外接球问题典型例题

Leizi 在三棱柱中 已知 此 111 ABCABC 1 AAABC 平面 1 2 2 3 2 AABCBAC 三棱柱各个顶点都在一个球面上 则球的体积为 A B C D 32 3 16 25 3 31 2 知识点 线面垂直的性质 球内接多面体 球体积的公式 答案解析 A 解析 解 直三棱的各顶点都在同一球面上 如图 111 ABCABC 中 下底面的外心为的中点 ABCA 2 BAC p ABCAPBC 同理 可得上底面的外心为的中点 111 A B CAQ 11 B C 连接 则与侧棱平行 所以 平面PQPQPQABC 再取中点 可得 点到的距离相等 PQOO 111 A B C A B C 点是三棱柱外接球的球心O 111 ABCABC 中 RT POBA 1 3 2 BPBC 1 1 1 2 PQAA 即外接球半径 22 2OBBPPO 2R 因此 三棱柱外接球的球的体积为 111 ABCABC 33 4432 2 333 VR p pp 故选 A 思路点拨 根据题意并结合空间线面垂直的性质 可得三棱柱外 111 ABCABC 接球的球心是上下底面斜边中点的连线段的中点 在直角中 利PQRT POBA 用勾股定理算出的长 即得外接球半径的大小 再用球的体积公式即可算OBR 出所求外接球的体积 四面体 ABCD 中 已知 AB CD AC BD AD BC 则四面体 ABCD 的外 293437 接球的表面积 A 25 B 45 C 50 D 100 知识点 几何体的外接球的表面积的求法 割补法的应用 Leizi 答案解析 C 解析 解 由题意可采用割补法 考虑到四面体ABCD 的四个面为 全等的三角形 所以可在其每个面补上一个以 为三边的三角形作为底 29 34 37 面 且以分别 x y z 长 两两垂直的侧棱的三棱锥 从而可得到一个长 宽 高 分别为 x y z 的长方体 并且x2 y2 29 x2 z2 34 y2 z2 37 则有 2R 2 x2 y2 z2 50 R 为球的半径 得 R2 所以球的表面积为 25 2 S 4 R2 50 故选 C 思路点拨 将四面体补成长方体 通过求解长方体的对角线就是球的直径 然后求 解外接球的表面积 已知正四面体的棱长为 则它的外接球的表面积的值为 2 知识点 球内接多面体 答案解析 解析 解 正四面体扩展为正方体 它们的外接球是同一个球 3p 正方体的对角线长就是球的直径 正方体的棱长为 1 对角线长为 3 棱长为的正四面体的外接球半径为 2 3 2 所以 外接球的表面积为 故答案为 2 3 43 2 pp 3p 思路点拨 正四面体扩展为正方体 它们的外接球是同一个球 正方体的对角线长 就是球的直径 求出直径即可求出外接球半径 可求外接球的表面积 已知正三棱锥ABC 点 P A B C 都在半径为的求面上 若 PA PB PC 两两P 3 互相垂直 则球心到截面 ABC 的距离为 答案答案 3 3 点点评评 本题主要考查组合体的位置关系 抽象概括能力 空间想象能力 运算求解能力以及 Leizi 转化思想 该题灵活性较强 难度较大 该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手 注意到条 件中的垂直关系 把三棱 平面四边形中 将其沿对角线折 成四面体 使平面平面 若四面体的顶点在同一个球 面上 则该球的体积为 A B C D 1 A 根据题意 如图 可知中 在中 又因为平面平面 所以球心就是的中点 半径为 所以球的体积为 正四棱锥的顶点都在同一球面上 若该棱锥的高为 4 底面边长为 2 则该球的表面积为 Leizi A B C D 81 4 16 9 27 4 答案 A 解析 设球的半径为 R 则 棱锥的高为 4 底面边长为 2 R2 4 R 2 2 R 球的表面积为 4 2 故选 A 一个几何体的三视图如图所示 其中正视图是一个正三角形 俯视图是一个等腰直角三角 形 则该几何体的外接球的表面积为 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 3 1 1 知识点 几何体的三视图的应用 球的表面积 答案解析 16 3 解析 解 由三视图知 几何体是三棱锥 且几何体的侧面 SAC 与底面垂直 高 SO 为3 如图 Leizi 其中 OA OB OC 1 SO 平面 ABC 其外接球的球心在 SO 上 设球心为 M OM x 则 2 13xx 得 x 3 3 外接球的半径 R 2 3 3 几何体的外接球的表面积 S 4 4 3 16 3 思路点拨 由三视图解决几何问题 关键是准确的判断出原几何体的基本形状特征 再 求几何体的外接球的表面积与体积时 能直接确定圆心位置的可通过圆心位置求球的半径 若圆心位置难以确定可考虑用补形法转化为正方体或长方体外接球问题 18 如图 三棱锥中 它的三视图如下 求该棱锥的ABCP 90 ABC 全面积 内切球体积 外接球表面积 知识点 根据 三视图的定义正确读取三棱锥中的位置关系和数量关系 几何ABCP 体内切球半径 外切球半径的求法 答案解析 1 2 3 21248 343 24 36 3 4 289 解析 解 1 由三视图可知此三棱锥是 底面是腰长为6的等腰直角三角形 ABC 顶点P在底面上射影是底面直角三角形斜边中点E 且高为 4的三棱锥 侧面 PAB PAC的高都是 5 底面斜边长 所以全面积为 6 2 111 6 626 56 2448 12 2 222 2 设内切球球心O 半径r 则由得 P ABCO ABCO PABO PACO PBC VVVVV 6 4 3 正视图 6 6 3 俯视图 6 4 3 侧视图 P A CB Leizi 解得r 1111 6 6 448 12 2 3232 r 6 42 7 所以内切球体积为 3 288 42 343 3 设外接球球心M 半径R M在高PE所在直线上 因为4 3 2 所以 解得R 所以外接球表面积为 2 2 2 43 2RR 17 44 289 思路点拨 1 三视图的定义正确读取三棱锥中的位置关系和数量关系 从ABCP 而求得三棱锥的全面积 2 内切球球心与三棱锥各顶点连线 把原三棱锥分割成四个小 三棱锥 利用等体积法求内切球半径 3 分析外切球球心位置 利用已知的数量 求外 切圆半径 三棱锥BCDA 的外接球为球 球的直径是 且都是边长为 的等OADBCDABC 1 边三角形 则三棱锥的体积是 BCDA A B C D 12 2 8 1 6 1 8 2 知识点 棱锥的体积 答案解析 A 解析 因为截面 BOC 与直径 AD 垂直 而 BO CO 2 2 所以三角形 BOC 为等腰直角三角形 其面积为 1221 2224 而 AD 2 所以三棱锥 的体积为 112 2 3412 选 ABCDA 思路点拨 求棱锥的体积若直接利用所给的底面求体积不方便时 可通过换底面法或补 形法或分割法求体积 本题采取分割法求体积即把一个棱锥分割成两个棱锥的体积的和 一个几何体的三视图如图所示 其中正视图是一个正三角形 俯视图是一个等腰直角三角 形 则该几何体的外接球的表面积为 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 3 1 1 知识点 几何体的三视图的应用 球的表面积 Leizi 答案解析 解析 解 由三视图知 几何体是三棱锥 且几何体的侧面 SAC 与底面垂直 高 16 3 SO 为 如图 3 其中 OA OB OC 1 SO 平面 ABC 其外接球的球心在 SO 上 设球心为 M OM x 则 得 x 外接球的半径 R 几何体的外接球的表面积 2 13xx 3 3 2 3 3 S 4 4 3 16 3 思路点拨 由三视图解决几何问题 关键是准确的判断出原几何体的基本形状特征 再 求几何体的外接球的表面积与体积时 能直接确定圆心位置的可通过圆心位置求球的半径 若圆心位置难以确定可考虑用补形法转化为正方体或长方体外接球问题 已知 A B 是球 O 的球面上两点 AOB 90 C 为该球面上的动点 若三棱锥 O ABC 体积 的最大值为 36 则球 O 的表面积为 A 36 B 64 C 144 D 256 答案 C 解析 如图所示 当点 C 位于垂直于面AOB的直径端点时 三棱锥OABC 的体积最 大 设球O的半径为R 此时 23 111 36 326 O ABCC AOB VVRRR 故6R 则 球O的表面积为 2 4144SR 故选 C Leizi B O A C 已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上 是边长为 的正三角形 SABC OABC 1 为球的直径 且 则此棱锥的体积为 SCO2SC A 2 6 B 3 6 C 2 3 D 2 2 答案 A Leizi 直三棱柱直三