高中各种函数图像及其性质(精编版)

高中各种函数图像及其性质 一次函数 1 函数 1 确定函数定义域的方法 1 关系式为整式时 函数定义域为全体实数 2 关系式含有分式时 分式的分母不等于零 3 关系式含有二次根式时 被开放方数大于等于零 4 关系式中含有指数为零的式子时 底数不等于零 5 实际问题中 函数定义域还要和实际情况相符合 使之有意义 2 一次函数 1 一次函数的定义 一般地 形如 是常数 且 的函数 叫做一次函数 其中 x 是 ykxb kb0k 自变量 当时 一次函数 又叫做正比例函数 0b ykx 一次函数的解析式的形式是 要判断一个函数是否是一次函数 就是判断 ykxb 是否能化成以上形式 当 时 仍是一次函数 0b 0k ykx 当 时 它不是一次函数 0b 0k 正比例函数是一次函数的特例 一次函数包括正比例函数 2 正比例函数及性质 一般地 形如 y kx k 是常数 k 0 的函数叫做正比例函数 其中 k 叫做比例系数 注 正比例函数一般形式 y kx k 不为零 k 不为零 x 指数为 1 b 取零 当 k 0 时 直线 y kx 经过三 一象限 从左向右上升 即随 x 的增大 y 也增大 当 k0 时 图像经过一 三象限 k0 y 随 x 的增大而增大 k0 时 向上平移 当 b0 图象经过第一 三象限 k0 图象经过第一 二象限 b0 y 随 x 的增大而增大 k0 时 将直线 y kx 的图象向上平移 b 个单位 当 b0b0 图象从左到右上升 y 随 x 的增大而增大 经过第一 二 四象限经过第二 三 四象限经过第二 四象限 k0 时 向上平移 当 b0 时 直线经过一 三象限 k0 y 随 x 的增大而增大 从左向右上升 k0 时 将直线 y kx 的图象向上平移个单b 位 b0 或 ax b0 h0 k0 h0 h0 k0 k0 时 图象分别位于第一 三象限 同一个象限内 y 随 x 的增大 而减小 当 k0 时 函数在 x0 上同为减函数 k 0 时 函数 在 x0 上同为增函数 定义域为 x 0 值域为 y 0 3 因为在 y k x k 0 中 x 不能为 0 y 也不能为 0 所以反比例函数的图 象不可能与 x 轴相交 也不可能与 y 轴相交 4 在一个反比例函数图象上任取两点 P Q 过点 P Q 分别作 x 轴 y 轴 的平行线 与坐标轴围成的矩形面积为 S1 S2 则 S1 S2 K 5 反比例函数的图象既是轴对称图形 又是中心对称图形 它有两条对称 轴 y x y x 即第一三 二四象限角平分线 对称中心是坐标原点 6 若设正比例函数 y mx 与反比例函数 y n x 交于 A B 两点 m n 同号 那么 A B 两点关于原点对称 7 设在平面内有反比例函数 y k x 和一次函数 y mx n 要使它们有公共交 点 则 n 2 4k m 不小于 0 8 反比例函数 y k x 的渐近线 x 轴与 y 轴 9 反比例函数关于正比例函数 y x y x 轴对称 并且关于原点中心对称 10 反比例上一点 m 向 x y 分别做垂线 交于 q w 则矩形 mwqo o 为原 点 的面积为 k 11 k 值相等的反比例函数重合 k 值不相等的反比例函数永不相交 12 k 越大 反比例函数的图象离坐标轴的距离越远 13 反比例函数图象是中心对称图形 对称中心是原点 指数函数 概念 一般地 函数 y a x a 0 且 a 1 叫做指数函数 其中 x 是自变量 函数 的定义域是 R 注意 指数函数对外形要求严格 前系数要为 1 否则不能为指数函数 指数函数的定义仅是形式定义 指数函数的图像与性质 规律 1 当两个指数函数中的 a 互为倒数时 两个函数关于 y 轴对称 但 这两个函数都不具有 奇偶性 2 当 a 1 时 底数越大 图像上升的越快 在 y 轴的右侧 图像越靠近 y 轴 当 0 a 1 时 底数越小 图像下降的越快 在 y 轴的左侧 图像越靠近 y 轴 在 y 轴右边 底大图高 在 y 轴左边 底大图低 3 四字口诀 大增小减 即 当 a 1 时 图像在 R 上是增函数 当 0 a 1 时 图像在 R 上是减函数 4 指数函数既不是奇函数也不是偶函数 比较幂式大小的方法 1 当底数相同时 则利用指数函数的单调性进行比较 2 当底数中含有字母时要注意分类讨论 3 当底数不同 指数也不同时 则需要引入中间量进行比较 4 对多个数进行比较 可用 0 或 1 作为中间量进行比较 底数的平移 在指数上加上一个数 图像会向左平移 减去一个数 图像会向右平移 在 f X 后加上一个数 图像会向上平移 减去一个数 图像会向下平移 对数函数 1 对数函数的概念 由于指数函数 y ax在定义域 上是单调函数 所以它存在反函数 我们把指数函数 y ax a 0 a 1 的反函数称为对数函数 并记为 y logax a 0 a 1 因为指数函数 y ax的定义域为 值域为 0 所以对数函数 y logax 的定义域为 0 值域为 2 对数函数的图像与性质 对数函数与指数函数互为反函数 因此它们的图像对称于直线 y x 据此即可以画 出对数函数的图像 并推知它的性质 为了研究对数函数 y logax a 0 a 1 的性质 我们在同一直角坐标系中作出函数 y log2x y log10 x y log10 x y logx y logx 的草图 2 1 10 1 由草图 再结合指数函数的图像和性质 可以归纳 分析出对数函数 y logax a 0 a 1 的图像的特征和性质 见下表 a 1a 1 图 象 1 x 0 2 当 x 1 时 y 0 3 当 x 1 时 y 0 0 x 1 时 y 0 3 当 x 1 时 y 0 0 x 1 时 y 0 性 质 4 在 0 上是增函数 4 在 0 上是减函数 补 充 性 质 设 y1 logax y2 logbx 其中 a 1 b 1 或 0 a 1 0 b 1 当 x 1 时 底大图低 即若 a b 则 y1 y2 当 0 x 1 时 底大图高 即若 a b 则 y1 y2 比较对数大小的常用方法有 1 若底数为同一常数 则可由对数函数的单调性直接进行判断 2 若底数为同一字母 则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论 3 若底数不同 真数相同 则可用换底公式化为同底再进行比较 4 若底数 真数都不相同 则常借助 1 0 1 等中间量进行比较 3 指数函数与对数函数对比 名称指数函数对数函数 一般形式y ax a 0 a 1 y logax a 0 a 1 定义域 0 值域 0 函 数 值 变 化 情 况 当 a 1 时 0 1 0 1 0 1 x x x a x 当 0 a 1 时 0 1 0 1 0 1 x x x a x 当 a 1 时 1 0 1 0 1 0 log x x x x a 当 0 a 1 时 1 0 1 0 1 0 log x x x x a 单调性当 a 1 时 ax是增函数 当 0 a 1 时 ax是减函数 当 a 1 时 logax 是增函数 当 0 a 1 时 logax 是减函数 图像y ax的图像与 y logax 的图像关于直线 y x 对称 幂函数 幂函数的图像与性质 幂函数随着的不同 定义域 值域都会发生变化 可以采取按性质和图像 n yx n 分类记忆的方法 熟练掌握 当的图像和性质 列表如下 n yx 1 1 2 1 3 2 3 n 从中可以归纳出以下结论 它们都过点 除原点外 任何幂函数图像与坐标轴都不相交 任何幂 1 1 函数图像都不过第四象限 时 幂函数图像过原点且在上是增函数 1 1 1 2 3 3 2 a 0 时 幂函数图像不过原点且在上是减函数 1 1 2 2 a 0 任何两个幂函数最多有三个公共点 n yx 奇函数偶函数非奇非偶函数 1n O x y O x y O x y 01n O x y O x y O x y 0n O x y O x y O x y yx 2 yx 3 yx 1 2 yx 1 yx 定义域 RRR 0 x x 0 x x 奇偶性奇奇奇非奇非偶奇 在第 象限的增减 性 在第 象限 单调递增 在第 象限 单调递增 在第 象限 单调递增 在第 象限 单调递增 在第 象限 单调递减 幂函数 yx x R 是常数 的图像在 第一象限的分布规律是 所有幂函数 yx x R 是常数 的图 像都过点 1 1 当 2 1 3 2 1 时函数 yx 的图像都过原点 0 0 当 1 时 yx 的的图像在第一象限是第一象限的平分线 如 2 c 当 3 2 时 yx 的的图像在第一象限是 凹型 曲线 如 1 c 当 2 1 时 yx 的的图像在第一象限是 凸型 曲线 如 3 c 当 1 时 yx 的的图像不过原点 0 0 且在第一象限是 下滑 曲线 如 4 c 当 0 时 幂函数 yx 有下列性质 1 图象都通过点 1 1 0 0 2 在第一象限内都是增函数 3 在第一象限内 1 时 图象是向下凸的 10 时 图象是向上凸的 4 在第一象限内 过点 1 1 后 图象向右上方无限伸展 当 0 时 幂函数 yx 有下列性质 1 图象都通过点 1 1 2 在第一象限内都是减函数 图象是向下凸的 3 在第一象限内 图象向上与 y 轴无限地接近 向右无限地与x轴无限地接近 4 在第一象限内 过点 1 1 后 越大 图象下落的速度越快 无论 取任何实数 幂函数 yx 的图象必然经过第一象限 并且一定不 经过第四象限 对号函数 函数 a 0 b 0 叫做对号函数 因其在 0 的图象似符号 x b axy 而得名 利用对号函数的图象及均值不等式 当 x 0 时 当且仅 a b x b ax2 当即时取等号 由此可得函数 a 0 b 0 x R 的性质 x b ax a b x x b axy 当时 函数 a 0 b 0 x R 有最小值 特别地 当 a b x x b axy a b 2 a b 1 时函数有最小值 2