九年级数学下册第29章几何的回顾29.2反证法课件华东师大版.pptx

29 2反证法课题学习中点四边形 1 叙述反证法的概念证明命题时 不是直接从题设推出结论 而是从命题结论的 出发 引出 从而证明命题成立 这样的证明方法叫做反证法 反面 矛盾 2 总结反证法证明命题的一般步骤 1 假设结论的 是正确的 2 通过逻辑推理 推出与公理 已证的定理 定义或已知条件 3 由矛盾说明假设 从而得到 正确 反面 相矛盾 不成立 原结论 3 中点四边形顺次连结任意四边形各边的 所组成的四边形称为中点四边形 点拨 中点四边形的每条边都是原四边形对角线的一半 且与相应的对角线平行 中点 反证法 例1 8分 已知 ABC中 AB AC 求证 B C必为锐角 易错提醒 B与 C必为锐角的反面是两角为直角或钝角 规范解答 AB AC B C 1分假设 B C不是锐角 则可能有两种情况 B C 90 或 B C 90 3分 1 若 B C 90 则 A B C 180 这与三角形内角和定理矛盾 5分 2 若 B C 90 则 A B C 180 这与三角形内角和定理矛盾 7分所以假设不能成立 故 B C必为锐角 8分 互动探究 直接法与反证法的区别是什么 提示 直接法是从已知出发 根据公理 定义 定理直接推断结论正确性的方法 而反证法是由否定结论得出矛盾 从而推断结论正确的方法 规律总结 适宜使用反证法的四种情况1 结论本身是以否定形式出现的一类命题 2 有关结论是以 至多 或 至少 的形式出现的一类命题 3 关于唯一性 存在性的问题 4 结论的反面是比原结论更具体更容易研究的命题 跟踪训练 1 用反证法证明 若 O的半径为r 点P与圆心的距离d大于r 则点P在 O的外部 首先应假设 A d r B 点P在 O外 C d r D 点P在 O上或点P在 O内 解析 选D 命题 若 O的半径为r 点P与圆心的距离d大于r 则点P在 O的外部 的结论为 点P在 O的外部 若用反证法证明该命题 则首先应假设命题的结论不成立 即点P在 O上或点P在 O内 高手支招 反证法证明问题的关键是正确作出假设 并找到合理的矛盾之处 有些命题的反面不止一种情况 证明时应考虑全面 并分别推出矛盾 2 用反证法证明 若 a b 则a b 时 应假设 解析 a b的等价关系有a b a b两种情况 因而a b的反面是a b 因此用反证法证明 a b 时 应先假设a b 答案 a b 中点四边形 例2 已知 如图 在四边形ABCD中 E为AB上一点 ADE和 BCE都是等边三角形 AB BC CD DA的中点分别为P Q M N 试判断四边形PQMN为怎样的四边形 并证明你的结论 解题探究 1 试说明MN和PQ的关系 答 平行且相等 理由如下 如图 连结AC BD PQ为 ABC的中位线 PQAC 同理MNAC MNPQ 2 由 知MNPQ 四边形PQMN为平行四边形 3 AC和BD相等吗 为什么 答 AC和BD相等 在 AEC和 DEB中 AED CEB 60 AED DEC CEB DEC 即 AEC DEB 又 AE DE EC EB AEC DEB AC BD 4 MN和PN相等吗 为什么 答 MN和PN相等 由 知MN AC 同理可证PN BD 由 知AC BD MN PN 5 结论 由 可知四边形PQMN为菱形 规律总结 用对角线判断中点四边形1 如果原四边形的对角线既不相等也不垂直 则其中点四边形为平行四边形 2 如果原四边形对角线互相垂直 则其中点四边形为矩形 如菱形的中点四边形是矩形 3 如果原四边形对角线相等 则其中点四边形为菱形 如矩形的中点四边形是菱形 4 如果原四边形对角线互相垂直且相等 则其中点四边形为正方形 如正方形的中点四边形是正方形 跟踪训练 3 2011 张家界中考 顺次连结任意一个四边形的四边中点所得的四边形一定是 A 平行四边形 B 矩形 C 菱形 D 正方形 解析 选A 根据 顺次连结任意一个四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形 可知选A 4 2011 宜昌中考 如图 在梯形ABCD中 AB CD AD BC 点E F G H分别是AB BC CD DA的中点 则下列结论一定正确的是 A HGF GHE B GHE HEF C HEF EFG D HGF HEF 解析 选D 因为点E F G H分别是等腰梯形的AB BC CD DA的中点 所以四边形EFGH为菱形 根据菱形的性质可以判断 HGF HEF 5 观察探究 完成下面各题 如图 四边形ABCD中 点E F G H分别是边AB BC CD DA的中点 顺次连结E F G H 得到的四边形EFGH叫中点四边形 1 请你探究并填空 当四边形ABCD变成平行四边形时 它的中点四边形是 当四边形ABCD变成矩形时 它的中点四边形是 当四边形ABCD变成菱形时 它的中点四边形是 当四边形ABCD变成正方形时 它的中点四边形是 2 根据以上观察探究 请你总结中点四边形的形状是由原四边形的什么决定的 解析 1 填空依次为平行四边形 菱形 矩形 正方形 2 中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系来决定的 1 证明命题 任何偶数都是4的倍数 是假命题可举反例的数字为 A 3 B 4 C 8 D 6 解析 选D 因为3不是偶数 不符合条件 故错误 4是偶数 且能被4整除 故错误 8是偶数 且是4的2倍 故错误 6是偶数 但是不能被4整除 故选D 2 某花木场有一块如等腰梯形ABCD的空地 如图 各边的中点分别是E F G H 用篱笆围成的四边形EFGH场地的周长为40m 则对角线AC m 解析 根据中位线定理易证中点四边形EFGH是平行四边形 因为等腰梯形的对角线相等 即AC BD 同时可推证EF FG 所以四边形EFGH是菱形 已知菱形EFGH的周长为40m 所以边EF 10m 所以AC 2EF 20m 答案 20 3 已知命题 在 ABC中 若AC2 BC2 AB2 则 C 90 要证明这个命题是真命题 可用反证法 其步骤为 假设 根据 一定有 但这与已知 相矛盾 因此假设是错误的 于是可知原命题是真命题 解析 C 90 的反面是 C 90 在直角三角形ABC中 依据勾股定理可知AC2 BC2 AB2 这与已知AC2 BC2 AB2相矛盾 答案 C 90 勾股定理AC2 BC2 AB2AC2 BC2 AB2 4 在四边形ABCD中 点E F G H分别是边AB BC CD DA的中点 如果四边形EFGH为菱形 那么四边形ABCD是 只要写出一种即可 解析 答案不唯一 只要是对角线相等的四边形均符合要求 如 正方形 矩形 等腰梯形等