酉空间及其重要的线性变换.doc

辽 东 学 院 教 案 纸课程：高等代数 第9.6.4页6 酉空间及其重要的线性变换教学目的 通过导学，帮助学生疏理Euclid空间基础及其对复向量空间的开拓，以提高抽象数学的自学能力教学内容Euclid空间的基本结果可平行开拓到复向量空间中，这就是本节要概述的酉空间鉴于理论上的平行性，我们将其大部分证明留给同学们思考完成6.1 酉空间 定义1 设V是复数域C上的一个向量空间若V中任意一对向量，有一个确定的复数与它们对应，叫做与的内积，并且对于，gV，kC，以下条件成立：1), =，是, 的共轭复数；2)+, g =, g +,g；3)k, =k, ；4), 是非负实数，并且当q 时, 0，则称V对于这个内积是一个酉空间例1 在C n里，对于任意两个向量= (x1，xn)，= (y1，yn)，规定, =，则C n对于这个内积作成一个酉空间设V是一个酉空间由定义可以直接推出，, g=, , g ； (1),k=, ,是k的共轭复数； (2), q =q , = 0 (3)由(1)和(2)，设i，jV，ai ，bjC，i =1，m ；j =1，n，则 (4)因为对于V，, 是一个非负实数，所以在酉空间V中，可以像Euclid空间那样，定义向量的长度为 | =这样，V中任意非零向量的长度总是一个正实数，长度是1的向量称为单位向量显然，kC，V，都有 (5)在一个酉空间中，Cauchy-Schwarz不等式仍然成立设，V，则， (6)当且仅当与线性相关时等号成立在一个酉空间中，内积一般是一个复数，因此不能像Euclid空间那样，合理地定义两个非零向量的夹角，但是仍然可以定义两个向量正交的概念酉空间中两个向量与说是正交的，若, = 0在一个酉空间里，同样可以定义正交组和标准正交组的概念酉空间V的一组两两正交的非零向量叫做V的一个正交组若一个正交组的每一个向量都是单位向量，则称这个正交组是一个标准正交组定理9.2.1在酉空间里仍然成立在一个有限维酉空间V中，同样可以定义正交基和标准正交基的概念Gram-Schmidt正交化方法对于酉空间的向量仍然适用，并且对于V的任意一个基，可以通过正交化方法将它化为标准正交基设W是酉空间V的一个有限维子空间，令W=V|, =0，W则W也是V的子空间，叫做W的正交补与定理9.3.2相平行，我们有V=WW (7)与正交矩阵相平行的概念是酉矩阵设U=(uij)nnMn(C)，记(是uij的共轭复数)，定义2 一个n阶复矩阵U叫做一个酉矩阵，若与定理9.2.3相平行，我们有定理9.6.1 n维酉空间的一个标准正交基到另一个标准正交基的过渡矩阵是一个酉矩阵6.2 酉变换与对称变换在酉空间中，与Euclid空间的正交变换相平行的概念是酉变换定义3 酉空间V的一个线性变换叫做一个酉变换，若对于，V，都有(),()= , 与定理9.4.2相平行，我们有定理9.6.2 设是n维酉空间的一个线性变换，则下列陈述彼此等价：1)是酉变换；2)若a1，an是V的一个标准正交基，则(a1)，(an)也是V的一个标准正交基；3)在V的任一标准正交基下的矩阵是酉矩阵进而介绍酉空间的对称变换，引入定义4 酉空间V的一个线性变换叫做一个对称变换，若, V，都有(), =,() 定义5 设AMn( C)若AH=A，则称A是一个Hermite矩阵显然，实对称矩阵是Hermite矩阵的特殊情形与定理9.5.1和9.5.2相平行，我们有定理9.6.3 设是n维酉空间V的一个线性变换，则是对称变换，当且仅当在V的任意标准正交基下的矩阵是Hermite矩阵对称变换和Hermite矩阵还有以下性质定理9.6.4 设是n维酉空间的一个对称变换，那么1)的特征值都是实数；2)的属于不同特征值的特征向量彼此正交；3)存在V的一个标准正交基，使得在这个基下的矩阵是实对角矩阵证 我们只证1)，其余的证明留给同学们完成设lC是的一个特征值，是属于l的一个特征向量则因为, 0，所以必须，即l是实数 定理9.6.5 设A是一个n阶Hermite矩阵，则存在一个n 阶酉矩阵U，使得UHAU=U1AU是一个实对角矩阵，即任意Hermite矩阵都“酉相似”于一个实对角矩阵6.3 Hermite型在1中，我们已经阐述了n维Euclid空间的度量矩阵类似地，我们来看酉空间V中的内积在V中取一个基，构造矩阵， (8)这个矩阵是由酉空间V中的内积以及基唯一决定的，叫做V的基的度量矩阵由于A的(i，j)元素是，而AH的(i，j)元素是=，所以AH=A这表明，酉空间V的内积在V的任意一个基下的度量矩阵A是Hermite矩阵设A=(aij)nn，则， (9)特别地，当=时，有定义6 n个复变量x1，xn的表达式， (10)其中aji =，叫做一个n元Hermite型；矩阵A=(aij)nn称为Hermite型f (x1，xn)的矩阵，它是一个Hermite矩阵设=(x1，xn)，则Hermite型(10)可写成 (11)因此，酉空间的内积与Hermite型有着密切的联系由于Hermite型(10)的矩阵是Hermite矩阵，因此这表明XHAX总是实数再注意到定理9.6.5，知道n阶Hermite矩阵A酉相似于一个实对角矩阵D=diagd1，dn，即存在一个酉矩阵U，使得U1AU=D令X=UY，其中= (y1，yn)，则XHAX=YHUHAUY=YHU1AUY=YHDY=(12)这证明了定理9.6.6 对于Hermite型f(x1，xn)=XH AX，存在酉线性替换XUY(即U是酉矩阵)，使得f (x1，xn)=， (13)其中d1，dn是A的全部特征值，它们都是实数 定义7 若对于aC n，且a0，都有aHA0， (14)则称XHAX是一个正定Hermite型一个正定Hermite型XHAX的矩阵A称为正定Hermite矩阵正定Hermite矩阵与第五章4所说的实正定矩阵有相平行的结果，即定理9.6.7 设A是一个n阶Hermite矩阵，则下列陈述彼此等价：1)A是正定Hermite矩阵；2)对于任意n阶复可逆矩阵P，PHAP是正定Hermite矩阵；3)A的特征值全大于零；4)存在n阶可逆复矩阵P，使PHAP=In；5)A可以分解成QHQ，其中Q是n阶可逆复矩阵；6)A的所有顺序主子式全大于零证 1)2) 任取C n，且0， 则P0因为A是正定Hermite矩阵，所以aH (PHAP)=(P)HA(P)0因此PHAP是正定Hermite矩阵2) 3) 由假设，A是Hermite矩阵于是存在酉矩阵U，使U1AU=diag()D其中li是实数，i=1，n由假设，U1AU是正定Hermite矩阵，由此推出eiHDei0，即li0，i=1，n3) 4) 因为A是Hermite矩阵，所以存在酉矩阵U，使得U1AU=diag()其中li0，i=1，n令Q=diag()则 U1AU=QQ，从而Q1U1AUQ1=In令P=UQ1，则PH=(UQ