疲劳与断裂3PPT课件.ppt

1 第三章疲劳应用统计学基础 3 1疲劳数据的分散性 3 2正态分布 3 3威布尔分布 3 4二元线性回归分析 3 5S N曲线和P S N曲线的拟合 返回主目录 2 第三章疲劳应用统计学基础 3 1疲劳数据的分散性 1 实验 7075 T6铝R 1 恒幅 Sinclair和Dolan 1953 应力水平越低 寿命越长 分散性越大 3 207MPa下57件 寿命 2 106 108次 240MPa下29件 寿命 7 105 4 106次 275MPa下34件 寿命 1 105 8 105次 310MPa下29件 寿命 4 104 1 105次 430MPa下25件 寿命 1 5 104 2 104次 分散性 共174件 4 Duototherandomnatureoffatigueprocess thelifeofcomponentsandstructurescannotbepredictedbyusingconventionaldeterministicapproaches Foranaccuratefatiguelifepredictiononlyprobability basedmodelscanbeusedinengineeringdesignandsystemsanalysis 由于疲劳过程中固有的随机性 结构和构件的寿命不能用传统的确定性方法预测 在工程设计和系统分析中 准确的疲劳寿命预测只有采用以概率为基础的方法 5 材质不均匀 加工质量 加载误差 试验环境等 原因 裂纹 缺口件的疲劳破坏局限在裂纹或缺口高应力局部 上述因素影响较小 光滑件寿命分散 缺口件 裂纹扩展寿命 疲劳寿命常用对数正态分布 威布尔分布描述 6 3 2正态分布 对数疲劳寿命lgN常常是服从正态分布的 令X lgN X即服从正态分布 一 正态分布的密度函数和分布函数 是均值 f x 关于x 对称 为标准差 是非负的 7 越小 f 越大 曲线越瘦 X的分散性越小 故标准差 反映X的分散性 1 f x 0 随机变量X取值的可能性非负 密度函数性质 无论分布形式如何 8 正态概率分布函数F x 为 F x 是X小于等于x的概率 是f x 在x左边的面积 显然 Pr X x 1 F x F 9 二 标准正态分布 令 即有 注意dx du 由密度函数变换公式可得到标准正态分布密度函数为 u u服从均值 0 标准差 1的正态分布 标准正态分布函数则为 10 u 0或 u 0 5 利用 u 1 u 的关系求解 注意有 0 0 5 u 1 u Pr a u b b a u u 关系 还可用近似表达式表达 如 且由 还有 F x Pr X x Pr U u u 故求正态分布函数F x 只需求得 u 即可 11 分布参数估计 设在某si下 样本含n个疲劳寿命数据xi lgNi 破坏概率为p的对数疲劳寿命xp为 三 给定疲劳寿命下的破坏概率估计 则样本均值为 样本方差s2为 标准差s是偏差 xi 2的度量 反映分散性大小 只有 n 1 个偏差独立 up可由p确定 存活概率R 1 p 12 3 存活率为99 9 的寿命 xp 2 1674 3 09 0 05 2 013R 99 9 的安全寿命为 Np lg 1xp 103 千周 例3 1在某应力水平下 测得表中一组疲劳寿命数据Ni 试确定存活率为99 9 的安全寿命N 解 将Ni从小到大排列 1 计算样本均值和标准差 2 1674s 0 05 n 10 2 确定标准正态偏量up p 1 R 0 001 0 1 查表3 1得 up 3 09 13 若 95 意味着100个样本估计的xp中 有95个小于xp g 即有95 的把握认为估计量小于真值 四 置信水平 估计量Np ups 若大于真值 up 偏于危险 置信度 估计量小于真值的概率 破坏率p 置信度 的对数寿命写为 若u 0 有k up 则xp g ups 50 14 五 正态概率纸 问题 X是否服从正态分布 已知 x F x 关系 非线性x u关系 线性F x u u 一一对应能否作出x F x 呈线性关系的坐标纸 先画x u坐标 即若随机变量X服从正态分布 则有线性关系 再按u u 关系 依据u标定F x 则线性关系不变 若X服从正态分布 F x x在概率纸上呈线性 15 利用正态概率纸检验随机变量X是否服从正态分布 需xi F xi 数据描点 由其是否线性作出判断 F xi 是对数寿命X小于xi的概率 即破坏概率 其均秩估计量为 F xi pi i n 1 无论X服从何种分布 此式均适用 例3 1之xi F xi 数据如表所列 可在正态概率纸上描点 观察是否呈线性 判断X是否服从正态分布 16 样本标准差s 利用p 15 87时 up 1 由图得到 xp 2 114 例3 1之数据描点如图 注意 用s ctgq估计标准差时 必须x u的坐标标定一致 可知 X是否服从正态分布 均值 与50 破坏率对应 2 167 由xp ups 有 s xp up xp 2 167 2 114 0 053 17 分析计算框图 疲劳试验R S给定 18 寿命有大于零的下限 正态分布不能反映 3 3威布尔分布Weibull1951 一 密度函数和分布函数 1 密度函数定义为 N N0 指数 Reyleigh 正态分布 19 N N0 F N0 0 即寿命小于N0的概率为零 N Na F Na 1 1 e 0 632 Na称特征寿命参数 2 分布函数 F N 寿命小于等于N的概率 令x N N0 Na N0 则有dN Na N0 dx 可得 注意F N F x 故得Weibull分布函数F N 为 20 变量lglg 1 F N 1 lg N N0 间有线性关系 或lg 1 F N 1 N N0 间有对数线性关系 B是直线的斜率 称斜率参数 将分布函数式改写为 取二次对数后得到 3 二参数威布尔分布函数 21 能否作出威布尔概率纸 N F N 非线性关系 lglg 1 F N 1 lg N N0 线性lglg 1 F N 1 F N 一一对应 二 分布参数的图解估计 二个问题 N是否服从威布尔分布 如何确定其分布参数 结论 可作威布尔概率纸 若N服从威布尔分布 概率纸上lg N N0 F N 应有线性关系 22 解 1 Ni排序 估计F Ni 2 估计下限 0 N0 N1 例3 2二组疲劳寿命数据如表 判断其是否服从威布尔分布并估计分布参数 B B N0 N1 2 2 105 A B N0 0 23 注意F N 0 9时 lglg 1 F N90 1 0 有 Na对应的破坏概率为63 2 3 估计分布参数Na和b 如A N90 N0 23 5 105 Na N0 11 5 105 有 b 0 3622 lg 23 5 11 5 1 17 A组 Na N0 11 5 105 因为N0 0 Na 11 5 105 B 组 Na N0 6 8 105 N0 2 105 Na 8 8 105 24 对于给定应力水平的一组寿命数据Ni 估计其对应的破坏概率F Ni 在威布尔概率纸上描点 即可判断其是否服从威布尔并估计分布参数 25 框图 疲劳试验R S给定 26 习题 3 2 3 5b 取N0 50千周 再见 再见 再见 再见 再见 谢谢 第一次课完请继续第二次课 返回主目录 27 第三章疲劳应用统计学基础 3 1疲劳数据的分散性 3 2正态分布 3 3威布尔分布 3 4二元线性回归分析 3 5S N曲线和P S N曲线的拟合 返回主目录 28 确定性关系 对变量X的每一确定值 变量Y都有可以预测的一个或几个确定的值与之对应 如 圆周长L D的确定性关系 3 4二元线性回归分析 二个问题 一组数据点是否呈线性 若呈线性 用什么样的直线描述 一 相关关系和回归方程 相关关系 变量X取某定值时 变量Y并无确定的值与之对应 与之对应的是某唯一确定的概率分布及其特征数 如S N关系 29 回归分析的主要任务是 确定回归方程的形式及回归系数 检验回归方程的可用性 利用回归方程进行预测和统计推断 设X Y间存在着相关关系 X x时 Y的数学期望E Y X x 是x的函数 即 E Y X x f x 30 二 最小二乘法拟合回归方程 获取数据样本 xi yi n对 31 32 三 相关系数及相关关系的检验 相关系数r定义为 33 偏差平方和为 34 相关系数的几何意义 35 回归方程能否反映随机变量间的相关关系 36 四 利用回归方程进行统计推断 37 获取样本数据 xi yi 共n对 下面通过一例题 进一步了解其分析步骤 五 二元线性回归分析的基本方法 38 例3 3表中为某材料在R 0 1下的疲劳试验结果 试估计其S N曲线 解 S N曲线为SmN C 取对数后有 lgS lgC m 1 m lgN 令y lgS x lgN 回归方程可写为 y A Bx其中 A lgC m B 1 m 21 60638 7478117 300119 161347 1351 yi lgSai2 29892 22012 14982 0799 xi lgNi4 97375 16635 47465 9917 xi224 737726 690729 971235 9005 yi25 28494 92884 62164 3260 xiyi11 434011 469711 769312 4621 39 40 破坏率为1 时 up 2 326 即有 y A Bx 2 326s 3 2362 0 2054x破坏率为1 的S N曲线为 p 0 01 要估计破坏率为1 的S N曲线 需先计算样本剩余标准差s 此处有 s Lyy B2Lxx n 2 1 2 0 0263 41 例3 4试用最小二乘法进行回归分析 估计例3 2中B组数据的分布参数 42 43 2 设寿命N服从威布尔分布 有 回归方程写为 Y A BX时 有 Y lglg 1 F N 1 X lg N N0 系数 A lglge blg Na N0 B b 44 故威布尔分布参数 b B 1 7196 Na lg 1 lglge A b N0 8 84 105 注意 对于本例 威布尔分布给出比正态分布更好的拟合精度 即更大的r值 45 3 5S N曲线和P S N曲线的拟合 实验得到 Ly12铝合金板材 在Smax为199 166 141 2 120 2Mpa四种应力水平下的疲劳试验结果x lgN 循环应力比R 0 1 S N曲线和P S N曲线拟合计算实例 试用最小二乘法拟合S N曲线和P S N曲线 46 47 表中数据在正态概率纸上描点结果如图 四种应力水平下的x ps数据 均呈线性 即x lgN 服从正态分布 Smax 199 Smax 166 Smax 141 2 Smax 120 2 48 各应力水平下的x up拟合结果 ra 0 765a 0 01 49 由前表所列ps为50 和99 9 时的二组lgS lgN数据 给出了给定存活率ps下的S N关系 p S N曲线 存活率为ps的S N曲线 如曲线2 是ps 99 9 的S N曲线 双对数坐标图上 这二组S N数据呈线性关系 S N曲线 存活率为50 的S N曲线 曲线1 是中值S N曲线 50 式中 S的单位为MPa N是直到破坏的循环次数 对前图之二组数据 令Y lgS X lgN 用最小二乘法拟合S N曲线 结果列于下表 可知 对于本例 中值S N曲线为 ps 99 9 的p S N曲线为 51 小结 1 疲劳寿命分散性显著 S越低 N越长 分散性越大 分散性 光滑件 缺口件 裂纹扩展 3 三参数威布尔分布为 N0 下限 Na 特征寿命参数 b 形状参数 4 利