（1）由题意得，A（3，0），B（1，0） C（5，0） 1分 F（3，0） 2分 （2）由题意得，解得m=5 CD的解析式是设K点的坐标是（t，0），则H点的坐标是（t，-t+5）,G点的坐标是（t，）K是线段AB上一动点，HG=（-t+5）-（）=.3分 ，当t=时，线段HG的长度有最大值是.4分（3）AC=8 5 直线l过点F且与y轴平行，直线l的解析式是x=3.点M在l上，点N在抛物线上 设点M的坐标是（3，m），点N的坐标是（n，）.（）若线段AC是以A、C、M、N为顶点的平行四边形的边，则须MNAC，MN=AC=8 （）当点N在点M的左侧时，MN=3-n 3-n=8，解得n=-5 N点的坐标是（-5，12）6分 （）当点N在点M的右侧时，NM=n-3 n-3=8，解得n=11 N点坐标是（11，140） .7分 （）若线段AC是以A、C、M、N为顶点的平行四边形的对角线，由题意可知，点M与点N关于点B中心对称. 取点F关于点B的对称点P，则P点坐标是（-1，0）.过点P作NPx轴，交抛物线与点N. 过点N、B作直线NB交直线l于点M. NBP=MBF,BF=BP,BPN=BFM=90 BPNBFM. NB=MB 四边形ANCM是平行四边形. N点坐标是（-1，-4）.8分 符合条件的N点坐标有（-5，12），（11，140），（-1，-4），7. （朝阳）在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点N（2,5），过点N作x轴的平行线交此抛物线左侧于点M，MN=6.（1）求此抛物线的解析式；（2）点P（x,y）为此抛物线上一动点，连接MP交此抛物线的对称轴于点D，当DMN为直角三角形时，求点P的坐标；（3）设此抛物线与y轴交于点C，在此抛物线上是否存在点Q，使QMN=CNM ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.24. 解：（1）过点M、N（2，5），由题意，得M（，）. 解得 此抛物线的解析式为2分（2）设抛物线的对称轴交MN于点G，若DMN为直角三角形，则.D1（，），（，）4分直线MD1为，直线为.将P（x，）分别代入直线MD1，的解析式，得，.解得 ，（舍），（1,0）. 5分解得 ，（舍），（3,12）. 6分（3）设存在点Q（x，），使得QMN=CNM. 若点Q在MN上方，过点Q作QHMN，交MN于点H，则.即.解得，（舍）.（，3）. 7分 若点Q在MN下方，同理可得（6，）. 8分8. （怀柔）如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点，与轴的另一个交点为（1）求抛物线的解析式；（2）若点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，且以四点为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标；（3）连接OA，AB，如图2，在轴下方的抛物线上是否存在点，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由解：（1）由题意可设抛物线的解析式为抛物线过原点，抛物线的解析式为，即 2分图1（2）如图1，当四边形是平行四边形时，由，得，点的横坐标为将代入，得，3分根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧抛物线上存在点，使得四边形是平行四边形，此时点的坐标为4分图2当四边形是平行四边形时，即为点，此时坐标为（2，1）5分（3）如图2，由抛物线的对称性可知：，若与相似，必须有设交抛物线的对称轴于点，显然，直线的解析式为由，得，6分过作轴，在中，与不相似，7分同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的点所以在该抛物线上不存在点，使得与相似8分9. （燕山）已知点A（1，）在抛物线y=x2+bx+c上，点F（-，）在它的对称轴上，点P为抛物线上一动点. （1）求这条抛物线的函数解析式；（2）判断是否存在直线l，使得线段PF的长总是等于点P到直线l的距离，需说明理由.（3）设直线PF与抛物线的另一交点为Q，探究：PF和QF这两条线段的倒数和是否为定值？证明你的结论. 25. 由=，a=，得b= 1分 把b =和点A（1，）代入y=x2+bx+c，可求得c=. 这条抛物线的解析式是y=x2+x. 2分yOxPFA MlNQ1-11设点P（x0，y0），则y0=x02+x0.作PMAF于M，得 PF2=PM2+MF2 = (x0+)2+ (y0-)2 又y0=x02+x0=(x0+)2- (x0+)2=3y0+ PF2=3y0+ y02- y0+=( y0+1)2. 易知y0-，y0+10. PF= y0+1. 4分又当直线l经过点（0，-1）且与x轴平行时，y0+1即为点P到直线l的距离.存在符合题意的直线l. 5分 是定值.证明：当PFx轴时，PF=QF=，6分 当PF与x轴不平行时，作QNAF于N， MFPNFQ，. 再依据第小题的结果，可得.7分 整理上式，得 . 8分轴对称问题10（密云）已知：在平面直角坐标系xoy中，抛物线过点A（1，0），对称轴与轴交于点C，顶点为B（1）求的值及对称轴方程； （2）设点为射线BC上任意一点（、C两点除外），过作BC的垂线交直线于点D，连结设APD的面积为，点的纵坐标为m，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）设直线AB与y轴的交点为E，如果某一动点Q从E点出发，到抛物线对称轴上某点F，再到x轴上某点M，从M再回到点E如何运动路径最短？请在直角坐标系中画出最短路径，并写出点M的坐标和运动的最短距离解：（1）抛物线过点A（1，0）， 对称轴方程为 -2分（2）点A为（1，0），点B为（2，9），直线的解析式为依题意知 点的坐标为（2，m）点D的坐标为（，m）点dian（ 与的函数关系式为 -6分（3）如图：作点E关于x轴对称的点E,再作点E关于x轴对称的点E，连结EE交x轴于点M，连结EM(F与M重合)则点Q运动的最短路径为： 其中，点M的坐标为（2，0）； 最短距离为 -8分11（丰台）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，以点P（2，）为圆心的圆与y轴相切于点A，与x轴相交于B、C两点（点B在点C的左边）（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）在（1）中的抛物线上是否存在点M，使MBP的面积是菱形ABCP面积的如果存在，请直接写出所有满足条件的M点的坐标；如果若不存在，请说明理由；（3）如果一个动点D自点P出发，先到达y轴上的某点，再到达x轴上某点，最后运动到（1）中抛物线的顶点Q处，求使点D运动的总路径最短的路径的长.25. 解：（1）联结PA，PB，PC，过点P作PGBC于点G P与y轴相切于点A，PAy轴，P（2，）， OG=AP=2，PG=OA=1分PB=PC=2 BG=1CG=1，BC=2 OB=1，OC=3 A（0，），B（1，0），C（3，0）2分根据题意设二次函数解析式为：，解得a= 二次函数的解析式为：3分（2）存在点M的坐标为（0，），（3，0），（4，），（7，）7分（3）=， 抛物线的顶点Q（2，）作点P关于y轴的对称点P，则P（-2，） 联结P Q，则P Q是最短总路径， 根据勾股定理，可得P Q=.8分12. （东城）如图，在平面直角坐标系xOy中,二次函数的图象与轴交于（-1,0）、（3,0）两点, 顶点为.(1) 求此二次函数解析式；(2) 点为点关于x轴的对称点，过点作直线：交BD于点E，过点作直线交直线于点.问：在四边形ABKD的内部是否存在点P，使得它到四边形ABKD四边的距离都相等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 在（2）的条件下，若、分别为直线和直线上的两个动点，连结、，求和的最小值. 解:(1) 点A、B的坐标分别为（-1,0）、（3,0）， 解得 二次函数解析式为2分 （2）可求点C的坐标为（1，） 点D的坐标为（1，）.可求 直线AD的解析式为 .由题意可求 直线BK的解析式为. 直线的解析式为, 可求出点K的坐标为(5,).易求 . 四边形ABKD是菱形. 菱形的中心到四边的距离相等， 点P与点E重合时，即是满足题意的点，坐标为（2， ）5分 (3) 点D、B关于直线AK对称, 的最小值是.过K作KFx轴于F点. 过点K作直线AD的对称点P,连接KP,交直线AD于点Q, KPAD. AK是DAB的角平分线, . 的最小值是.即BP的长是的最小值. BKAD, . 在RtBKP中,由勾股定理得BP=8. 的最小值为8. 8分13（西城）平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点 A的坐标为(1, 0)，OB=OC，抛物线的顶点为D (1) 求此抛物线的解析式； (2) 若此抛物线的对称轴上的点P满足APB=ACB，求点P的坐标； (3) Q为线段BD上一点，点A关于AQB的平分线的对称点为，若，求点Q的坐标和此时的面积 图925解：（1） ， 抛物线的对称轴为直线 抛物线与x轴交于 点A、点B，点A的坐标为， 点B的坐标为，OB3 1分可得该抛物线的解析式为 OB=OC，抛物线与y轴的正半轴交于点C， OC=3，点C的坐标为将点C的坐标代入该解析式，解得a=12分 此抛物线的解析式为（如图9） 3分（2）作ABC的外接圆E，设抛物线的对称轴与x轴的交点为点F，设E与抛物线的对称轴位于x轴上方的部分的交点为点，点关于x轴的对称点为点，点、点均为所求点.（如图10）可知圆心E必在AB边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线上 、都是弧AB所对的圆周角， ，且射线FE上的其它点P都不满足由（1）可知 OBC=45，AB=2，OF=2可得圆心E也在BC边的垂直平分线即直线上 点E的坐标为 4分 由勾股定理得 点的坐标为 5分由对称性得点的坐标为 6分符合题意的点P的坐标为、.（3） 点B、D的坐标分别为、，可得直线BD的解析式为，直线BD与x轴所夹的锐角为45 点A关于AQB的平分线的对称点为，（如图11）若设与AQB的平分线的交点为M，则有 ，Q，B，三点在一条直线上 ， 作x轴于点N 点Q在线段BD上， Q，B，三点在一条直线上， ， 点的坐标为 点Q在线段BD上， 设点Q的坐标为，其中 ， 由勾股定理得 解得经检验，在的范围内 点Q的坐标为 7分此时 8分14.（大兴）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，直线经过点A（,4）,且与轴相交于点C. 点B在轴上，且. ABC的面积为S.（1）求m的取值范围;（2）求S关于m的函数关系式;（3）设点B在轴的正半轴上，当S取得最大值时，将ABC沿AC折叠得到，求点的坐标.24.解：直线经过点A（,4）, ., .解得且m4 2分A的坐标是（,4）,OA=.又,OB=7.B点的坐标为(0,7)或(0,-7).3分直线与轴的交点为C(0,m). 当点B的坐标是(0,7)时,C(0,m), 且m4,BC=7- m. 当点B的坐标是(0,-7)时,C(0,m), 且m4, BC=7+m. 当m=2时,一次函数取得最大值,这时C(0,2).如图,分别过点A、B作轴的垂线AD、BE,垂足为D、E.AD=,CD=4-2=2.在RtACD中,tanACD=,ACD=60 6分由题意,得AC B=ACD=60,C B=BC=7-2=5,BCE=180BCB=60.在中,BCE=60,C B=5,CE=, BE=.OE=CE-OC=.点B的的坐标为（）7分平面解析几何思想渗透15. （海淀）已知抛物线的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B.（1）如图1，若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6），试确定抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，若点M是直线AB下方抛物线上的一点，且, 求点M的坐标；（3）如图2，若点P在第一象限，且PA=PO，过点P作PDx轴于点D. 将抛物线平移，平移后的抛物线经过点A、D，该抛物线与x轴的另一个交点为C，请探究四边形OABC的形状，并说明理由. 图1 图225.解：（1）依题意, , 解得b=-2.将b=-2及点B(3, 6)的坐标代入抛物线解析式得 . 解得 c=3.所以抛物线的解析式为1分 （2）抛物线 与y轴交于点A， A(0, 3). B(3, 6),可得直线AB的解析式为.设直线AB下方抛物线上的点M坐标为（x，），过M点作y轴的平行线交直线AB于点N, 则N(x, x+3). (如图1) . 2分 . 解得 . 点M的坐标为(1, 2) 或 (2, 3). 4分 （3）如图2，由 PA=PO, OA=c, 可得. 抛物线的顶点坐标为 , 图1 . . 5分 抛物线, A（0，），P（，）, D（，0）. 可得直线OP的解析式为. 点B是抛物线与直线的图象的交点， 令 . 解得. 可得点B的坐标为（-b，）6分 由平移后的抛物线经过点A, 可设平移后的抛物线解析式为. 将点D(，0)的坐标代入，得. 平移后的抛物线解析式为. 令y=0, 即. 解得.依题意, 点C的坐标为（-b，0） 7分 BC= BC= OA.又BCOA， 四边形OABC是平行四边形. AOC=90， 四边形OABC是矩形.8分BAMCDOPQxy16（平谷）已知抛物线上有不同的两点E和F（）（1）求抛物线的解析式（2）如图，抛物线与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB的中点，PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且PMQ45，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D设AD的长为m（m0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式(3)当m，n为何值时，PMQ的边过点F解：（1）抛物线的对称轴为.1分抛物线上不同两个点E和F的纵坐标相同，点E和点F关于抛物线对称轴对称，则，且k2抛物线的解析式为.2分（2）抛物线与x轴的交点为A（4，0