隐函数的导数

课题第4讲：隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率教学目的要求1. 熟悉隐函数的概念;2. 掌握隐函数的求导法则；3. 掌握由参数方程所确定的函数的求导方法.主要内容与时间分配隐函数的导数 25分钟由参数方程所确定的函数的导数 30分钟相关变化率 20分钟对数求导法 15分钟重点难点隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数教学方法和手段以讲授为主，使用电子教案课后作业练习作业：110 页 1(3).3(2).4(4).5(3).7(3).8.(4).14预习：函数的微分 1 函数求导、参数方程求导函数表示两个变量与之间的对应关系，这种对应关系可以用各种不同方式表达。前面我们遇到的函数，例如，等，这种函数表达方式的特点是：等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值。用这种方式表达的函数叫做显函数。有些函数的表达方式却不是这样，例如，方程表示一个函数，因为当变量在内取值时，变量有确定的值与之对应。例如，当时，；当时，等等。这样的函数称为隐函数。一般地，如果在方程中，当取某区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的值存在，那么就说方程在该区间内确定了一个隐函数。把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。例如从方程解出，就把隐函数化成了显函数。隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的。但在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，因此，我们希望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来。下面通过具体例子来说明这种方法。例1 求由方程所确定的隐函数的导数。解：我们把方程两边分别对求导数，注意是的函数。方程左边对求导得，方程右边对求导得 。由于等式两边对x的导数相等，所以，从而 。在这个结果中，分式中的是由方程所确定的隐函数。隐函数求导方法小结：（1）方程两端同时对求导数，注意把当作复合函数求导的中间变量来看待，例如。（2）从求导后的方程中解出来。（3）隐函数求导允许其结果中含有。但求一点的导数时不但要把值代进去，还要把对应的值代进去。例2 ，确定了是的函数，求。解：，时，。自我训练：（1），求。（2），求。（3），求。（4），求。2 取对数求导法对于幂指函数是没有求导公式的，我们可以通过方程两端取对数化幂指函数为隐函数，从而求出导数。例3 求的导数。解：这函数既不是幂函数也不是指数函数，通常称为幂指函数。为了求这函数的导数，可以先在两边取对数，得；上式两边对求导，注意到是的函数，得，于是 。由于对数具有化积商为和差的性质，因此我们可以把多因子乘积开方的求导运算，通过取对数得到化简。例4 求的导数。解：先在两边取对数（假定），得，上式两边对求导，注意到是的函数，得，于是 。当时，；当时，；用同样方法可得与上面相同的结果。注：关于幂指函数求导，除了取对数的方法也可以采取化指数的办法。例如，这样就可把幂指函数求导转化为复合函数求导；例如求的导数时，化指数方法比取对数方法来得简单，且不容易出错。3 由参数方程确定的函数的求导若由参数方程确定了是的函数，如果函数具有单调连续反函数，且此反函数能与函数复合成复合函数，那么由参数方程所确定的函数可以看成是由函数、复合而成的函数。现在，要计算这个复合函数的导数。为此，再假定函数、都可导，而且。于是根据复合函数的求导法则与