韦达定理及方程解的应用

韦达定理及方程解的应用一、选择题1若x=2是关于x的一元二次方程的一个根，则a的值为（ ）A1或4 B1或4 C1或4 D1或42如果a、b是方程x2-3x+1=0的两根，那么代数式a2+2b2-3b的值为（ ）A.6 B.6 C.7 D.73方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）Ak1 Bk1 Ck1 Dk14已知关于x的一元二次方程（m2）2x2+（2m+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）Am Bm Cm且m2 Dm且m2二、填空题5已知a26a5=0和b26b5=0中，ab，则的值是 6已知一元二次方程的两根为、，则= 7一元二次方程x2+mx+2m=0（m0）的两个实根分别为x1，x2，则= 8若实数x满足，则= 9已知a，b为一元二次方程x2+2x9=0的两个根，那么a2+ab的值为 10已知m是关于x的方程的一个根，则= 11已知直角三角形两边x、y的长满足|x24|+=0，则第三边长为 12设m，n分别为一元二次方程x2+2x2018=0的两个实数根，则m2+3m+n= 13已知一元二次方程的两根为，那么的值是_；14已知(x2y2)(x2y21)12，则x2y2的值是_15已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是 。16关于x的方程(m-3) -3x-4=0是一元二次方程，则m= 。17已知m是方程x2x3=0的一个实数根，则代数式（m2m）（m+1）的值为 18当方程（m+1）x2=0是一元二次方程时，m的值为 19已知一元二次方程：x2-3x-1=0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22= 20设,是一元二次方程x2+2x-4=0的两实根，则3+4+12-5= 21已知a、b实数且满足（a2+b2）2（a2+b2）6=0，则a2+b2的值为 22已知m为实数，若（m2+4m）2+5（m2+4m）24=0，则m2+4m的值为 23 若关于的一元二次方程的一个解是，则 的值是 .24设、是方程的两实数根，则_ _25已知x（x3）=5，则代数式2x26x5的值为 31已知m是方程的一个根,求的值四、解答题26先化简，再求值：，其中a是方程的解.27先化简再求值：（），其中a是方程x2+4x=0的根28学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到如图所示的关于该奖品的销售信息，便用1400元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数购买件数销售价格不超过30件单价40元超过30件每多买1件，购买的所有衬衫单价降低0.5元，但单价不得低于30元29如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门（1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为 米；（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽30西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克为了促销，该经营户决定降价销售经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克另外，每天的房租等固定成本共24元该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？32某种产品的年产量不超过1000t，该产品的年产量（t）与费用（万元）之间的函数关系如图（1）；该产品的年销售量（t）与每吨销售价（万元）之间的函数关系如图（2）（1）设产品的费用为y（万元），试写出y与t的函数关系式（2）若生产出的产品都能在当年销售完，则年产量为多少吨时，当年可获得7500万元毛利润？（毛利润销售额费用）参考答案1C【解析】试题分析：根据题意，将x=2代入方程，得： ，即，左边因式分解得：（a1）（a+4）=0，a1=0，或a+4=0，解得：a=1或4，故选C考点：一元二次方程的解2A【解析】试题分析：此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.根据a与b为方程的解，利用根与系数的关系求出a+b与ab的值，且将x=b代入方程得到b2-3b的值，原式变形后将各自的值代入计算即可求出值a、b是方程x2-3x+1=0的两根，a+b=3，ab=1，且b2-3b=-1，则原式=a2+b2+b2-3b=（a+b）2-2ab+b2-3b=9-2-1=6故选A考点：一元二次方程的解3D.【解析】试题解析：当k=1时，原方程不成立，故k1，方程为一元二次方程，又此方程有两个实数根，b2-4ac=（-）2-4（k-1）=1-k-（k-1）=2-2k0，解得：k1，1-k0，综上k的取值范围是k1故选D考点：根的判别式4C【解析】试题解析：根据题意列出方程组，解之得m且m2故选C考点：根的判别式.5【解析】解：由已知可得：a、b为方程x26x5=0的两个根，a+b=6，ab=5=，故答案为：613【解析】试题分析：根据题意得，所以=故答案为：13考点：根与系数的关系7【解析】试题分析：一元二次方程x2+mx+2m=0（m0）的两个实根分别为x1，x2，x1+x2=m，x1x2=2m，=故答案为：考点：根与系数的关系810【解析】试题分析：，即，=10，故答案为：10考点：代数式求值；条件求值911【解析】试题分析：根据题意，解方程x2+2x9=0，解得a和b的值，然后代入求值即可解：解方程：x2+2x9=0得：ab=9，a+b=2，b=2a，把代入得：a2+2a9=0a1=，a2=，b1=，b2=，当a1=，b1=时，a2+ab=（）2+（）（）=11当a2=，b2=，a2+ab=（）2+（）（）=11故答案为11106【解析】试题分析：m是关于x的方程的一个根，=6，故答案为：6考点：一元二次方程的解；条件求值11见解析【解析】试题分析：任何数的绝对值，以及算术平方根一定是非负数，已知中两个非负数的和是0，则两个一定同时是0；另外已知直角三角形两边x、y的长，具体是两条直角边或是一条直角边一条斜边，应分类讨论解：|x24|0，x24=0，y25y+6=0，x=2或2（舍去），y=2或3，当两直角边是2时，三角形是直角三角形，则斜边的长为：=；当2，3均为直角边时，斜边为=；当2为一直角边，3为斜边时，则第三边是直角，长是=122016【解析】试题分析：已知m为一元二次方程x2+2x2018=0的实数根，可得m2+2m2018=0，即m2=2m+2018，所以m2+3m+n=2m+2018+3m+n=2018+m+n，再由m，n分别为一元二次方程x2+2x2018=0的两个实数根，根据根与系数的关系可得m+n=2，所以m2+3m+n=20182=2016考点：一元二次方程的根；根与系数的关系.138【解析】试题分析：根据题意得，所以=1+4+3=8故答案为：8考点：根与系数的关系144【解析】试题分析：因为(x2y2)(x2y21)12，所以所以所以=4或= -3，因为，所以= -3不合题意舍去，所以=4.考点：解一元二次方程.153.【解析】试题解析：由判别式大于零，得（2m+3）2-4m20，解得m-，即+=-又+=-（2m+3），=m2代入上式得-3-2m=-m2解之得m1=3，m2=-1m2=-1-，故舍去m=3考点：1.根与系数的关系；2.解一元二次方程-因式分解法；3.根的判别式16-3【解析】试题分析：因为关于x的方程(m-3) -3x-4=0是一元二次方程，所以m2-7=2且m-30，解得m=-3.考点：1一元二次方程的定义;2一元二次方程的解法176；【解析】试题分析：把x=m代入已知方程，得到m2m=3，m23=m，然后代入所求的代数式进行求值即可解：m是方程x2x3=0的一个实数根，m2m3=0，m2m=3，m23=m，（m2m）（m+1）=3（+1）=3（1+1）=6故答案是：6考点：一元二次方程的解18-1；【解析】试题分析：根据一元二次方程的定义，列方程和不等式解答解：因为原式是关于x的一元二次方程，所以m2+1=2，解得m=1又因为m10，所以m1，于是m=1故答案为：1考点：一元二次方程的定义19-3.【解析】试题解析：根据题意得x1+x2=3，x1x2=-1，所以x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2）=-13=-3考点：一元二次方程根与系数的关系.20-37.【解析】试题解析：，是一元二次方程x2+2x-4=0的两实根，+=-2，2+2-4=0，3+22-4=0，2=4-2，3=4-22，原式=4-22+4+12-5=-2（4-2）+8+12-5=12（+）-13=12（-2）-13=-37考点：根与系数的关系213【解析】试题分析：设a2+b2=x，则原式左边变为x2x6=0，用因式分解法可得x的值，然后根据平方的非负性即可确定解：设a2+b2=x，则原式左边变为x2x6，x2x6=0解得：x=3或2a2+b20，a2+b2=3考点：换元法解一元二次方程223或8【解析】试题分析：设t=m2+4m，则原方程转化为关于t的一元二次方程t2+5t24=0，利用因式分解法求得t的值，即m2+4m的值即可解：设t=m2+4m，则由原方程得到：t2+5t24=0，整理，得（t3）（t+8）=0，解得t=3或t=8故答案是： 3或8考点：换元法解一元二次方程232020【解析】试题分析：将x=1代入方程得：a+b+5=0，则a+b=5，则2015ab=2015（a+b）=2015（5）=2020.考点：整体思想求解.242015【解析】试题分析：将代入方程可得：=2015，根据韦达定理可得：=1，则原式=（）+2015=2015+2015=2015（+）=2015.考点：（1）、韦达定理；（2）、整体思想求解.255【解析】试题分析：把所求代数式整理出已知条件的形式，然后代入数据进行计算即可得解解：x（x3）=5，2x26x5=2x（x3）5=255=5故答案为：5考点：一元二次方程的解26原式=, 由，得 ， 又 原式=【解析】试题分析：先把分式化简后，再解方程确定a的值，最后代入求值即可.试题解析：原式=由，得 ， 又 原式= 考点：分式的化简求值；一元二次方程的解法.27【解析】试题分析：先将原代数式化简，根据分式的分母不能为0找出a的取值范围，再由a是方程x2+4x=0的根找出a的值，将a的值代入化简后的代数式即可得出结论解：原式=，=（），=，=a（a+2）（a2）0，a0且a2a是方程x2+4x=x（x+4）=0的根，a=0（舍去），或a=4当a=4时，原式=考点：分式的化简求值；解一元二次方程-因式分解法28王老师购买该奖品的件数为40件【解析】试题分析：根据题意首先表示出每件商品的价格，进而得出购买商品的总钱数，进而得出等式求出答案试题解析：3040=12001400，奖品数超过了30件，设总数为x件，则每件商品的价格为：40（x30）0.5元，根据题意可得：x40（x30）0.5=1400，解得：x1=40，x2=70，x=70时，40（7030）0.5=2030，x=70不合题意舍去，答：王老师购买该奖品的件数为40件考点：一元二次方程的应用29（1）（243x）；（2）花圃的长为9米，宽为5米【解析】试题分析：（1）用绳子的总长减去三个AB的长，然后加上两个门的长即可表示出AD的长；（2）由在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门，故长边为223x+2，令面积为45，解得x解：（1）设宽AB为x，则长AD=BC=223x+2=（243x）米；（2）由题意可得：（223x+2）x=45，解得：x1=3；x2=5，当AB=3时，BC=1514，不符合题意舍去，当AB=5时，BC=9，满足题意 答：花圃的长为9米，宽为5米考点：一元二次方程的应用300.3元【解析】试题分析：设应将每千克小型西瓜的售价降低x元那么每千克的利润为：（32x）元，由于这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克所以降价x元，则每天售出数量为：（200+）千克本题的等量关系为：每千克的利润每天售出数量固定成本=200解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x元根据题意，得（32）x（200+）24=200方程可化为：50x225x+3=0，解这个方程，得x1=0.2，x2=0.3因为为了促销故x=0.2不符合题意，舍去，x=0.3答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元考点：一元二次方程的应用312【解析】试题分析：先根据m是一元二次方程的根，可得含m的式子，然后化简代数式，再整体代入在求值试题解析：m是的一个根 =m+m+4=-（m-m ）+4=2考点：1一元二次方程的解，2代数式的化简求值32（1）y=10t；（2）500吨【解析】试题分析：（1）设产品的费用y（万元）与年产量（t）之间的函数关系式为y=kt（k0），将已知点坐标（1000，10000）代入解析式，求出k值，即可写出y与t的函数关系式；（2）由图象求出该产品的年销售量（t）与每吨销售价（万元）之间的函数关系式，然后根据毛利润销售额费用，建立一元二次方程求解即可试题解析：（1）设产品的费用y（万元）与年产量（t）之间的函数关系式为y=kt（k0），将已知点坐标（1000，10000）代入解析式得：10000=1000k，解得：k=10，即y与t的函数关系式是y=10t；（2）由图象可知该产品的年销售量（t）与每吨销售价（万元）之间是一次函