专转本数学模拟试题与解析(三)

1 江苏省 2012 年普通高校 专转本 统一考试模拟试卷 三 解 析 高等数学 注意事项 1 考生务必将密封线内的各项填写清楚 2 考生必须要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上 写在草稿纸上无效 3 本试卷五大题 24 小题 满分 150 分 考试时间 120 分钟 一 选择题一 选择题 本大题共 6 小题 每小题 4 分 满分 24 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项符合题目要求 请把所选项前的字母填在题后的括号内 1 设函数二阶可导 且 则为的 xf 0fx 0fx 0 x xf A 极大值点B 极小值点 C 极小值D 拐点横坐标 2 设 则等于 2 sin xy 0 100 x y A 1B 1 C 0D 2 1 3 连续曲线和直线 与轴所围成的图形的面积是 xfy ax bx ba x A B dxxf b a b a dxxf C D b a dxxf a b dxxf 4 与三坐标夹角均相等的一个单位向量为 A 1 1 1 B 3 1 3 1 3 1 C D 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 5 设区域 则 22 14Dxy D dxdy A B C D 2 3 4 6 下列级数收敛的是 2 A B 1 1 nn 1 1 cos 1 n nn C D 1 1 1 n n n 1 2 11 n nn 二 填空题二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 4 分 满分 24 分 7 极限 4 2 3 lim 2 x x x x 8 函数若在处连续 则 0 2 0 tan 2sin xax x x x xf xf0 x a 9 积分 3 b a x fdx 10 设向量 则 1 a2 b3 ba ba 11 微分方程的通解是 30yy 12 幂级数的收敛域为 n n x n 11 1 三 解答题三 解答题 本大题共 8 小题 每小题 8 分 满分 64 分 13 求极限 214 lim 2 xxx x 14 已知由方程确定 求 yy x 1 2 xxyx yexee 0 y 3 15 求不定积分 3 2 4 x dx x 16 设 求 1 1 12 xx xx xf 1 2 1 dxxf 17 设区域为圆周与轴在第一象限所围部分 求 Daxyx2 22 x D xydxdy 4 18 已知函数 其中具有二阶连续偏导数 求 xyyxfz vuf yx z x z 2 19 将函数展开为的幂级数 并指出收敛区间 2 213 x f x xx x 20 求经过点 且垂直于直线 又与平面 3 2 1 A 654 zyx L 平行的直线方程 010987 zyx 5 四 四 综合题综合题 每小题 10 分 共 20 分 21 设曲线 xyln 1 求该曲线过原点的切线 2 求由上述切线与曲线及轴所围平面图形的面积 x 3 求 2 中平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体的体积 x 22 设函数可导 且满足方程 求 xf 0 x f xxxt f t dt xf 6 五 证明题五 证明题 每小题 9 分 共 18 分 23 设上连续 求证 并利用上述结果计算 baxf 在 b a b a dxxbafdxxf 积分 1 1 6 1ln dxexI x 24 设函数在上二阶可导 且 xf ba0 x f0 bfaf 证明 1 任意 2 存在 使得 bax 0 xf ba ff 7 江苏省 2012 年普通高校 专转本 统一考试模拟试卷解析 三 高等数学 一 选择题一 选择题 本大题共 6 小题 每小题 4 分 满分 24 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项符合题目要求 请把所选项前的字母填在题后的括号内 1 设函数二阶可导 且 则为的 xf 0fx 0fx 0 x xf A 极大值点B 极小值点 C 极小值D 拐点横坐标 解析 该题考察函数极值点 拐点的充分条件 则为 f x 0fx 0fx 0 x 的极小值点 故本题答案选 B 极值判别第二充分条件 xf 2 设 则等于 2 sin xy 0 100 x y A 1B 1 C 0D 2 1 解析 该题考察常用函数高阶导数公式 阶导数的求法主要有以下几种 n 1 归纳与递推法 2 高阶导数运算法则 莱布尼兹公式 3 利用函数在一点幂级数展开式的唯一性 则 由此 1 n n n f xa x 0 n n fx a n 解出 0 n fx 因为 所以 sin sin 2 n n xx sin sin 222 n n xx 将代入即可 故本题答案选 A0 100 xn 3 连续曲线和直线 与轴所围成的图形的面积是 xfy ax bx ba x 8 A B dxxf b a b a dxxf C D b a dxxf a b dxxf 解析 本题考察定积分的几何意义 曲边梯形面积的代数和 故本题答案选 A 4 与三坐标夹角均相等的一个单位向量为 A 1 1 1 B 3 1 3 1 3 1 C D 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 解析 本题考察单位向量与方向余弦的性质 记夹角为 则单位向量 cos cos cos 由得 故本题答案选 C 2 3cos1 1 cos 3 5 设区域 则 22 14Dxy D dxdy A B C D 2 3 4 解析 本题考察二重积分的几何意义 曲顶柱体的体积 当被积函数为 时即为区域的1D 面积 本题区域是介于半径分别为 和的圆之间的圆环 其面积为大圆与小圆面积之D12 差 故本题答案选 C 6 下列级数收敛的是 A B 1 1 nn 1 1 cos 1 n nn C D 1 1 1 n n n 1 2 11 n nn 解析 该题考察级数的收敛性质 级数收敛的必要条件 级数等 故本题答案选 C P 记住当时收敛 时发散 1 1 p n n 1p 1p 9 交错当时绝对收敛 时条件收敛 时发散 1 1 n p n n 1p 01p 0p 二 填空题二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 4 分 满分 24 分 7 极限 4 2 3 lim 2 x x x x 解析 求极限时 先判断极限类型 若是或型可以直接使用罗比达法则 其余类型可 0 0 以转化为或型 罗比达法则求极限的好处主要有两方面 一是通过求导降阶 二是通 0 0 过求导将难求极限的极限形式转变为容易求极限的形式 不过 在求极限时应灵活使用多 种方法 特别是无穷小量或是无穷大量阶的比较 使用等价无穷小或是等价无穷大的目的 是将函数转换为幂的形式 方便判别阶数 本题为 型 利用第二重要极限1 1 lim 1 e A A A 4 2 2 4 22 2 31 lim lim 1 22 x x x x xx x e xx 8 函数若在处连续 则 0 2 0 tan 2sin xax x x x xf xf0 x a 解析 分段函数在分段点处的极限 连续性与可导性 若分段点的左右两侧的表达式互不 相同 则必须使用定义左右分别讨论 本题只需按照连续性定义讨论即可 在连续 等价于 也即 f x0 x 0 lim 0 x f xf 00 lim lim 2 2 xx f xxaa 000 sin22 lim limlim2 tan xxx xx f x xx 左右极限均等于函数值 即 解得 22a 1a 9 积分 3 b a x fdx 解析 本题考查不定积分的定义 凑微分法以及定积分的计算 3 3 3 333333 bb b a aa xxxxba fdxfdfff 10 10 设向量 则 1 a2 b3 ba ba 解析 该题考察向量的基本运算 数量积运算 两向量数量积为对应分量乘积之和 结 果是一个数量 因为 代入数据得 222 2abababaa bb 1a b 11 微分方程的通解是 30yy 解析 特征方程为 解得 2 30rr 12 0 3rr 原方程的通解为 033 1212 xxx yc ec ecc e 12 幂级数的收敛域为 n n x n 11 1 解析 对于幂级数 如果 则 0 n n n a x 1 limlim n n n nn n a a a 或或或 收敛半径 收敛区间为 再将代入级数具体考查 若幂级数 1 R R R xR 缺少的奇次项 偶次项 或上述极限不存在 不是无穷 则此时将当作常量转 0 n n n a x x 化为常数项级数处理 本题 所以 1 1 limlim1 2 n nn n an an 1 1R 时 级数发散 时 级数收敛 故收敛域为 1x 1 1 1 nn 1x 1 1 1 n nn 1 1 对于幂级数只需作变量代换即可 0 1 n n n axx 0 xxt 三 解答题三 解答题 本大题共 8 小题 每小题 8 分 满分 64 分 13 求极限 214 lim 2 xxx x 11 解析 求极限时 先判断极限类型 型可以通分转化为型 对无理式问题的处 0 0 理 一般先将其有理化 原式 xxx x x 214 1 lim 2 2 11 4 1 1 lim 2 xx x x 4 1 14 已知由方程确定 求 yy x 1 2 xxyx yexee 0 y 解析 隐函数的导数是常考的一个内容 它的本质实际上是复合函数的导数问题 一般隐 函数很难甚至不可能显化 其求导方法是方程 等式 两边对求导数 将看成的函xyx 数 中间变量 将代入 得到 0 x 1 2 xxyx yexee 3y 方程两端对求导 得 x 1 2 xxxyxyx eyy eexeyxye 2 2 1 xxxyxy xxy eyeexye y ex e 0 y 22 1 1 1 15 求不定积分 3 2 4 x dx x 解析 该题使用第二类换元法 作三角代换 令 2secxt 原式 3 4 8sec 2tan sec8 sec 2tan t ttdttdt t 23 8 8 1tan tan8tantan 3 t dtttC 223 1 44 4 3 xxC 16 设 求 1 1 12 xx xx xf 1 2 1 dxxf 12 解析 该题考查定积分的换元法与分段函数的积分 原式 1 12 21 1 u x f xdxf u du 12 11 f u duf u du 122 2 111 21 0 uduuduuu 624 17 设区域为圆周与轴在第一象限所围部分 求 Daxyx2 22 x D xydxdy 解析 二重积分问题是很多 专转本 同学的难点 首先要理解二重积分的几何意义 特 别是对称型简化积分计算 首先要画出积分区域 然后根据被积函数的特点与区域的形状选择适当的坐标以及适当的 积分顺序 一般当被积函数形如 区域形状为圆形 圆环 扇形 环 等 往 22 f xy 往使用极坐标计算 将圆周化为极坐标方程 axyx2 22 cos2 ar 原式 2 cos 2 00 cossin a drrrdr 42 2 cos 0 0 cos sin 4 a r d 4 2 5 0 2 cossin 4 a d 4 46 2 0 12 4cos 63 a a 18 已知函数 其中具有二阶连续偏导数 求 xyyxfz vuf yx z x z 2 解析 该题型是几乎每年必考 需要认真掌握 理清函数的复合关系 解析 该题型是几乎每年必考 需要认真掌握 第一步 变量的关系网络图zyx 1 2 x y z x y 其中 1 2 分别表示 xy xy x y o 22 2xyax A a 13 第二步 寻找与对应的路径 计算的过程可以总结为 路中用乘 路间用加 x 2 1 yff x z 22 12 11 22 21 12 112 1 2 xyffyxfxffyxffyff yx z yyx z 19 将函数展开为的幂级数 并指出收敛区间 2 213 x f x xx x 解析 具体方法前面已经详细论述 这里不再赘述 222 21 232 7213737 21 xxxxx f x xxxx 22 12 2171 2 1 3 xx x x 2 2 00 121 12 21372 n n nn n nn x xx 20 求经过点 且垂直于直线 又与平面 3 2 1 A 654 zyx L 平行的直线方程 010987 zyx 解析 求直线方程 基本方法是使用对称式 求出直线上的一个定点和方向向量 解 设所求直线的方向向量为 则 所以取 s 6 5 4 s 9 8 7 s 9 8 7 6 5 4 s 故所求直线方程为 3 6 3 1 2 1 1 3 2 2 1 1 zyx L 四 四 综合题综合题 每小题 10 分 共 20 分 21 设曲线 xyln 1 求该曲线过原点的切线 2 求由上述切线与曲线及轴所围平面图形的面积 x 3 求 2 中平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体的体积 x 解析 本题考查导数的几何意义 定积分的几何应用 应重点掌握 1 设切点为 由题意及导数几何意义 应有 ln 00 xx 0 0 0 ln1 x x x 即 于是切点为 切线的方程为 1ln 0 x 1 ex e y 1 14 2 于是所求面积为 1 2 1 0 e dyyeeS y 3 所求旋转体体积为 3 2 2 ln1 3 1 1 22 edxxeV e 22 设函数可导 且满足方程 求 xf 0 x f xxxt f t dt xf 解析 积分变上限函数的求导问题经常考查 注意弄清对那个变量求导 特别是被积函数 中既含有 又含有的情形 这种问题一般总是先求导再说