二、三重积分变量变换后确定积分区域方法的探究毕业论文.doc

【标题】二、三重积分变量变换后确定积分区域方法的探究【作者】王尹 【关键词】重积分变量变换极坐标变换柱面坐标变换球坐标变换积分区域 【指导老师】简 大 权 【专业】小学教育 【正文】1.引言二、三重积分是多元微积分的基础和重要内容之一，是现代科学技术和科学研究的重要数学工具之一，已广泛地应用于自然科学、社会科学、工程技术和工农业生产中，并与数学的各个分支互相渗透结合，应用极广因此二、三重积分在高等数学中具有重要的地位和作用同时，不少二、三重积分的计算问题对于初学者也是一个难点由于变量变换是重要的数学思想方法，也是解决二、三重积分计算的一种行之有效的重要工具但对于不同类型的二、三重积分如何应用变量变换，是否有规律，变量变换后如何确定积分区域等等问题确实是二、三重积分计算的关键和难点因此，本文通过对二、三重积分的计算进行系统分析、探讨、归纳、总结出不同类型的二、三重积分变量变换的一般规律，以及掌握其规律的关键，阐明不同的变量变换后确定二、三重积分的积分区域的常用方法和技巧这对于牢固掌握二、三重积分的基础理论和变量变换的方法，突破二、三重积分的难点，提高分析问题和解决问题的能力具有一定的理论、实践意义和指导作用微积分是在17世纪诞生的，随着数学家的不断努力，计算重积分的方法已有很多，这为我完成该课题提供了很多宝贵的资料微积分在日常生活中有很多值得研究的地方，本课题选择了二、三重积分计算二、三重积分主要是在二维、三维空间中对函数进行积分，用传统的计算方法会遇到积分区域比较复杂，被积函数比较复杂等问题此时，为了求出积分值和使积分计算变得简单，会采用变量变换的方法计算前人已经找出了很多变量变换的方法，但本课题主要针对直角坐标、极坐标、柱面坐标、球坐标这四种坐标变换进行探究本课题最大的探究价值就是希望能给初学者在学习这部分知识时提供一些帮助2.二、三重积分变量变换后确定积分区域的方法的探究2.1直角坐标变换后确定积分区域的方法直角坐标变换的定理设在有界闭区域上可积，变换，将平面上由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域，一对一地映成平面上的闭区域，函数在内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式，则当二、三重积分的被积函数表达式较复杂或积分区域是由按段光滑封闭曲线所围成的不规则的闭区域时，可以根据直角坐标变换定理通过作适当的直角坐标变换，或简化积分区域或简化被积函数2.1.1简化积分区域例1求由抛物线及双曲线围成的区域的面积分析作出区域的略图（如图1）因为将积分区域转化为几个型区域或型区域较复杂，所以采用变量变换由于区域是由曲线及所围成的，作适当变量变换，令则在此变换下区域被映射成平面上的矩形区域（如图2）问题便可解决解区域的面积为此作变换它把平面上的区域对应到平面上的矩形区域，由于函数行列式，所以当积分区域不易描述和定限时，通过适当的变量变换可将区域变成一个用新的直角坐标系容易描述和定限的区域，以达到简化二重积分区域的目的直角坐标变换后主要是依据图形来确定变量变换后积分区域的范围2.1.2简化被积函数例2求，其中是由所围区域分析作出区域的略图（如图3）为了简化被积函数，作适当变量变换令则在此变换下，被积函数被简化，便于进行计算解令，作变换，则函数行列式在变换作用下，区域的原象（如图4），故选择适当变量变换后要注意确定新的积分区域，其方法就是将原区域的边界方程与变换公式联解就可以确定出变换后新变量的积分区域2.1.3既简化被积函数，又简化积分区域例3计算，其中为椭圆域解令作变换，它将平面上的椭圆域对应成平面上的圆域：，由于函数行列式，所以当描述积分区域的方程与被积函数具有相同类型时，最好是以简化被积函数作变量变换，从而简化积分区域将变换公式与区域边界方程联立求解，便可确定变量变换后的积分区域的范围2.2极坐标变换后确定积分区域的方法当积分区域是圆域或圆域的一部分，或者的边界的极坐标变换方程较为简单，或者被积函数是，或，或积分区域的边界方程中含有时，常采用极坐标变换,能达到简化积分区域或被积函数的目的，使计算较简单此时变换的函数行列式为极坐标变换定理设在有界闭区域上可积，极坐标变化将平面上有界闭区域与平面上区域对应，则成立2.2.1积分区域是圆域或圆域的一部分例4计算，其中分析在所计算的二重积分中，要去掉被积函数中的绝对值符号，同样需要考虑积分区域首先找出使被积函数等于零的分界曲线，它就是半径为2的圆，而积分区域是半径为3的圆形区域因此，圆把积分区域分成两个区域，在上被积函数，故有；在上被积函数，故有而通过极坐标变换把平面上的圆域对应到平面上的矩形区域解作极坐标变换，变换的函数行列式：所以把二重积分化为极坐标系中的累次积分计算时千万不要忘记除了把被积函数中的变量作相应的变换外，还必须把面积微元换成2.2.2边界的极坐标方程较为简单例计算，其中为双纽线所围的右边一半分析对（先对积）积分的上下限是明显的，而对积分的上下限不明显，这时可令曲线方程中的,即，解得或（不合题意舍去），则就是对积分的下限，为上限解若区域为单连通的有界闭区域，圆点在其边界上，并且其边界曲线可用一个单值函数表达可以把它看作是一个特殊的扇形域，是一个三点重合的扇形域，因此令的边界曲线中的，推出的两个值就相当于可作对积分的上下限2.2.3被积函数是或积分区域的边界区域中含有例6求二重积分，其中为圆所围成的区域分析因为被积函数与积分区域的边界曲线的方程都含有“”，所以作极坐标变换函数行列式将变成：解作极坐标变换，有极坐标变换中的变量和有一个基本的范围：再根据题设的条件来确定变量和的范围2.2.4广义极坐标变换若被积函数或积分区域的边界曲线方程含有，或者积分区域或被积函数比较复杂，在直角坐标系中很难表示出时，用广义极坐标变换广义积坐标变换公式要根据题目的特点确定2.2.4.1被积函数或积分区域的边界曲线方程含有例7求，其中为椭圆所围成的区域解作变换变换将变成于是广义极坐标变换的思想也是根据“”，所以和的取值范围依然是极坐标变换中的取值范围，但应根据题设条件确定积分区域的范围2.2.4.2被积函数或积分区域的边界曲线方程含有例8求，其中是曲线，直线所围成的区域解作变换变换将变为于是当被积函数或积分区域的边界曲线方程中含有或时，在作坐标变换时是要以去掉次方根根号为目的积分区域范围根据直角坐标系下的范围确定新坐标系下的范围2.2.4.3积分区域的边界曲线方程是高次方程例9计算，其中是在第一象限中所围成的区域分析是一个四次方程，要解出（或）并非易事，故不易在直角坐标系中计算令，则曲线方程变为，所研究的是曲线在第一象限中所围成的区域，于是令，则有或函数行列式解作变换由于，所以作什么样的变换，主要依据积分区域的形状基本方法是：定限简便，求积容易2.3柱面坐标变换后确定积分区域的方法若积分区域为圆柱体或圆柱体的一部分，或者被积函数表达式中含有或或，宜用柱面坐标变换计算三重积分柱面坐标变换变换T的函数行列式.三重积分的柱面坐标换元公式这里为在柱面坐标变换下的原象在柱面坐标系中，用常数，常数，常数的平面分割时，变换后在直角系中，常数是以轴为中心轴的圆柱面，常数是过轴的半平面，常数是垂直于轴的平面用柱面坐标计算三重积分，通常是找出在平面上的投影区域，即当时，其中二重积分部分应用极坐标变换计算2.3.1积分区域是圆柱体或圆柱体的一部分例10计算，是由曲面，所围成的闭区域分析是由锥面、柱面、与坐标面围成的闭区域它在平面上的投影域为圆域，于是用柱面坐标变换计算解作变换变换的函数行列式在变换下区域，所以变量变换应该在整个积分区域上变换，而不仅仅在积分区域的边界上积分区域的确定要根据直角坐标系下的范围来确定2.3.2被积函数或积分区域的边界曲面方程中含有例11计算，其中为，所围成的区域分析被积函数为，积分区域在平面上的投影区域为圆域，用柱面坐标变换，因此区域的边界曲面可以表示为，边界曲面仍为若先对积分，作平行于轴的直线与相交，向轴的正方向看，入口曲面为，出口曲面为，即，；再对积分，将投影到平面，其投影区域为可以表示为解作变换的函数行列式，在变换下的区域，所以2.3.3积分区域在坐标面上投影为圆域或圆域的一部分，被积函数为例12计算，其中为第一象限中由旋转抛物面与圆柱面及三坐标面所围成区域解作变换的函数行列式，则在平面上投影可表示为，上、下两界面方程可表示为和于是在变换下的区域所以2.4球坐标变换后确定积分区域的方法若积分区域为球体或球体的一部分，或者被积函数含有，宜于用球坐标变换计算三重积分球坐标变换由于变换的函数行列式当在上取值时，所以在球坐标变换下，三重积分的球坐标换元公式为这里为在球坐标变换下的原象在球坐标系中，用常数，常数，常数的平面分割时，变换后在直角坐标系中，常数是以原点为中心的球面，常数是以原点为顶点轴为中心轴的圆锥面，常数是过轴的半平面在球坐标下，当区域为集合；时，可化为累次积分2.4.1积分区域为球面，球面与锥面，球面与球面等围成的区域，被积函数含有例13计算，其中，解作变换在球坐标变换下区域为于是2.4.2积分区域为球体或球体的一部分例14计算，其中由及所确定分析是由半锥面所围成，为了确定引入球坐标变换后化为累次积分的积分限首先要确定在面上的投影域再确定角和的变化区间由得即球面与上半锥面的交线是平面上的圆故在面上的投影区域为引入球坐标变换，则球面方程化为于是在球坐标系中，表示为解作变换函数行列式按球坐标变换，区域于是2.4.3广义球坐标变换若积分