2018年初中数学中考名师面对面专题指导：2018年初中数学中考名师面对面专题指导5：图形折叠类问题.docx

2018年初中数学中考名师面对面专题指导第五讲图形折叠类问题（一） 考点解析：折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180，使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用 折叠(或翻折)在三大图形变换中是比较重要的，考查得较多，无论是选择题、填空题，还是解答题都有以折叠为背景的试题常常把矩形、正方形的纸片放置于直角坐标系中，与函数、直角三角形、相似形等知识结合，贯穿其他几何、代数知识来设题根据轴对称的性质可以得到：折叠重合部分一定全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴；互相重合两点(对称点)之间的连线必被折痕垂直平分；对称两点与对称轴上任意一点连结所得的两条线段相等；对称线段所在的直线与对称轴的夹角相等. 在解题过程中要充分运用以上结论，借助辅助线构造直角三角形，结合相似形、锐角三角函数等知识来解决有关折叠问题（二）考点训练考点1：折叠后图形判断【典型例题】：（2017浙江湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造下列四幅图中有三幅是小明用如图所示的七巧板拼成的，则不是小明拼成的那副图是（）ABCD【考点】IM：七巧板【分析】解答此题要熟悉七巧板的结构：五个等腰直角三角形，有大、小两对全等三角形；一个正方形；一个平行四边形，根据这些图形的性质便可解答【解答】解：图C中根据图7、图4和图形不符合，故不是由原图这副七巧板拼成的故选C【变式训练】：（2017湖北江汉）如图，下列44网格图都是由16个相同小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影（1）在图1中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形；（2）在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形【考点】R9：利用旋转设计图案；P8：利用轴对称设计图案【分析】（1）根据中心对称图形，画出所有可能的图形即可（2）根据是轴对称图形，不是中心对称图形，画出图形即可【解答】解：（1）在图1中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形，答案如图所示；（2）在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形，答案如图所示；方法归纳总结：对折叠图形的判断，可以通过空间想象，找出相等的边与角，转化为角度的判断考点2：折叠后度数判断【典型例题】：（2017内蒙古赤峰）如图，将边长为4的菱形ABCD纸片折叠，使点A恰好落在对角线的交点O处，若折痕EF=2，则A=（）A120B100C60D30【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；L8：菱形的性质【分析】连接AC，根据菱形的性质得出ACBD，根据折叠得出EFAC，EF平分AO，得出EFBD，得出EF为ABD的中位线，根据三角形中位线定理求出BD的长，进而可得到BO的长，由勾股定理可求出AO的长，则ABO可求出，继而BAO的度数也可求出，再由菱形的性质可得A=2BAO【解答】解：连接AC，四边形ABCD是菱形，ACBD，A沿EF折叠与O重合，EFAC，EF平分AO，ACBD，EFBD，E、F分别为AB、AD的中点，EF为ABD的中位线，EF=BD，BD=2EF=4，BO=2，AO=2，AO=AB，ABO=30，BAO=60，BAD=120故选A【变式训练】：（2016四川南充）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后DAG的大小为（）A30B45C60D75【分析】直接利用翻折变换的性质以及直角三角形的性质得出2=4，再利用平行线的性质得出1=2=3，进而得出答案【解答】解：如图所示：由题意可得：1=2，AN=MN，MGA=90，则NG=AM，故AN=NG，则2=4，EFAB，4=3，1=2=3=90=30，DAG=60故选：C【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及平行线的性质，正确得出2=4是解题关键方法归纳总结：在折叠问题中，利用对称性可得到相等的角和边考点3：折叠后线段长度判断【典型例题】：（2017贵州安顺）如图，矩形纸片ABCD中，AD=4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO=5cm，则AB的长为（）A6cmB7cmC8cmD9cm【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质【分析】根据折叠前后角相等可证AO=CO，在直角三角形ADO中，运用勾股定理求得DO，再根据线段的和差关系求解即可【解答】解：根据折叠前后角相等可知BAC=EAC，四边形ABCD是矩形，ABCD，BAC=ACD，EAC=EAC，AO=CO=5cm，在直角三角形ADO中，DO=3cm，AB=CD=DO+CO=3+5=8cm故选：C【变式训练】：（2017广东）如图，矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，先按图（2）操作：将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按图（3）操作，沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则A、H两点间的距离为【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质【分析】如图3中，连接AH由题意可知在RtAEH中，AE=AD=3，EH=EFHF=32=1，根据AH=，计算即可【解答】解：如图3中，连接AH由题意可知在RtAEH中，AE=AD=3，EH=EFHF=32=1，AH=，故答案为方法归纳总结：在折叠问题中，利用对称性可得到相等的线段，通过三角形相似、勾股定理列出方程求解 折叠问题转化为轴对称问题，利用勾股定理和相似求出未知线段，最后把所求的线段转化到直角三角形中去处理考点4：折叠后周长面积计算【典型例题】：（2017.江苏宿迁）如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB=1，BC=，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿直线AE翻折，得到多边形ABCE，点B、C的对应点分别为点B、C（1）当BC恰好经过点D时（如图1），求线段CE的长；（2）若BC分别交边AD，CD于点F，G，且DAE=22.5（如图2），求DFG的面积；（3）在点E从点C移动到点D的过程中，求点C运动的路径长【考点】LO：四边形综合题【分析】（1）如图1中，设CE=EC=x，则DE=1x，由ADBDEC，可得=，列出方程即可解决问题；（2）如图2中，首先证明ADB，DFG都是等腰直角三角形，求出DF即可解决问题；（3）如图3中，点C的运动路径的长为的长，求出圆心角、半径即可解决问题【解答】解：（1）如图1中，设CE=EC=x，则DE=1x，ADB+EDC=90，BAD+ADB=90，BAD=EDC，B=C=90，AB=AB=1，AD=，DB=，ADBDEC，=，=，x=2CE=2（2）如图2中，BAD=B=D=90，DAE=22.5，EAB=EAB=67.5，BAF=BFA=45，DFG=AFB=DGF=45，DF=FG，在RtABF中，AB=FB=1，AF=AB=，DF=DG=，SDFG=（）2=（3）如图3中，点C的运动路径的长为的长，在RtADC中，tanDAC=，DAC=30，AC=2CD=2，CAD=DAC=30，CAC=60，的长=【变式训练】：（2016四川攀枝花）如图，正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连结GF，给出下列结论：ADG=22.5；tanAED=2；SAGD=SOGD；四边形AEFG是菱形；BE=2OG；若SOGF=1，则正方形ABCD的面积是6+4，其中正确的结论个数为（）A2 B3 C4 D5【考点】四边形综合题【分析】由四边形ABCD是正方形，可得GAD=ADO=45，又由折叠的性质，可求得ADG的度数；由AE=EFBE，可得AD2AE；由AG=GFOG，可得AGD的面积OGD的面积；由折叠的性质与平行线的性质，易得EFG是等腰三角形，即可证得AE=GF；易证得四边形AEFG是菱形，由等腰直角三角形的性质，即可得BE=2OG；根据四边形AEFG是菱形可知ABGF，AB=GF，再由BAO=45，GOF=90可得出OGF时等腰直角三角形，由SOGF=1求出GF的长，进而可得出BE及AE的长，利用正方形的面积公式可得出结论【解答】解：四边形ABCD是正方形，GAD=ADO=45，由折叠的性质可得：ADG=ADO=22.5，故正确由折叠的性质可得：AE=EF，EFD=EAD=90，AE=EFBE，AEAB，2，故错误AOB=90，AG=FGOG，AGD与OGD同高，SAGDSOGD，故错误EFD=AOF=90，EFAC，FEG=AGE，AGE=FGE，FEG=FGE，EF=GF，AE=EF，AE=GF，故正确AE=EF=GF，AG=GF，AE=EF=GF=AG，四边形AEFG是菱形，OGF=OAB=45，EF=GF=OG，BE=EF=OG=2OG故正确四边形AEFG是菱形，ABGF，AB=GFBAO=45，GOF=90，OGF时等腰直角三角形SOGF=1，OG2=1，解得OG=，BE=2OG=2，GF=2，AE=GF=2，AB=BE+AE=2+2，S正方形ABCD=AB2=（2+2）2=12+8，故错误其中正确结论的序号是：故选B【点评】此题考查的是四边形综合题，涉及到正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质等知识此题综合性较强，难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用方法归纳总结：在折叠问题中，利用对称性可得到相等的角、全等的图形和相等的面积考点5：折叠后结论探讨【典型例题】：已知，在RtABC中，ACB=90，AC=4，BC=2，D是AC边上的一个动点，将ABD沿BD所在直线折叠，使点A落在点P处（1）如图1，若点D是AC中点，连接PC写出BP，BD的长；求证：四边形BCPD是平行四边形（2）如图2，若BD=AD，过点P作PHBC交BC的延长线于点H，求PH的长【考点】LO：四边形综合题【分析】（1）分别在RtABC，RtBDC中，求出AB、BD即可解决问题；想办法证明DPBC，DP=BC即可；（2）如图2中，作DNAB于N，PEAC于E，延长BD交PA于M设BD=AD=x，则CD=4x，在RtBDC中，可得x2=（4x）2+22，推出x=，推出DN=，由BDNBAM，可得=，由此求出AM，由ADMAPE，可得=，由此求出AE=，可得EC=ACAE=4=由此即可解决问题【解答】解：（1）在RtABC中，BC=2，AC=4，AB=2，AD=CD=2，BD=2，由翻折可知，BP=BA=2如图1中，BCD是等腰直角三角形，BDC=45，ADB=BDP=135，PDC=13545=90，BCD=PDC=90，DPBC，PD=AD=BC=2，四边形BCPD是平行四边形（2）如图2中，作DNAB于N，PEAC于E，延长BD交PA于M设BD=AD=x，则CD=4x，在RtBDC中，BD2=CD2+BC2，x2=（4x）2+22，x=，DB=DA，DNAB，BN=AN=，在RtBDN中，DN=，由BDNBAM，可得=，=，AM=2，AP=2AM=4，由ADMAPE，可得=，=，AE=，EC=ACAE=4=，易证四边形PECH是矩形，PH=EC=【变式训练】：（2016重庆市A卷4分）正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE平分ADO交AC于点E，把ADE沿AD翻折，得到ADE，点F是DE的中点，连接AF，BF，EF若AE=则四边形ABFE的面积是【分析】如图，连接EB、EE，作EMAB于M，EE交AD于N易知AEBAEDADE，先求出正方形AMEN的边长，再求出AB，根据S四边形ABFE=S四边形AEFE+SAEB+SEFB即可解决问题【解答】解：如图，连接EB、EE，作EMAB于M，EE交AD于N四边形ABCD是正方形，AB=BC=CD=DA，ACBD，AO=OB=OD=OC，DAC=CAB=DAE=45，根据对称性，ADEADEABE，DE=DE，AE=AE，AD垂直平分EE，EN=NE，NAE=NEA=MAE=MEA=45，AE=，AM=EM=EN=AN=1，ED平分ADO，ENDA，EODB，EN=EO=1，AO=+1，AB=AO=2+，SAEB=SAED=SADE=1（2+）=1+，SBDE=SADB2SAEB=1+，DF=EF，SEFB=，SDEE=2SADESAEE=+1，SDFE=SDEE=，S四边形AEFE=2SADESDFE=，S四边形ABFE=S四边形AEFE+SAEB+SEFB=故答案为方法归纳总结：解决折叠问题时，一是要对图形折叠有准确定位，抓住图形之间最本质的位置关系，从点、线、面三个方面入手，发现其中变化的和不变的量，发现图形中的数量关系；二是要把握折叠的变化规律，充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系用方程的形式表达出来（三）考点检测1. （2017宁夏）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A处若1=2=50，则A为105【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质，得出ADB=BDG=DBG，由三角形的外角性质求出BDG=DBG=1=25，再由三角形内角和定理求出A，即可得到结果【解答】解：ADBC，ADB=DBG，由折叠可得ADB=BDG，DBG=BDG，又1=BDG+DBG=50，ADB=BDG=25，又2=50，ABD中，A=105，A=A=105，故答案为：105【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，求出ADB的度数是解决问题的关键2. 如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB=AC=10，BC=12，沿底边BC上的高AD剪成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是10cm，2cm，4cm【考点】PC：图形的剪拼【分析】利用等腰三角形的性质，进而重新组合得出平行四边形，进而利用勾股定理求出对角线的长【解答】解：如图：，过点A作ADBC于点D，ABC边AB=AC=10cm，BC=12cm，BD=DC=6cm，AD=8cm，如图所示：可得四边形ACBD是矩形，则其对角线长为：10cm，如图所示：AD=8cm，连接BC，过点C作CEBD于点E，则EC=8cm，BE=2BD=12cm，则BC=4cm，如图所示：BD=6cm，由题意可得：AE=6cm，EC=2BE=16cm，故AC=2cm，故答案为：10cm，2cm，4cm3. （2017内江）如图，在矩形AOBC中，O为坐标原点，OA、OB分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（0，3），ABO=30，将ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，则点D的坐标为（）A（，）B（2，）C（，）D（，3）【考点】PB：翻折变换（