第三复数法.docVIP

第三讲复数法一、基本思想用复数解几何问题的重要依据是复数的向量表示。凡是能用平面向量运算能解的题目，也一定可以用复数运算来求解，而且由于复数乘法用来实现向量的旋转，比向量解法显得更简便，使一些问题几乎只留下直截了当的计算，而不必多费脑筋。解题的关键在于熟练掌握复数运算的几何意义。二、复数的表示及常用结论（1）复数与复平面上的点建立一一对应。表示点到原点的距离，给定复数，以原点为起点，以为终点作向量，在复平面上，复数也可与向量建立一一对应。因此，我们在应用中记号同时可表示复数、点，以及向量而不加以区别。（2）是复数表示的三角形式及指数形式。，是实轴正向到向量的旋转角，有无穷多个值，规定时，称为辐角主值，记为。（3）复数加减法与平面向量加减法的平行四边形法则一致。表示与间的距离，且有不等式。前（后）一个不等式成立的充要条件是与反（同）向。（4）复数乘法的几何意义是向量的旋转和伸缩，具体地为表示将向量旋转角。表示将伸缩到原来的倍。（5）定比分点公式设、是直线上的两个定点，是上任一点，且，则，特别地，线段的中点。又重心，且由此得共线存在不全为零的实数使且.若不共线，且存在实数同时满足且，则.（6）三角形的面积公式设是复平面上一个正向三角形（按逆时针方向绕行），则证明：如图因为，所以由该结论，又有共线.（7）n个n次单位根将原点为圆心的单位圆n等分，即的根为是以原点为圆心的单位圆的内接正n边形的顶点，且有.（8）为正向正三角形的充要条件是：，其中是一个3次单位根。（）或，其中. （）证明：若为正向正三角形，则，且到扫过的有向角为，即，由此可得，又故上式写为.另外，由此式反推回去可证明为正向正三角形。（9）复平面上任意三点不共线的四点A、B、C、D形成平行四边形ACBD（即对角线互相平分）.三、例题分析例1延长ABC的三边BC、CA、AB到、，使.证明：与有相同的重心。证明：设由定比分点公式有，故，从而重心坐标相同。例2P为正方形ABCD内一点，BMNP、APEF都是与ABCD有相同转向的正方形。求证：FC且AMFC.证明：设P为复平面的原点，由知故，即，故FC且AMFC.例3以四边形ABCD的各边为斜边向外作等腰直角三角形ABP、BCQ、CDR、DAS.求证：RPQS且RPQS.证明：由知同理可得，计算，故RPQS且RPQS.例4如果圆内接六边形ABCDEF满足ABCDEFR，其中R为圆的半径。求证：BC、DE、FA的中点P、Q、R联成一个正三角形。证：设圆心为原点，则，由中点公式，由于，所以故为正三角形。例5四边形ABCD中，AD、BC交于F，AB、DC交于E，M、N、L分别是AC、BD、EF的中点。证明：M、N、L共线。分析：若用综合法，共线的条件不好找，而用复数求解，剩下的只有计算而已。证明：因为又A、B、E和A、D、F和B、C、F和D、C、E分别共线，故从而M、N、L共线。例6在四边形ABCD中，等式成立当且仅当A、B、C、D共圆。（托勒密定理）证明：设A为复平面的原点，由于又因为上式等号成立与同向存在正实数，使 A、B、C、D四点共圆。例7设ACPH、AMBE、AHBT、BKGM、CKGP都是同向的平行四边形。求证：ABTE也是平行四边形。分析：问题涉及10个点以及这些点为顶点的6个四边形。若用综合法求证，较准确的作图是必不可少的，但此题作图较难，而用复数法，完全不必作图。证明：ACPH是平行四边形，则APCH，AMBE是平行四边形，则ABME，AHBT是平行四边形，则HTAB，BKG