北京高校第四届青年教师教学基本功比赛.doc

A组理工类北京高校第四届青年教师教学基本功比赛矩阵对角化及其应用参赛教师 王三强任课教师王三强职 称讲 师课程名称线性代数及其应用授课章节第四章、第三节授课题目矩阵对角化及其应用授课对象经济管理类本科生授课时间本科一年级第二学期上一节教学内容提要1、 矩阵特征值与特征向量的概念和性质2、 求矩阵特征值和特征向量的方法教学内容1、 相似矩阵的概念和矩阵对角化的条件2、 应用实例选讲教学目的1、 掌握矩阵对角化的条件与方法2、 通过观察数学模型的建立，逐步培养学生运用数学知识解决实际问题的能力3、 欣赏瑰丽的数学世界，培养学生的美学意识教学重点1、 矩阵化为对角阵的方法2、 建立数学模型并求解教学难点1、 矩阵可对角化的条件2、 提出实际问题及解决问题的基本方法教学方法1、 结合多媒体演示，采用启发式教学2、 通过师生互动激发学生的学习兴趣教学过程见下页教学要求教学内容表达方式时间(1) 巩固求矩阵特征值和特征向量的方法(2) 通过引例让学生了解计算方阵的幂的方法一、矩阵的对角化 引例设矩阵求 提示:由上一节特征值理论可求A的特征值为：，(二重) 对应特征向量取：，则 令 可求 则可写成 故 而故可求提问: 1、什么样的矩阵有这样的与？ 2、 板书复习上节内容，导入新课提问：思考求法？幻灯片演示复习内容稍快板书、提问约4分钟约1分钟教学要求教学内容表达方式时间(3) 理解相似矩阵的概念(4) 理解相似矩阵的性质(5) 了解引入相似矩阵的目的(6) 掌握矩阵可对角化的充要条件(7) 熟练掌握矩阵对角化的方法 1、相似矩阵定义 性质1定理1相似矩阵有相同行列式、特征多项式及特征值点评：引入相似矩阵目的通过研究与A相似的更简单的矩阵来考察A的性质过渡：那么A能否相似于更简单的对角阵？即A对角化的条件 2、矩阵可对角化的条件 矩阵对角化是指矩阵与对角阵相似定理2 n阶方阵A与对角阵 相似的充要条件是是A的n个特征值(可以有重根)，且A有n个线性无关的特征向量，分别属于小结：矩阵对角化的步骤【例】已知矩阵 板书多媒体演示思考：为什么引入相似矩阵？承上启下板书多媒体演示师生互动对知识进行适当的小结，强调对角化计算方法板书结合多媒体演示约3分钟约4分钟约1分钟约7分钟约5分钟教学要求教学内容表达方式时间(8) 了解利用矩阵对角化求方阵的幂的方法(9) 培养学生运用所学知识解决实际问题的能力，养成勤于思考学以致用的优良作风(10) 培养学生归纳、抽象及概括的能力(11) 了解斐波那契数列提出、发展情况(12) 理解建立数学模型的基本方法(13) 了解用矩阵叙述问题时的简明与方便问：A能否对角化？若能则求出可逆矩阵P，使P-1AP为对角阵. 再求Am，其中m为正整数小结：利用对角阵计算方阵的幂若，则，其中k为正整数二、应用实例选讲 1、斐波那契的兔子繁殖问题 (1)问题的提出如果一对兔子出生两个月后开始繁殖，每个月恰好生出一对后代。现在有一对新生兔子，假定兔子只繁殖，没有死亡，问每月月初会有多少对兔子？ 图1 兔子繁殖图 (2)文献综述前人对此问题的研究进展情况 (3)推导斐波那契数列通项 (即求某月月初兔子的数量) 建立兔子种群繁殖模型 第k月初新生兔对数： 第k月初成熟兔对数： 建立矩阵形式的模型板书结合多媒体演示介绍背景多媒体动画演示图1逐步揭示问题的规律讲解结合多媒体动画演示，讲解数学模型的建立过程师生互动将问题转为矩阵形式约2分钟约1分钟约3分钟约1分钟约3分钟教学要求教学内容表达方式时间(14) 学会使用矩阵简化问题(15) 领会兔子繁殖问题的数学实质(16) 通过学生可知、可感的有趣实例，将数学知识与生活实际联系起来(17) 注重知识与实际的联系，拓展学生思维，从抽象走入现实(18)透过现象，抓住数学本质 其中 递推得：欲求，由矩阵理论只需将A对角化即可 利用矩阵对角化求解模型 故得斐波那契数列通项 思考：通项的古怪之处？ (4)斐波那契数列的广泛应用 树枝的繁衍方式遵循斐氏数列的规律第一年 第二年 第三年 第四年 第五年. 图2 树木枝条生长模式图 类似问题：蜜蜂的“家谱”钢琴音阶排列上楼方式等板演师生呼应启发学生用矩阵对角化解决实际问题幻灯片演示提问通项的特别之处？演示幻灯片提问请同学举出其它例子约1分钟约3分钟约1分钟约1分钟约1分钟教学要求教学内容表达方式时间(19) 体味数学原理在大自然中的神奇体现 自然界中的斐波那契螺旋 下图的植物称为蓟，图中顺时针旋转的螺旋共有13条，而逆时针旋转的则有21条，它们是斐氏数列中的相邻数字。这样的螺旋被称为斐波那契螺旋 图3 具有斐波那契螺旋的蓟的头部以斐波那契螺旋形式排列种子、花瓣或叶子的植物还有很多。图2是我们经常食用的菜花，具有5条顺时针和8条逆时针旋转的螺旋 图4 具有斐波那契螺旋的菜花演示幻灯片讲解数学不再抽象，而是一种美启发学生思考观察身边的数学原理约1分钟约1分钟教学要求教学内容表达方式时间(20) 了解斐波那契数列与黄金分割之间的联系(21) 了解斐波那契数列与黄金分割问题中所蕴含的优化思想 图5 具有斐波那契螺旋的松果(5)斐波那契数列与黄金分割的关系 取斐波那契数列相邻的数字作螺旋235813我们惊奇的发现 这意味着斐氏数列相邻项的比例极限是完美的黄金分割小结：一个生小兔问题导出的数列中竟然蕴含着美的极限我国当代数学家华罗庚将此原理成功应用于“优选法”之中观察、思考、相互交流调动学生的多种感官参与教学过程反问：斐波那契螺旋很美，但是也有缺陷，那么有没有比其更完美的螺旋？反问：仔细观察有什么发现？反问：这意味着什么？从中受到什么启发？约1分钟约2分钟约1分钟教学要求教学内容表达方式时间(22) 了解线性代数知识的广泛应用 (23) 整理知识、回顾重点、引起学生进一步的思考(24) 养成利用Internet资源的良好习惯2、Natchez印第安人的社会结构模型 课本P182，学生自己练习三、小结 主要学习了矩阵对角化理论，要掌握矩阵对角化的方法；分析了斐波那契的兔子繁殖问题，特别要注意矩阵知识在其中所起的重要作用。四、作业 课本P122，18(4)(6)，20，22五、课后博览 有兴趣的同学，可以上网查阅关于斐波那契数列与黄金分割的相关资料。 参考站点：// 幻灯片演示讲解约1分钟约1分钟【