2017_18学年高中数学第二章2.5圆锥曲线的共同性质学案.docx

2.5圆锥曲线的共同性质圆锥曲线的共同性质抛物线可以看成平面内到定点(焦点)F的距离与定直线(准线)l的比值等于1(离心率)的动点的轨迹问题1：当比值大于0小于1时轨迹是什么？提示：椭圆问题2：当比值大于1时轨迹是什么？提示：双曲线圆锥曲线的共同定义为：平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离之比等于常数e的点的轨迹当0e1时，它表示椭圆；当e1时，它表示双曲线；当e1时，它表示抛物线其中e是离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线.圆锥曲线的准线在圆锥曲线的定义中，定点F是焦点，定直线l是准线，而且知道抛物线只有一个焦点和一条准线问题：椭圆和双曲线有几个焦点、几条准线？提示：椭圆和双曲线有两个焦点、两条准线椭圆、双曲线和抛物线的准线方程曲线方程准线方程曲线方程准线方程1(ab0)x1(ab0)y1(a0，b0)x1(a0，b0)yy22px (p0)xx22py(p0)yy22px(p0)xx22py(p0)y1关于圆锥曲线共同特征的认识(1)从点的集合(或轨迹)的观点来看：它们都是平面内与一个定点和一条定直线的距离的比是常数e的点的集合(或轨迹)，只是当0e1时为双曲线(2)从曲线形状的生成过程来看：圆锥曲线可看成不同的平面截圆锥面所得到的截面的周界，因此，椭圆(包括圆)、抛物线、双曲线又统称为圆锥曲线2圆锥曲线共同特征的应用设F为圆锥曲线的焦点，A为曲线上任意一点，d为点A到定直线的距离，由e变形可得d.由这个变形可以实现由AF到d的转化，借助d则可以解决一些最值问题利用圆锥曲线的定义求轨迹例1已知动点M(x，y)到点F(2,0)与到定直线x8的距离之比为，求点M的轨迹思路点拨该题有两种解法，一种是利用直译法直接代入化简，另一种是用圆锥曲线的统一定义来求精解详析法一：由题意得，整理得1.法二：由圆锥曲线的统一定义知，M点的轨迹是一椭圆c2，8，则a216，a4，e，与已知条件相符，椭圆中心在原点，焦点(2,0)，准线x8，b212，其方程为1.一点通(1)解决此类题目有两种方法：直接列方程，代入后化简整理即得方程根据定义判断轨迹是什么曲线，然后确定其几何性质，从而得出方程(2)当题目中给出的条件直观上看不符合圆锥曲线定义时，要进行适当的变形，通过推导找出与之相关的距离问题进行验证，通过点与点、点与线间距离的转化去寻找解题途径，对于这种轨迹问题，一般都要通过定义解决1平面内的动点P(x，y)(y0)到点F(0,2)的距离与到x轴的距离之差为2，求动点P的轨迹解：如图，作PMx轴于M，延长PM交直线y2于N.PFPM2.PFPM2.又PNPM2，PFPN.P到定点F与到定直线y2的距离相等由抛物线的定义知，P的轨迹是以F为焦点以y2为准线的抛物线，顶点在原点，p4.抛物线方程为x28y.动点P的轨迹是抛物线2在平面直角坐标系xOy中，已知F1(4,0)，直线l：x2，动点M到F1的距离是它到定直线l距离d的倍设动点M的轨迹曲线为E.(1)求曲线E的轨迹方程；(2)设点F2(4,0)，若直线m为曲线E的任意一条切线，且点F1，F2到m的距离分别为d1，d2，试判断d1d2是否为常数，并说明理由解：(1)由题意，设点M(x，y)，则有MF1，点M(x，y)到直线l的距离d|x(2)|x2|，故|x2|，化简得x2y28.故动点M的轨迹方程为x2y28.(2)d1d2是常数，证明如下：若切线m斜率不存在，则切线方程为x2，此时d1d2(ca)(ca)b28.当切线m斜率存在时，设切线m：ykxt，代入x2y28，整理得：x2(kxt)28，即(1k2)x22tkx(t28)0.(2tk)24(1k2)(t28)0，化简得t28k28.又由kxyt0，d1，d2，d1d28,8为常数综上，对任意切线m，d1d2是常数.最值问题例2若点P的坐标是(1，3)，F为椭圆1的右焦点，点Q在椭圆上移动，当QFPQ取得最小值时，求点Q的坐标，并求出最小值思路点拨利用定义把QF转化成到准线的距离，然后再求它与PQ的和的最小值精解详析在1中a4，b2 ，c2，e，椭圆的右准线l：x8，过点Q作QQl于Q，则e.QFQQ.QFPQQQPQ(QQPQ)要使QQPQ最小，由图可知P、Q、Q三点共线，所以由P向准线l作垂线，与椭圆的交点即为QFPQ最小时的点Q，Q的纵坐标为3，代入椭圆得：Q的横坐标为x2.Q为(2，3)，此时QFPQ.一点通利用圆锥曲线的定义通过把到焦点的距离转化为到准线的距离，或把到准线的距离转化为到焦点的距离，从而求得距离问题的最值是这一部分的常见题型，应熟练掌握3已知双曲线1的右焦点为F，点A(9,2)，M为双曲线的动点，求MAMF的最小值解：双曲线离心率e，由圆锥曲线的共同性质知e(d为点M到右准线l的距离)，右准线l的方程为x，而AMMFMAdeMAd.显然当AMl时，AMd最小，而AMd的最小值为A到l的距离为9.即MAMF的最小值为.4已知定点A(2，)，点F为椭圆1的右焦点，点M在椭圆上运动，求AM2MF的最小值，并求此时点M的坐标解：a4，b2，c2.离心率e.A点在椭圆内，设M到右准线距离为d，则e，即MFedd，右准线l：x8.AM2MFAMd.A点在椭圆内，过A作AKl(l为右准线)于K，交椭圆于点M0.则A、M、K三点共线，即M与M0重合时，AMd最小为AK，其值为8(2)10.故AM2MF的最小值为10，此时M点坐标为(2，).圆锥曲线的准线、离心率的应用例3求椭圆1的离心率与准线方程，并求与该椭圆有相同准线，且离心率互为倒数的双曲线方程思路点拨由方程确定a，c，从而求e与准线，由椭圆的准线、离心率，再确定双曲线的实轴长、虚轴长，从而求出双曲线的方程精解详析由1知a5，b4，c3，e，准线方程为y.设双曲线虚半轴长为b，实半轴长为a，半焦距为c，离心率为e.则e，又.解得：a，c，b2.双曲线方程为1.一点通在圆锥曲线中，a，b，c，e，p是确定图形形状的特征量，把握它们之间的内在联系是解决此类问题的关键5过圆锥曲线C的一个焦点F的直线l交曲线C于A，B两点，且以AB为直径的圆与F相应的准线相交，则曲线C为_解析：设圆锥曲线的离心率为e，M为AB的中点，A，B和M到准线的距离分别为d1，d2和d，圆的半径为R，d，R.由题意知Rd，则e1，故圆锥曲线为双曲线答案：双曲线6(天津高考)已知抛物线y28x的准线过双曲线1(a0，b0)的一个焦点， 且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为_解析：抛物线y28x的准线x2过双曲线的一个焦点，所以c2，又离心率为2，所以a1，b，所以该双曲线的方程为x21.答案：x211圆锥曲线的准线：在求解圆锥曲线的准线时，应根据曲线的方程先化为其对应的标准形式，通过标准形式确定好曲线的焦点在坐标轴的位置，求出相应的量a、c或p，然后写出其准线2圆锥曲线的判断：要判断所给曲线是哪种圆锥曲线，常利用圆锥曲线的定义求解，其思路是：(1)如果遇到有动点到两定点的距离问题应自然联想到椭圆及双曲线的定义(2)如果遇到动点到一个定点和一条定直线的距离问题，应自然联想到椭圆、双曲线和抛物线的统一定义对应课时跟踪训练(十四) 1若双曲线1的一条准线与抛物线y28x的准线重合，则双曲线的离心率为_解析：根据题意和已知可得方程组e.答案：2设F1，F2为曲线C1：1的焦点，P是曲线C2：y21与C1的一个交点，则cosF1PF2的值是_解析：曲线C1：1与曲线C2：y21的焦点重合，两曲线共有四个交点，不妨设P为第一象限的交点则PF1PF22，PF1PF22，解得PF1，PF2.又F1F24，在F1PF2中，由余弦定理可求得cosF1PF2.答案：3设P是椭圆1上一点，M，N分别是两圆：(x4)2y21和(x4)2y21上的点，则PMPN的最小值、最大值分别为_解析：PMPN最大值为PF11PF2112，最小值为PF11PF218.答案：8,124(福建高考)椭圆：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_解析：直线y(xc)过点F1(c,0)，且倾斜角为60，所以MF1F260，从而MF2F130，所以MF1MF2.在RtMF1F2中，MF1c，MF2c，所以该椭圆的离心率e1.答案：15已知椭圆1内部的一点为A，F为右焦点，M为椭圆上一动点，则MAMF的最小值为_解析：设M到右准线的距离为d，由圆锥曲线定义知，dMF.MAMFMAd.由A向右准线作垂线，垂线段长即为MAd的最小值MAd2 1.答案：2 16已知双曲线1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF14PF2，求此双曲线离心率e的最大值解：设P点坐标为P(x0，y0)，由圆锥曲线的统一定义得：e，把PF14PF2.代入则有：x04.整理得3x03a(x0a)e.离心率e的最大值为.7已知平面内的动点P到定直线l：x2 的距离与点P到定点F(，0)之比为.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)若点N为轨迹C上任意一点(不在x轴上)，过原点O作直线AB，交(1)中轨迹C于点A、B，且直线AN、BN的斜率都存在，分别为k1、k2，问k1k2是否为定值？解：(1)设点P(x，y)，依题意，有.整理，得1.所以动点P的轨迹C的方程为1.(2)由题意，设N(x1，y1)，A(x2，y2)，则B(x2，y2)，1，1.k1k2，为定值8已知双曲线1(a0，b0)的右准线l2与一条渐近线l交于点P，F是双曲线的右焦点(1)求证：PFl；(2)若PF3，且双曲线的离心率e，求该双曲线的方程解：(1)证明：右准线为l2：x，由对称性不妨设渐近线l为yx，则P，又F(c,0)，kPF.又kl，kPFkl1.PFl.(2)PF的长即F(c,0)到l：bxay0的距离，3，b3.又e，.a4.故双曲线方程为1.对应学生用书P38一、圆锥曲线的意义1椭圆平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆(1)焦点：两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点(2)焦距：两焦点间的距离叫做椭圆的焦距2双曲线平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线(1)焦点：两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点(2)焦距：两焦点间的距离叫做双曲线的焦距3抛物线平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线二、圆锥曲线的标准方程及几何性质1椭圆的标准方程和几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程1(ab0)1(ab0)范围axa，bybaya，bxb顶点(a,0)，(0，b)(0，a)，(b,0)轴长短轴长2b，长轴长2a焦点(c,0)(0，c)焦距F1F22c对称性对称轴x轴，y轴，对称中心(0,0)离心率0e13. 抛物线的标准方程和几何性质类型y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形焦点(，0)(，0)(0，)(0，)准线xxyy范围x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e1开口方向向右向左向上向下三、圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的共同性质1圆锥曲线上的点到一个定点F和到一条定直线l(F不在定直线l上)的距离之比是一个常数e.这个常数e叫值圆锥曲线的离心率，定点F就是圆锥曲线的焦点，定直线l就是该圆锥曲线的准线2椭圆的离心率满足0e1，抛物线的离心率e1.(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分将答案填在题中的横线上)1(江苏高考)双曲线1的两条渐近线的方程为_解析：令0，解得yx.答案：yx2(四川高考改编)抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是_解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，而双曲线的渐近线方程为yx，所以所求距离为.答案：3(辽宁高考)已知F为双曲线C：1的左焦点，P，Q为C上的点若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则PQF的周长为_解析：由题意因为PQ过双曲线的右焦点(5,0)，所以P，Q都在双曲线的右支上，则有FPPA6，FQQA6，两式相加，利用双曲线的定义得FPFQ28，所以PQF的周长为FPFQPQ44.答案：444已知动圆P与定圆C：(x2)2y21相外切，又与定直线l：x1相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是_解析：设P(x，y)，动圆P在直线x1的左侧，其半径等于1x，则PC1x1，即2x.y28x.答案：y28x5两个焦点为(2,0)且过点P的椭圆的标准方程为_解析：两个焦点为(2,0)，椭圆的焦点在x轴上，且c2.设椭圆的标准方程为1(ab0)，解得a210，b26.椭圆的标准方程为1.答案：16已知过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，AF2，则BF_.解析：设点A，B的横坐标分别是x1，x2，则依题意有，焦点F(1,0)，AFx112，x11，直线AF的方程是x1，故BFAF2.答案：27已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若AB10，BF8，cosABF，则C的离心率为_解析：在ABF中，AF2AB2BF22ABBFcosABF10282210836，则AF6.由AB2AF2BF2可知，ABF是直角三角形，OF为斜边AB的中线，cOF5.设椭圆的另一焦点为F1，因为点O平分AB，且平分FF1，所以四边形AFBF1为平行四边形，所以BFAF18.由椭圆的性质可知AFAF1142aa7，则e.答案：8抛物线yx2上到直线2xy4距离最近的点的坐标是_解析：设P(x，y)为抛物线上任意一点，则P到直线的距离d，当x1时，d取最小值，此时P的坐标为(1,1)答案：(1,1)9设点P是双曲线1(a0，b0)与圆x2y22a2的一个交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且PF13PF2，则双曲线的离心率为_解析：由得PF13a，PF2a，设F1OP，则POF2180，在PF1O中，PFOFOP22OF1OPcos ，在OPF2中，PFOFOP22OF2OPcos(180)，由cos(180)cos 与OPa，得c23a2，e.答案：10已知双曲C11(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐进线的距离为2，则抛物线C2的方程为_解析：双曲线C1：1(a0，b0)的率心率为2.2，ba.双曲线的渐近线方程为 xy0.抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为2.p8.所求的抛物线方程为x216y.答案：x216y11(新课标全国卷改编)已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为_解析：因为直线AB过点F(3,0)和点(1，1)，所以直线AB的方程为y(x3)，代入椭圆方程1消去y，得x2a2xa2a2b20，所以AB的中点的横坐标为1，即a22b2，又a2b2c2，所以bc3.所以E的方程为1.答案：112若椭圆1(mn0)和双曲线1(ab0)有相同的左、右焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则PF1PF2的值是_解析：取P在双曲线的右支上，则PF1PF2()()ma.答案：ma13若椭圆mx2ny21(m0，n0)与直线y1x交于A、B两点，过原点与线段AB的中点的连线斜率为，则的值为_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点(x0，y0)由得(mn)x22nxn10x1x2，x0.y0.又，.答案：14(四川高考改编)从椭圆1(ab0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且ABOP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是_解析：由已知，点P(c，y)在椭圆上，代入椭圆方程，得P.ABOP，kABkOP，即，则bc，a2b2c22c2，则，即该椭圆的离心率是.答案：二、解答题(本大题共6小题，共90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)已知双曲线与椭圆1有公共的焦点，并且椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为，求双曲线的方程解：在椭圆1中，焦点坐标为(0，)，离心率e，设双曲线的方程为1(a0，b0)，解得双曲线的方程为1.16(本小题满分14分)已知中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆，它的离心率为，且与直线xy10相交于M、N两点，若以MN为直径的圆经过坐标原点，求椭圆的方程解：设椭圆方程为1(ab0)，e，a24b2，即a2b.椭圆方程为1.把直线方程代入并化简，得5x28x44b20.设M(x1，y1)、N(x2，y2)，则x1x2，x1x2(44b2)y1y2(1x1)(1x2)1(x1x2)x1x2(14b2)由于OMON，x1x2y1y20.解得b2，a2.椭圆方程为x2y21.17(本小题满分14分)如图，F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，F1AF260.(1)求椭圆C的离心率；(2)已知AF1B的面积为40，求a，b的值解：(1)由题意可知，AF1F2为等边三角形，a2c，所以e.(2)法一：a24c2，b23c2，直线AB的方程为y(xc)代入椭圆方程3x24y212c2，得B.所以|AB|c0|c.由SAF1B|AF1|AB|sin F1ABaca240，解得a10，b5.法二：设ABt.因为|AF2|a，所以|BF2|ta.由椭圆定义BF1BF22a可知，BF13at.由余弦定理得(3at)2a2t22atcos 60可得，ta.由SAF1Baaa240知，a10，b5.18(本小题满分16分)已知抛物线C：y24x的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A，B两点，若|AB|8，求直线l的方程解：抛物线y24x的焦点为F(1,0)，当直线l斜率不存在时，|AB|4，不合题意设直线l的方程为yk(x1)，代入y24x，整理得k2x2(2k24)xk20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知k0，则x1x2.由抛物线定义知，|AB|AF|BF|x11x21x1x22，x1x228，即28.解得k1.所以直线l的方程为y(x1)，即xy10，xy10.19(本小题满分16分)(陕西高考)已知动点M(x，y)到直线l：x4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A，B两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率解：(1)设M到直线l的距离为d，根据题意d2|MN|.由此得|4x|2，化简得1，所以，动点M的轨迹方程为1.(2)法一：由题意，设直线m的方程为ykx3，A(x1，y1)，B(x2，y2)将ykx3代入1中，有(