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高等数学（2）第11章重积分典型例题解析例1 填空（1）根据二重积分的几何意义，= 。（其中）（2）累次积分交换积分次序后，得到的积分为 。 （3）已知积分区域，二重积分在直角坐标系下化为累次积分的结果是。解（1）由二重积分的几何意义，表示球心在圆点，半径为的上半球体的体积，故为。应该填写：。（2）由已知的累次积分，得积分区域为，若变换积分次序，即先积后积，则积分变量的上、下限必须是常量，而积分变量的积分上、下限必须是常量或是的函数，因此积分区域应表为，于是交换后的积分为。应该填写：。（3）由已知的积分区域为可知区域满足联立不等式组，即而解得，因为两个积分变量的上、下限都是常量，所以可随意选择积分的顺序，若先积后积，则应填，反之应填。应该填写：或例2 单项选择（1）二重积分可表达为累次积分（）。A. ； B. ；C. ； D. （2）由曲面和及柱面所围的体积是（）。A. ； B. ；C. ； D. 解（1）因为积分区域是环域，若选择极坐标系计算积分，令，则代入解得区域，所以A正确；若选择直角坐标系计算积分，要利用积分区间的可加性，或利用区域的对称性，于是再选择积分的顺序，若先积后积，则积分区域反之积分区域，所以C，D都是错误的。应该选择：A（2）由曲面和及柱面所围的体积应是以球面被圆柱面和面所截的体积，由二重积分的几何意义知，积分区域为，被积函数为。若选择极坐标系求积分，则积分区域，被积函数为，故体积为若利用积分区域和被积函数的对称性，可以计算第一象限的二重积分，再乘4倍，这时积分区域，所以所求体积为故D正确。应该选择：D例3 计算二重积分：（1），其中为所围成的平面区域。（2）,其中为抛物线和直线所围成的平面区域。y2=xoyxy=x-2计算直角坐标系的二重积分步骤是： 1）画出区域的草图，根据图形的情况确定积分次序； 2）联立方程求交点，按积分的顺序确定积分上、下限； 3）代入公式计算积分值。 解：（1）区域如右图所示。由区域的形状，选择先积后积。联立方程，解得交点为：区域于是 = =（2）解法一：化为先对后对的累次积分。这时，区域的边界的下部是由两段不同的曲线组成，因此用直线将区域分为和两部分。那么 =+ =+ =0+解法二：化为先对后对的累次积分。这时可统一表示为因此 显然，第二种解法较为简便。可见，无论怎样选择积分次序，其结果是相同的，但是选择的不同会影响计算的过程的繁简，有时的积分次序选择的不同可能造成二重积分不能计算。例4 计算下列二重积分：（1），其中为圆周和及直线所围成的在第一象限的区域。（2），其中为圆周所围成的在区域。解 把二重积分中的变量从直角坐标系变换为极坐标系，只需把被积函数中的分别换成，面积元换成即可，积分次序一般为先后。 (1) 采用极坐标系：积分区域如右图所示。y
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