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羆莀蕿羀莅荿螁螂芁莈袄肈膇莈薃袁肃莇蚆肆罿莆螈衿芈蒅蒈肄膄蒄薀袇肀蒃蚂肃羆蒃袅袅莄蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈薈薁螅芇薇蚃羀膃薇螅螃聿薆薅罿肅薅蚇袁莃薄螀肇艿薃袂袀膅薂薂肅肁腿蚄袈羇芈螆肄芆芇蒆袆膂芆蚈肂膈芅螁羅肄芄袃螇莂芄薃羃芈芃蚅螆膄节螇羁肀莁蒇螄羆莀蕿羀莅荿螁螂芁莈袄肈膇莈薃袁肃莇蚆肆罿莆螈衿芈蒅蒈肄膄蒄薀袇肀蒃蚂肃羆蒃袅袅莄蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈薈薁螅芇薇蚃羀膃薇螅螃聿薆薅罿肅薅蚇袁莃薄螀肇艿薃袂袀膅薂薂肅肁腿蚄袈羇芈螆肄芆芇蒆袆膂芆蚈肂膈芅螁羅肄芄袃螇莂芄薃羃芈芃蚅螆膄节螇羁肀莁蒇螄羆莀蕿羀莅荿螁螂芁莈袄肈膇莈薃袁肃莇蚆肆罿莆螈衿芈蒅蒈肄膄蒄薀袇肀蒃蚂肃羆蒃袅袅莄蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈薈薁螅芇薇蚃羀膃薇螅螃聿薆薅罿肅薅蚇袁莃薄螀肇艿薃袂袀膅薂薂肅肁腿蚄袈羇芈螆肄芆芇蒆袆膂芆蚈肂膈芅螁羅肄芄袃螇莂芄薃羃芈芃蚅螆膄节螇羁肀莁蒇螄羆莀蕿羀莅荿螁螂芁莈袄肈膇莈薃袁肃莇蚆肆罿莆螈衿芈蒅蒈肄膄蒄薀袇肀蒃蚂肃羆蒃袅袅莄蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈薈薁螅芇薇蚃羀膃薇螅螃聿薆薅罿肅薅蚇袁莃薄螀肇艿薃袂袀膅薂薂肅肁腿蚄袈羇芈螆肄芆芇蒆袆膂芆蚈肂膈芅螁羅肄芄袃螇莂芄薃羃芈芃蚅螆膄节螇羁肀莁蒇螄羆莀蕿羀莅荿螁螂芁莈袄肈膇莈薃袁肃莇蚆肆罿莆螈衿芈蒅蒈肄膄蒄薀袇肀蒃蚂肃羆蒃袅袅莄蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈薈薁螅芇薇蚃羀膃薇螅螃聿薆薅罿肅薅蚇袁莃薄螀肇艿薃袂袀膅薂薂肅肁腿蚄袈羇芈螆肄芆芇蒆袆膂芆蚈肂膈芅螁羅肄芄袃螇莂芄薃羃芈芃蚅螆膄节螇羁肀莁蒇螄羆莀蕿羀莅荿螁螂芁莈袄肈膇莈薃袁肃莇蚆肆罿莆螈衿芈蒅蒈肄膄蒄薀袇肀蒃蚂肃羆蒃袅袅莄蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈薈薁螅芇薇蚃羀膃薇螅螃聿薆薅罿肅薅蚇袁莃薄螀肇艿薃袂袀膅薂薂肅肁腿蚄袈羇芈螆肄芆芇蒆袆膂芆蚈肂膈芅螁羅肄芄袃螇莂芄薃羃芈芃蚅螆膄节螇羁肀莁蒇螄羆莀蕿羀莅荿螁螂芁莈袄肈膇莈薃袁肃莇蚆肆罿莆螈衿芈蒅蒈肄膄蒄薀袇肀蒃蚂肃羆蒃袅袅莄蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈薈薁螅芇薇蚃羀膃薇螅螃聿薆薅罿肅薅蚇袁莃薄螀肇艿薃袂袀膅薂薂肅肁腿蚄袈羇芈螆肄芆芇蒆袆膂芆蚈肂膈芅螁羅肄芄袃螇莂芄薃羃芈芃蚅螆膄节螇羁肀莁蒇螄羆莀蕿羀莅荿螁螂芁莈袄肈膇莈薃袁肃莇蚆肆罿莆螈衿芈蒅蒈肄膄蒄薀袇肀蒃蚂肃羆蒃袅袅莄蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈薈薁螅芇薇蚃羀膃薇螅螃聿薆薅罿肅薅蚇袁莃薄螀肇艿薃袂袀膅薂薂肅肁腿蚄袈羇芈螆肄芆芇蒆袆膂芆蚈肂膈芅螁羅肄芄袃螇莂芄薃羃芈芃蚅螆膄节螇羁肀莁蒇螄羆莀蕿羀莅荿螁螂芁莈袄肈膇莈薃袁肃莇蚆肆罿莆螈衿芈蒅蒈肄膄蒄薀袇肀蒃蚂肃羆蒃袅袅莄蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈薈薁螅芇薇蚃羀膃薇螅螃聿薆薅罿肅薅蚇袁莃薄螀肇艿薃袂袀膅薂薂肅肁腿蚄袈羇芈螆肄芆芇蒆袆膂芆蚈肂膈芅螁羅肄芄袃螇莂芄薃羃芈芃蚅螆膄节螇羁肀莁蒇螄羆莀蕿羀莅荿螁螂芁莈袄肈膇莈薃袁肃莇蚆肆罿莆螈衿芈蒅蒈肄膄蒄薀袇肀蒃蚂肃羆蒃袅袅莄蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈薈薁螅芇薇蚃羀膃薇螅螃聿薆薅罿肅薅蚇袁莃薄螀肇艿薃袂袀膅薂薂肅肁腿蚄袈羇芈螆肄芆芇蒆袆膂芆蚈肂膈芅螁羅肄芄袃螇莂芄薃羃芈芃蚅螆膄节螇羁肀莁蒇螄羆莀蕿羀莅荿螁螂芁莈袄肈膇莈薃袁肃莇蚆肆罿莆螈衿芈蒅蒈肄膄蒄薀袇肀蒃蚂肃羆蒃袅袅莄蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈薈薁螅芇薇蚃羀膃薇螅螃聿薆薅罿肅薅蚇袁莃薄螀肇艿薃袂袀膅薂薂肅肁腿蚄袈羇芈螆肄芆芇蒆袆膂芆蚈肂膈芅螁羅肄芄袃螇莂芄薃羃芈芃蚅螆膄节螇羁肀莁蒇螄羆莀蕿羀莅荿螁螂芁莈袄肈膇莈薃袁肃莇蚆肆罿莆螈衿芈蒅蒈肄膄蒄薀袇肀蒃蚂肃羆蒃袅袅莄蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈薈薁螅芇薇蚃羀膃薇螅螃聿薆薅罿肅薅蚇袁莃薄螀肇艿薃袂袀膅薂薂肅肁腿蚄袈羇芈螆肄芆芇蒆袆膂芆蚈肂膈芅螁羅肄芄袃螇莂芄薃羃芈芃蚅螆膄节螇羁肀莁蒇螄羆莀蕿羀莅荿螁螂芁莈袄肈膇莈薃袁肃莇蚆肆罿莆螈衿芈蒅蒈肄膄蒄薀袇肀蒃蚂肃羆蒃袅袅莄蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈薈薁螅芇薇蚃羀膃薇螅螃聿薆薅罿肅薅蚇袁莃薄螀肇艿薃袂袀膅薂薂肅肁腿蚄袈羇芈螆肄芆芇蒆袆膂芆蚈肂膈芅螁羅肄芄袃螇莂芄薃羃芈芃蚅螆膄节螇羁肀莁蒇螄羆莀蕿羀莅荿螁螂芁莈袄肈膇莈薃袁肃莇蚆肆罿莆螈衿芈蒅蒈肄膄蒄薀袇肀蒃蚂肃羆蒃袅袅莄蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈薈薁螅芇薇蚃羀膃薇螅螃聿薆薅罿肅薅蚇袁莃薄螀肇艿薃袂袀膅薂薂肅肁腿蚄袈羇芈螆肄芆芇蒆袆膂芆蚈肂膈芅螁羅肄芄袃螇莂芄薃羃芈芃蚅螆膄节螇羁肀莁蒇螄羆莀蕿羀莅荿螁螂芁莈袄肈膇莈薃袁肃莇蚆肆罿莆螈衿芈蒅蒈肄膄蒄薀袇肀蒃蚂肃羆蒃袅袅莄蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈薈薁螅芇薇蚃羀膃薇螅螃聿薆薅罿肅薅蚇袁莃薄螀肇艿薃袂袀膅薂薂肅肁腿蚄袈羇芈螆肄芆芇蒆袆膂芆蚈肂膈芅螁羅肄芄袃螇莂芄薃羃芈芃蚅螆膄节螇羁肀莁蒇螄羆莀蕿羀莅荿螁螂芁莈袄肈膇莈薃袁肃莇蚆肆罿莆螈衿芈蒅蒈肄膄蒄薀袇肀蒃蚂肃羆蒃袅袅莄蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈薈薁螅芇薇蚃羀膃薇螅螃聿薆薅罿肅薅蚇袁莃薄螀肇艿薃袂袀膅薂薂肅肁腿蚄袈羇芈螆肄芆芇蒆袆膂芆蚈肂膈芅螁羅肄芄袃螇莂芄薃羃芈芃蚅螆膄节螇羁肀莁蒇螄羆莀蕿羀莅荿螁螂芁莈袄肈膇莈薃袁肃莇蚆肆罿莆螈衿芈蒅蒈肄膄蒄薀袇肀蒃蚂肃羆蒃袅袅莄蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈薈薁螅芇薇蚃羀膃薇螅螃聿薆薅罿肅薅蚇袁莃薄螀肇艿薃袂袀膅薂薂肅肁腿蚄袈羇芈螆肄芆芇蒆袆膂芆蚈肂膈芅螁羅肄芄袃螇莂芄薃羃芈芃蚅螆膄节螇羁肀莁蒇螄羆莀蕿羀莅荿螁螂芁莈袄肈膇莈薃袁肃莇蚆肆罿莆螈衿芈蒅蒈肄膄蒄薀袇肀蒃蚂肃羆蒃袅袅莄蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈薈薁螅芇薇蚃羀膃薇螅螃聿薆薅罿肅薅蚇袁莃薄螀肇艿薃袂袀膅薂薂肅肁腿蚄袈羇芈螆肄芆芇蒆袆膂芆蚈肂膈芅螁羅肄芄袃螇莂芄薃羃芈芃蚅螆膄节螇羁肀莁蒇螄羆莀蕿羀莅荿螁螂芁莈袄肈膇莈薃袁肃莇蚆肆罿莆螈衿芈蒅蒈肄膄蒄薀袇肀蒃蚂肃羆蒃袅袅莄蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈薈薁螅芇薇蚃羀膃薇螅螃聿薆薅罿肅薅蚇袁莃薄螀肇艿薃袂袀膅薂薂肅肁腿蚄袈羇芈螆肄芆芇蒆袆膂芆蚈肂膈芅螁羅肄芄袃螇莂芄薃羃芈芃蚅螆膄节螇羁肀莁蒇螄羆莀蕿羀莅荿螁螂芁莈袄肈膇莈薃袁肃莇蚆肆罿莆螈衿芈蒅蒈肄膄蒄薀袇肀蒃蚂肃羆蒃袅袅莄蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈薈薁螅芇薇蚃羀膃薇螅螃聿薆薅罿肅薅蚇袁莃薄螀肇艿薃袂袀膅薂薂肅肁腿蚄袈羇芈螆肄芆芇蒆袆膂芆蚈肂膈芅螁羅肄芄袃螇莂芄薃羃芈芃蚅螆膄节螇羁肀莁蒇螄羆莀蕿羀莅荿螁螂芁莈袄肈膇莈薃袁肃莇蚆肆罿莆螈衿芈蒅蒈肄膄蒄薀袇肀蒃蚂肃羆蒃袅袅莄蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈薈薁螅芇薇蚃羀膃薇螅螃聿薆薅罿肅薅蚇袁莃薄螀肇艿薃袂袀膅薂薂肅肁腿蚄袈羇芈螆肄芆芇蒆袆膂芆蚈肂膈芅螁羅肄芄袃螇莂芄薃羃芈芃蚅螆膄节螇羁肀莁蒇螄羆莀蕿羀莅荿螁螂芁莈袄肈膇莈薃袁肃莇蚆肆罿莆螈衿芈蒅蒈肄膄蒄薀袇肀蒃蚂肃羆蒃袅袅莄蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈薈薁螅芇薇蚃羀膃薇螅螃聿薆薅罿肅薅蚇袁莃薄螀肇艿薃袂袀膅薂薂肅肁腿蚄袈羇芈螆肄芆芇蒆袆膂芆蚈肂膈芅螁羅肄芄袃螇莂芄薃羃芈芃蚅螆膄节螇羁肀莁蒇螄羆莀蕿羀莅荿螁螂芁莈袄肈膇莈薃袁肃莇蚆肆罿莆螈衿芈蒅蒈肄膄蒄薀袇肀蒃蚂肃羆蒃袅袅莄蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈薈薁螅芇 2013高教社杯全国大学生数学建模校内选拔赛竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： A 我们的参赛报名序号为： 201354 所属学校 ： 湖南工学院 参赛队员 ：1. 陈善平 2. 金 琭 3. 甘 兵 负 责 人 ： 陈善平 日期： 2013 年 5 月 12 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 题目：工件的保养维护摘 要工件定期订购原料，存入仓库供生产之用；车间一次加工出一批零件，供装配线每天生产之需；商店成批购进各种商品，放在货柜里以备零售；水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和发电.显然，这些情况下都会有一个存储量多大才合适的问题.存储量过大，存储费用太高；存储量太小，会导致一次性订购费用增加，或不能及时满足需求。对于必做题一，是一个不允许缺货的存贮模型，一旦出现缺货会造成重大损失的情况（如炼铁厂对原料的需求）。现实世界的变化受着众多因素的影响，这些因素根据其自身的特性及人们对它们的了解程度，可分为确定的和随机的，我们研究的对象通常包含随机因数，如果随机因数对研究对象的影响必须考虑，就应该建立随机性的数学模型，这种模型简称随机模型。如果用随机变量和概率分布描述随机因素的影响，建立比较简单的随机模型概率模型。概率模型对日常生活的应用有非常重要的作用。对于必做题二，由于销售量的不确定，导致了订货量也不确定，需要建立概率模型。在各类企业中每天都有大量的机器设备不停的运转，为保证其正常工作需要经常进行保养和维修。在各类化工企业中更是如此。各种设备运行的连续监测，小到阀门的更换，大到停产维修，不仅直接关系到企业的经济效益，而且还关系到国家的财产和人民的生命的安全问题。这显然是一个既十分重大又十分复杂的系统工程问题。对于选做题A，运用随机性数学模型的概率分布建模方法，对于如何解决生产部门的设备在长期运行时，由于零部件损坏而使其不能正常运行，从而造成经济损失的问题，提出了一种结合零部件的检查和预防性更换的模型。使得在所获得的检查间隔和预防性更换周期下，生产单位产品的损失费用期望值达到最小。关键字：经济订货批量公式、标准正态分布表、指数分布。问题重述必做题1、超市经销一种商品，市场每天的需求量是50kg，超市向厂家每次发出订单的固定订货费为100元，每kg货物每天的存储费为0.01元。如果不允许超市缺货，并且超市发出订单能够马上收到货物，问超市每次订货多少能够使收益最大？隔多少天发一张订单？（20分）2、 某产品的需求量服从正态分布，。每一产品的进价为8元，卖价为15元，如果销售不完，退回每件按5元处理。问应该选择怎样的订购量才能够使得利润最大？（20分）A题:工件的保养维护在大的生产设备中长期运行的零部件，如滚珠、轴承、电器元件等会突然发生故障或损坏，即使是及时更换也已经造成了一定的经济损失。如果在零部件运行一定时期后，就对尚属正常的零件做预防性更换，以避免一旦发生故障带来的损失，从经济上看是否更为合算？如果合算，做这种预防性更换的时间如何确定呢？（40分）B题：自然灾害保险问题的研究根据2013年3月5日环球时报转摘美国商业周报的相关报道，“在2012年全世界发生的10大自然灾害中，有4场是发生在中国。包括3场严重的夏季洪涝灾和席卷苏鲁冀等沿海地区的台风达维造成的灾害。另外，还有很多地区遭受了严重干旱、冰雹等自然灾害，共造成290亿美元的损失，但通过投保由保险公司赔付的比例仅占总损失的左右，这个比例相对美国的自然灾害保险赔付率相差甚远。” 另据报道：“2013年3月20日发生在广东、广西等省部分地区的一场大风和冰雹灾害，造成直接经济损失达13亿多元。”这个事实警示我们，中国需要重视和加强自然灾害保险的研究和实践，特别是针对严重自然灾害的保险体系建设和对策方案的研究，推动由政府主导的自然灾害政策性保险方案的实施。农业灾害保险是国家政策性保险之一，即政府为保障国家农业生产的发展，基于商业保险的原理并给予政策扶持的一类保险产品。农业灾害保险也是针对自然灾害，保障农业生产的重要措施之一，是现代农业金融服务的重要组成部分，它与现代农业技术、现代农业信息化及市场建设共同构成整个农业现代化体系。农业灾害保险险种是一种准公共产品，基于投保人、保险公司和政府三方面的利益，按照公平合理的定价原则设计，由保险公司经营的保险产品，三方各承担不同的责任、义务和风险。农业灾害保险分种植业保险和养殖业保险两大类，现有几十个险种，因不同地区的气象条件和作物种类不同，其险种和设置方案都不尽相同。农业灾害保险除遵循保险的共同原理外，有其自身的特点。比如，其损失规律有别于人寿保险和通常的财产保险（如汽车险）等。政府作为投保人和承保人之外的第三方介入以体现对国家安全和救灾的责任。附件1给出了P省种植业现行的部分险种方案，请你们从实际出发，查阅和参考附件中的数据资料，通过分析建模，研究解决下面的问题：（1） 对附件2中的数据做必要的统计分析，研究P省现有农业灾害保险险种方案可能存在的风险，并分析其方案是否存在不合理性。（2） 针对P省的具体情况，选取其中部分农业灾害保险险种，设计更实际可行的农业灾害保险的险种方案，包括标的、保险金、保费、费率、赔付率、政府补贴率等；并对方案的有效性（即保险公司和投保人的风险大小）及可行性做出定量分析。（3） 将你们的模型推广应用。根据某省（市、区）的实际情况（或参见附件3），查阅相关资料，提出相应的农业灾害保险的险种方案，并对可能存在的风险做出分析；针对其它方面的自然灾害保险问题进行研究。（4） 结合你们的模型结果，从地方政府、保险公司和投保人三个方面，提出有利于自然灾害保险长远发展的对策方案，希望能用定量依据或方法说明其对策方案的可行性和有效性，并给政府相关部门写一篇建议书。附件1：2012年P省政策性农业保险统颁条款(部分)；附件2：P省10地区的20022011年的主要气象数据；附件3：全国各省（市、区）的19982011年的农作物受灾统计数据。（60分）必做题一1、 模型假设1.当储存量降到零时，超市发订单能够马上是收到货物。2.厂家生产能力无限大。2、 符号约定设隔T天发一次订单，订货量为Q千克。1.商品每天的需求量为常数r千克。2.每次发出订单的固定订货费为元，每天每千克货物的储存费为元。3.一个周期的支出总费用为,每天的平均费用为。4.一个周期表示为T。三、模型建立将储存量表示为时间t的函数，,以需求速率r递减，直到，如图1，显然有 （1.1） Q r A 0 T t 图1 不允许缺货模型的存储量一个周期内的存储费是，其中积分恰等于图1中三角形A的面积QT/2.因为每次订货费是，再注意（1.1）式，得到一个周期的总费用为 （1.2）于是每天的平均费用是 （1.3）（1.3）式为这个优化模型的目标函数1。四、模型求解 求T使（1.3)式的C最小。容易得到 （1.4）代入（1.1）式可得 （1.5）由（1.3）式算出最小的总费用为 （1.6）（1.3），（1.5）式是经济学中著名的经济订货批量公式（EOQ公式）。将，代入（1.4），（1.5）式中得到 则隔20天发一张订单，且每次订货量为1000千克能使收益最大。五、结果解释 由（1.4），（1.5）式可以看到，当订货费增加时，订货周期和订货量变大；当订货费减少时，订货周期和订货量变小；到需求量r增加时，订货周期变小而产量变大。这些定性结果都是符合常识的。当然，（1.4），（1.5）式的定量关系凭常识是无法猜出的，只能由数学建模得到。六、敏感性分析 讨论参数、，r由微小变化时对订货周期T的影响。用相对改变量衡量结果对参数的敏感程度，T对的敏感度记作，定义为 （1.7）由（1.4）式容易得到，作类似的定义并可得到，.即增加1%，T增加0.5%，而或r增加1%，。,r的微小变化对生产周期T的影响是很小的。必做题二1、 模型假设1. 需求量服从正态分布，且需求量是随机的。2. 价格不会随社会因素、自然灾害出现变化。3. 销售不完的产品，一定能够退回去，且价格不变。4.每段时间，商家的订购量在某个特定范围值内，无巨大变化。二、符号约定1.市场需求量为r件,订货量为n件。2.进货价为a元，零售价为b元,退回价为c元。3.每段时间的需求量为r，订货量为n。4.需求量为r的概率，概率密度函数为。5.需求量的期望值为,标准差为。6.平均利润为。三、模型建立 因为需求量是r是随机的，r可以小于n，等于或大于n，致使利润也是随机的，所以作为优化模型的目标函数，不能是某一次的利润，而应该是长期的平均利润。从概率论的观点看，这相当于商家每段时间利润的期望值。商家每段时间订货量为n件时，平均利润为，如果需求量，则销售出r份，退回n-r份；如果需求量rn,则n份将全部售出.考虑到需求量为r的概率是，所以 （2.1）问题归结为在,a,b,c已知时，求n使最大1.四、模型求解通常需求量r的取值和订货量n都相当大，将r视为连续变量更便于分析和计算，这时概率转化为概率密度函数，（2.1）式变成 （2.2）计算 令,得到 （2.3）使商家每段时间的平均利润达到最大的订货量n应该满足（2.3）式.因为，所以（2.3）式又可表示为 （2.4） P（r） 0 n r 图2习惯上，如果把一个已给的连续函数的原函数能用初等函数表达出来，就说这函数是“积得出的函数”，否则就说它是“积不出”的函数。比如下面列出的几个积分都是属于“积不出”的函数，但是这些积分在概率论，数论，光学，傅里叶分析等领域起着重要作用。 标准正态分布函数： （2.5）这个函数属于（A）类型的积分函数，因为不可积，所以为了应用方便，将它的积分值编成了一个正态分布表2.一般地，若，则有事实上，的分布函数为 （2.6）将其结合（2.4）式，得出 （2.7）已知a=15,b=8,c=5的值,则P=0.7，根据标准正态分布表，可查的离0.7最近的0.7019对应的r值为0.53，已知，则可求得 A题:工件的保养维护一、模型假设典型的失效率曲线呈浴盆形状，分三个阶段。第一阶段：早期失效期主要由材料或工艺制造上的缺陷引起，应通过检验剔除一批不合格品，待工件渡过这一阶段后再投入运行。第二阶段：偶然失效期基本上保持不变，是工件的最佳使用阶段。第三阶段：老化失效期由于磨损、老化的原因失效率迅速上升，应该采取维修或更换等手段维持设备的正常运行3。2、 符号约定1. 随机变量X表示工件的寿命，其分布函数表示工件寿命不超过时间t的概率。2. X的概率密度极为，寿命大于t的概率记为。3. 平均寿命X的期望为。4. 失效率为，在实际应用中让N个工件同时运行，记为为时刻t以前失效的个数，为这时单位时间内失效的个数。5. 一个周期（零件每更换一次）的平均长度L，一个周期内的平均损失c,单位时间的平均损失（期望）。6.:寿命X的分布函数,：平均寿命。8.工件发生故障后更换带来的损失为。9.工件未发生故障而采取预防性更换的费用为。 三、模型分析解决问题的关键在于恰当地估计工件能够正常的运行时间，即恰当估计工件的寿命这一随机变量，通过实验数据的统计处理和理论分析，确定工件寿命的分布函数和平均寿命等数字特征。两个基本概念：可靠度：用随机变量X表示工件的寿命，其分布函数表示工件寿命不超过时间t的概率（即在时刻t之前失效）.X的概率密度极为，寿命大于t的概率记为，即 （3.1）称为工件的可靠度，显然有 从而平均寿命X的期望为： （3.2）失效率：设工件运行到时刻t仍然正常，则它在内失效的概率为 （3.3）定义 （3.4）称为失效率，是条件概率密度，当很小时表示在t以前正常运行条件下，在内失效的概率.在实际应用中让N个工件同时运行，记为为时刻t以前失效的个数，为这时单位时间内失效的个数，则四、模型建立指数分布（无记忆性）设失效率为常数，即当工件正常运行到t时刻后，在内失效的概率为，与t无关，那么用代入（3.1）、（3.4）式可得 （3.5）在初始条件下方程（5）的解为 （3.6）工件寿命X称为服从参数的指数分布。预防性更换策略：即确定一个时间T，当工件寿命XT时进行故障后更换，当X=T仍然正常时进行预防性更换（假定更换所需时间不计），使得长期运行时的经济损失最小.这是一个随机性化的模型，目标函数取为单位时间的平均损失（期望损失）.一个周期（零件每更换一次）的平均长度 （3.7）一个周期内的平均损失 （3.8）单位时间的平均损失（期望）定义为 （3.9）五、模型计算满足的极小值的T应满足，求导得 （3.10）左边记为 （3.11）显然,又平均寿命，有，并且 （3.12）六、结果分析用，和的结果考察（3.10），（3.11）式，可以得到如下的结论：1. 若为增函数且，则存在唯一的有限的T满足（3.10）使达到最小，且2.如果这样的T找不到，我们就说不存在预防性更换策略，即不存在比故障后更换平均损失更小的预防性更换策略。七、模型的评价1、 模型的优点: （1）采用的数学模型有成熟的理论基础，可信度较高。 （2）方法简便，步骤少。 （3）本文用数学工具，严密对模型求解，具有科学性。2、模型的缺点： （1）模型复杂因素较多，不能对其进行全面考虑。 （2）精确度不同可能造成一定误差。 （3）若我们只考虑预防性更换, 而不进行定期检查, 则当零部件在刚刚更换后就出现意外损坏时, 损失将是相当严重的.。参考文献1.姜启源、谢金星、叶俊数学模型，高等教育出版社2003年.2.韩旭里、谢永钦概率论与数理统计（修订版），复旦大学出版社2012年。3.百度文库 薁螆肄芆薀衿袆膂蕿薈肂肈薈蚁袅莇薇螃肀芃蚆袅袃腿蚆薅聿肅节蚇袁肁芁袀膇荿芀蕿羀芅艿蚂膅膁艿螄羈肇芈袆螁莆莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袀羅膄莄薀袇肀莃蚂肃莈莃螅袆芄莂袇肁膀莁薇袄肆蒀虿聿羂葿螁袂芁蒈蒁肈芇蒇蚃羀膃蒇螆膆聿蒆袈罿莇蒅薈螂芃蒄蚀羇腿薃螂螀肅薂蒂羅羁薂薄螈莀薁螆肄芆薀衿袆膂蕿薈肂肈薈蚁袅莇薇螃肀芃蚆袅袃腿蚆薅聿肅节蚇袁肁芁袀膇荿芀蕿羀芅艿蚂膅膁艿螄羈肇芈袆螁莆莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袀羅膄莄薀袇肀莃蚂肃莈莃螅袆芄莂袇肁膀莁薇袄肆蒀虿聿羂葿螁袂芁蒈蒁肈芇蒇蚃羀膃蒇螆膆聿蒆袈罿莇蒅薈螂芃蒄蚀羇腿薃螂螀肅薂蒂羅羁薂薄螈莀薁螆肄芆薀衿袆膂蕿薈肂肈薈蚁袅莇薇螃肀芃蚆袅袃腿蚆薅聿肅节蚇袁肁芁袀膇荿芀蕿羀芅艿蚂膅膁艿螄羈肇芈袆螁莆莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袀羅膄莄薀袇肀莃蚂肃莈莃螅袆芄莂袇肁膀莁薇袄肆蒀虿聿羂葿螁袂芁蒈蒁肈芇蒇蚃羀膃蒇螆膆聿蒆袈罿莇蒅薈螂芃蒄蚀羇腿薃螂螀肅薂蒂羅羁薂薄螈莀薁螆肄芆薀衿袆膂蕿薈肂肈薈蚁袅莇薇螃肀芃蚆袅袃腿蚆薅聿肅节蚇袁肁芁袀膇荿芀蕿羀芅艿蚂膅膁艿螄羈肇芈袆螁莆莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袀羅膄莄薀袇肀莃蚂肃莈莃螅袆芄莂袇肁膀莁薇袄肆蒀虿聿羂葿螁袂芁蒈蒁肈芇蒇蚃羀膃蒇螆膆聿蒆袈罿莇蒅薈螂芃蒄蚀羇腿薃螂螀肅薂蒂羅羁薂薄螈莀薁螆肄芆薀衿袆膂蕿薈肂肈薈蚁袅莇薇螃肀芃蚆袅袃腿蚆薅聿肅节蚇袁肁芁袀膇荿芀蕿羀芅艿蚂膅膁艿螄羈肇芈袆螁莆莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袀羅膄莄薀袇肀莃蚂肃莈莃螅袆芄莂袇肁膀莁薇袄肆蒀虿聿羂葿螁袂芁蒈蒁肈芇蒇蚃羀膃蒇螆膆聿蒆袈罿莇蒅薈螂芃蒄蚀羇腿薃螂螀肅薂蒂羅羁薂薄螈莀薁螆肄芆薀衿袆膂蕿薈肂肈薈蚁袅莇薇螃肀芃蚆袅袃腿蚆薅聿肅节蚇袁肁芁袀膇荿芀蕿羀芅艿蚂膅膁艿螄羈肇芈袆螁莆莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袀羅膄莄薀袇肀莃蚂肃莈莃螅袆芄莂袇肁膀莁薇袄肆蒀虿聿羂葿螁袂芁蒈蒁肈芇蒇蚃羀膃蒇螆膆聿蒆袈罿莇蒅薈螂芃蒄蚀羇腿薃螂螀肅薂蒂羅羁薂薄螈莀薁螆肄芆薀衿袆膂蕿薈肂肈薈蚁袅莇薇螃肀芃蚆袅袃腿蚆薅聿肅节蚇袁肁芁袀膇荿芀蕿羀芅艿蚂膅膁艿螄羈肇芈袆螁莆莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袀羅膄莄薀袇肀莃蚂肃莈莃螅袆芄莂袇肁膀莁薇袄肆蒀虿聿羂葿螁袂芁蒈蒁肈芇蒇蚃羀膃蒇螆膆聿蒆袈罿莇蒅薈螂芃蒄蚀羇腿薃螂螀肅薂蒂羅羁薂薄螈莀薁螆肄芆薀衿袆膂蕿薈肂肈薈蚁袅莇薇螃肀芃蚆袅袃腿蚆薅聿肅节蚇袁肁芁袀膇荿芀蕿羀芅艿蚂膅膁艿螄羈肇芈袆螁莆莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袀羅膄莄薀袇肀莃蚂肃莈莃螅袆芄莂袇肁膀莁薇袄肆蒀虿聿羂葿螁袂芁蒈蒁肈芇蒇蚃羀膃蒇螆膆聿蒆袈罿莇蒅薈螂芃蒄蚀羇腿薃螂螀肅薂蒂羅羁薂薄螈莀薁螆肄芆薀衿袆膂蕿薈肂肈薈蚁袅莇薇螃肀芃蚆袅袃腿蚆薅聿肅节蚇袁肁芁袀膇荿芀蕿羀芅艿蚂膅膁艿螄羈肇芈袆螁莆莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袀羅膄莄薀袇肀莃蚂肃莈莃螅袆芄莂袇肁膀莁薇袄肆蒀虿聿羂葿螁袂芁蒈蒁肈芇蒇蚃羀膃蒇螆膆聿蒆袈罿莇蒅薈螂芃蒄蚀羇腿薃螂螀肅薂蒂羅羁薂薄螈莀薁螆肄芆薀衿袆膂蕿薈肂肈薈蚁袅莇薇螃肀芃蚆袅袃腿蚆薅聿肅节蚇袁肁芁袀膇荿芀蕿羀芅艿蚂膅膁艿螄羈肇芈袆螁莆莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袀羅膄莄薀袇肀莃蚂肃莈莃螅袆芄莂袇肁膀莁薇袄肆蒀虿聿羂葿螁袂芁蒈蒁肈芇蒇蚃羀膃蒇螆膆聿蒆袈罿莇蒅薈螂芃蒄蚀羇腿薃螂螀肅薂蒂羅羁薂薄螈莀薁螆肄芆薀衿袆膂蕿薈肂肈薈蚁袅莇薇螃肀芃蚆袅袃腿蚆薅聿肅节蚇袁肁芁袀膇荿芀蕿羀芅艿蚂膅膁艿螄羈肇芈袆螁莆莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袀羅膄莄薀袇肀莃蚂肃莈莃螅袆芄莂袇肁膀莁薇袄肆蒀虿聿羂葿螁袂芁蒈蒁肈芇蒇蚃羀膃蒇螆膆聿蒆袈罿莇蒅薈螂芃蒄蚀羇腿薃螂螀肅薂蒂羅羁薂薄螈莀薁螆肄芆薀衿袆膂蕿薈肂肈薈蚁袅莇薇螃肀芃蚆袅袃腿蚆薅聿肅节蚇袁肁芁袀膇荿芀蕿羀芅艿蚂膅膁艿螄羈肇芈袆螁莆莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袀羅膄莄薀袇肀莃蚂肃莈莃螅袆芄莂袇肁膀莁薇袄肆蒀虿聿羂葿螁袂芁蒈蒁肈芇蒇蚃羀膃蒇螆膆聿蒆袈罿莇蒅薈螂芃蒄蚀羇腿薃螂螀肅薂蒂羅羁薂薄螈莀薁螆肄芆薀衿袆膂蕿薈肂肈薈蚁袅莇薇螃肀芃蚆袅袃腿蚆薅聿肅节蚇袁肁芁袀膇荿芀蕿羀芅艿蚂膅膁艿螄羈肇芈袆螁莆莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袀羅膄莄薀袇肀莃蚂肃莈莃螅袆芄莂袇肁膀莁薇袄肆蒀虿聿羂葿螁袂芁蒈蒁肈芇蒇蚃羀膃蒇螆膆聿蒆袈罿莇蒅薈螂芃蒄蚀羇腿薃螂螀肅薂蒂羅羁薂薄螈莀薁螆肄芆薀衿袆膂蕿薈肂肈薈蚁袅莇薇螃肀芃蚆袅袃腿蚆薅聿肅节蚇袁肁芁袀膇荿芀蕿羀芅艿蚂膅膁艿螄羈肇芈袆螁莆莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袀羅膄莄薀袇肀莃蚂肃莈莃螅袆芄莂袇肁膀莁薇袄肆蒀虿聿羂葿螁袂芁蒈蒁肈芇蒇蚃羀膃蒇螆膆聿蒆袈罿莇蒅薈螂芃蒄蚀羇腿薃螂螀肅薂蒂羅羁薂薄螈莀薁螆肄芆薀衿袆膂蕿薈肂肈薈蚁袅莇薇螃肀芃蚆袅袃腿蚆薅聿肅节蚇袁肁芁袀膇荿芀蕿羀芅艿蚂膅膁艿螄羈肇芈袆螁莆莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袀羅膄莄薀袇肀莃蚂肃莈莃螅袆芄莂袇肁膀莁薇袄肆蒀虿聿羂葿螁袂芁蒈蒁肈芇蒇蚃羀膃蒇螆膆聿蒆袈罿莇蒅薈螂芃蒄蚀羇腿薃螂螀肅薂蒂羅羁薂薄螈莀薁螆肄芆薀衿袆膂蕿薈肂肈薈蚁袅莇薇螃肀芃蚆袅袃腿蚆薅聿肅节蚇袁肁芁袀膇荿芀蕿羀芅艿蚂膅膁艿螄羈肇芈袆螁莆莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袀羅膄莄薀袇肀莃蚂肃莈莃螅袆芄莂袇肁膀莁薇袄肆蒀虿聿羂葿螁袂芁蒈蒁肈芇蒇蚃羀膃蒇螆膆聿蒆袈罿莇蒅薈螂芃蒄蚀羇腿薃螂螀肅薂蒂羅羁薂薄螈莀薁螆肄芆薀衿袆膂蕿薈肂肈薈蚁袅莇薇螃肀芃蚆袅袃腿蚆薅聿肅节蚇袁肁芁袀膇荿芀蕿羀芅艿蚂膅膁艿螄羈肇芈袆螁莆莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袀羅膄莄薀袇肀莃蚂肃莈莃螅袆芄莂袇肁膀莁薇袄肆蒀虿聿羂葿螁袂芁蒈蒁肈芇蒇蚃羀膃蒇螆膆聿蒆袈罿莇蒅薈螂芃蒄蚀羇腿薃螂螀肅薂蒂羅羁薂薄螈莀薁螆肄芆薀衿袆膂蕿薈肂肈薈蚁袅莇薇螃肀芃蚆袅袃腿蚆薅聿肅节蚇袁肁芁袀膇荿芀蕿羀芅艿蚂膅