清华大学自主招生数学试卷（理综）及解析.docx

2009年清华大学自主招生数学试卷（理综）sq一、解答题（共7小题，满分0分）1、求值：2+2e25i+e65i2、请写出一个整系数多项式f（x），使得2+33是其一个根3、有限条抛物线及其内部能否覆盖整个坐标平面？证明你的结论4、现有100个集装箱，每个集装箱装两件货物在取出来的过程中货物的顺序被打乱了，现在按一定的规则将货物依次放入集装箱中集装箱体积都是1，且每个集装箱最多放两件货物，若装了一个货物后装不下第二个，那么就将这个集装箱密封，把这个货物装到下个集装箱中问在最坏情况下需要多少个集装箱5、A，B两人轮流向黑板上写正整数，规则是：若a1，a2，an出现在黑板上，则形如iaixi的数都不能写，不得不写1的人算输初始状态黑板上写着5，6，问先写的人还是后写的人有必胜策略？6、从0，1，2，3，4，5，6，7七个数中任取两个数相乘，使所得的积为偶数，这样的偶数共有几个？7、A，B两人玩一个游戏，A提供若干硬币，B可以任意将这些硬币全部摆放在顶点上，并确定一个目标顶点u规则是：A可以选择一个上面至少有两枚硬币的顶点v，并选择一个与它相邻的顶点w，将v上的两枚硬币取走，并放回一枚硬币在w上A若在有限步内根据规则在u上放上一个硬币则获胜已知B不想让A赢且他很聪明，试问在这两种情况下A各需要至少几个硬币才能保证自己能赢答案与评分标准一、解答题（共7小题，满分0分）1、求值：2+2e25i+e65i考点：复数求模；三角函数中的恒等变换应用。专题：计算题。分析：先根据复数的指数形式，将绝对值内复数化为复数的三角形式，从而绝对值内变成复数的代数形式，结合复数模的概念表示出此复数的模，最后利用同角三角函数关系，以及三角函数恒等变换的技巧，可以化简结果即可解答：解：原式=|2+2（cos25+isin25）+cos65+isin65|=（2+2cos25+cos65）2+（2sin25+sin65）2=4+4（cos225+sin225）+（cos265+sin265）+4（cos25cos65+sin25sin65）+8cos25+4cos65=9+4cos45+8cos254cos5=9+8cos258cos5cos25cos5=sin5（cos25cos5）sin5=sin35sin5sin252sin5=129+8cos258cos5=9+8（12）=5所以，2+2e25i+e65i=5点评：本题考查了复数的指数形式、复数模的概念，同时考查了三角恒变换的技巧，对运算能力的要求较强，属于难题2、请写出一个整系数多项式f（x），使得2+33是其一个根考点：方根与根式及根式的化简运算。专题：计算题；开放型。分析：由（2+33）2=2+39+2233，设f（x）=（x22）3=（2+33）22）3，变形整理可得答案解答：解：由f（x）=（x22）3=（2+33）22）3，得整系数多项式f（x）=x66x4+12x28，f（2+33）=（2+33）66（2+33）4+12（2+33）28点评：本题考查根式的化简运算，解题时要注意公式的灵活运用3、有限条抛物线及其内部能否覆盖整个坐标平面？证明你的结论考点：抛物线的简单性质。专题：分析法。分析：取一条直线，使它不平行于任一抛物线的对称轴，根据抛物线的图象和性质得到直线上的点不能被抛物线的图象完全覆盖，进而可得结论解答：解：不能取一条直线，使它不平行于任一抛物线的对称轴，根据抛物线的图象和性质知直线上的点不能被完全覆盖如图：（因一条直线若被抛物线覆盖，它必须是抛物线对称轴）故有限条抛物线及其内部不能覆盖整个坐标平面点评：本题主要考查抛物线的图象和性质属基础题4、现有100个集装箱，每个集装箱装两件货物在取出来的过程中货物的顺序被打乱了，现在按一定的规则将货物依次放入集装箱中集装箱体积都是1，且每个集装箱最多放两件货物，若装了一个货物后装不下第二个，那么就将这个集装箱密封，把这个货物装到下个集装箱中问在最坏情况下需要多少个集装箱考点：进行简单的演绎推理。分析：根据规则我们可以模拟装箱过程，设所有货物的体积从小到大依次为：a1，a2，a3，a200；分析可得在最坏情况下，顺序被打乱之前、之后，货物排放的顺序，进而可得答案解答：解：根据题意，设所有货物的体积从小到大依次为：a1，a2，a3，a200；在最坏情况下，顺序被打乱之前，货物顺序为：a1，a200；a2，a199；a3，a198；a100，a101，两个一组，装在同一个箱子里；顺序被打乱之后，最坏的顺序为a200，a2，a199，a3，a198，a100，a101，a1；此时，除a101，a1；可以装在同一个箱子里之外，其他的货物均是单独放在一个箱子里；共需要199个集装箱点评：本题考察的知识点是逻辑推理，注意认真审题，明确题目的规则5、A，B两人轮流向黑板上写正整数，规则是：若a1，a2，an出现在黑板上，则形如iaixi的数都不能写，不得不写1的人算输初始状态黑板上写着5，6，问先写的人还是后写的人有必胜策略？考点：进行简单的合情推理。专题：方案型。分析：本题是合情推理中的难题，需要分类讨论的情况比较多，故建议模拟游戏过程，进行分析解答：解：初始状态黑板上写着5，6，而形如iaixi的数都不能写故此时能填的数据只能从1，2，3，4，7，8，9，13，14，19中选择如果第一个人填2，第二个人只能选3，则自己必要填1，此时先填者必输如果第一个人填3，则第二个人还有1，2，4，7共4个数据可选，如果第二个人选2，则自己必要填1，此时先填者必输如果第一个人填7，则第二个人还有1，2，3，4，8，9共6个数据可选，如果第二个人选4，则自己必要填1，此时先填者必输如果第一个人填8，则第二个人还有1，2，3，4，7，9共6个数据可选，如果第二个人选4，则自己必要填1，此时先填者必输如果第一个人填9，则第二个人还有1，2，3，4，7，8共6个数据可选，如果第二个人选7，则自己必要填1，此时先填者必输如果第一个人填13，则第二个人还有1，2，3，4，7，8，9共7个数据可选，此时B无论选任意数，都必要填1，此时先填者必胜故选填13者有必胜的策略点评：穷举法是推理问题中常用的办法，根据已知条件，对每一种情况进行分析，可能得到答案6、从0，1，2，3，4，5，6，7七个数中任取两个数相乘，使所得的积为偶数，这样的偶数共有几个？考点：计数原理的应用。专题：计算题。分析：先做出积是奇数的，两个数都为质数1，3，5，7，乘积不会重复，总乘积个数为8个数字中任意选2个有28个结果，0乘以任何数都是0，所以要减去7个多余重复的0，用所有的结果数减去积是奇数的结果解答：解：乘积是奇数的个数比较好求，两个数都为质数1，3，5，7，乘积不会重复所以先求奇数个数为：4个数字1，3，5，7中任意选2个有6个结果而总乘积个数为8个数字中任意选2个有28个结果，0乘以任何数都是0，有7个多余重复的0287=21个乘积除了奇数就是偶数，那么总个数减去奇数个数，就可以得到偶数个数216=15个点评：本题考查计数原理的应用，是一个数字问题，解题时注意要求两个数字的积是偶数，因为直接做比较麻烦，因此选用先做出积是奇数的情况，符合正难则反的原则7、A，B两人玩一个游戏，A提供若干硬币，B可以任意将这些硬币全部摆放在顶点上，并确定一个目标顶点u规则是：A可以选择一个上面至少有两枚硬币的顶点v，并选择一个与它相邻的顶点w，将v上的两枚硬币取走，并放回一枚硬币在w上A若在有限步内根据规则在u上放上一个硬币则获胜已知B不想让A赢且他很聪明，试问在这两种情况下A各需要至少几个硬币才能保证自己能赢考点：概率与函数的综合。专题：方案型。分析：先判断出B选的顶点u，v；为了最后放到u上硬币，得到各个顶点需要有的硬币个数，得到需要至少几个硬币解答：解：B不想让A赢且他很聪明当顶点在一条直线上时，B将目标顶点u选在最右边，将所有硬币放在最左边为最后放在u上硬币，则3处需2枚硬币；2处需4枚硬币；需1