化二次型为标准型的方法.doc

化二次型为标准型的方法一、绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课。该课程以线性空间为背景，以线性变换为方法，以矩阵为工具，着重研究线性代数的问题。二次型式多元二次函数，其内容本应属于函数讨论的范围，然而二次型用矩阵表示之后，用矩阵方法讨论函数问题使得二次型的问题变得更加简洁明确，二次型的内容也更加丰富多彩。本文的中心问题是如何化二次型为标准形，也就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵。二次型是高等代数的重要内容之一，二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项，即二次型的标准型。二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题，其理论也在网络、分析、热力学等问题中有广泛的应用。将二次型化为标准型往往是困惑学生的一大难点问题，而且它在物理学、工程学、经济学等领域有非常重要的应用，因此探索将实二次型化为标准型的简单方法有重要的理论与应用价值。我们知道，任一二次型和某一对称矩阵是相互唯一确定，而任一实对称矩阵都可以化成一对角矩阵，相应的任一实二次型都可以化为标准型。在高等代数课本中介绍了将实二次型化为标准型的两种方法：配方法和正交变换法；此外，由于任意矩阵可以利用初等变换化为对角矩阵，因此也可用初等变换法将二次型化为标准型。通过典型例题，更能体会在处理二次型问题时的多样性和灵活性，我们应熟练掌握各种方法。以下就是几种方法的简单介绍，并且又提出了一种新的方法：雅可比方法。我们在解决二次型问题时可对它们灵活应用。二、 二次型及其矩阵表示 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 . （1）为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度，作转轴（反时针方向转轴） （2）把方程（1）化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。 （1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本的性质。 设P是一数域，一个系数在数域P上的的二次齐次多项式称为数域P上的一个n元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。 设；是两组文字，系数在数域P中的一组关系式 （4）称为由到的一个线性替换，。如果，那么线性替换（4）就称为非退化的。 在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另，i1），不是一般性，设。令它是非退化线性替换，且使= = =这时上式右端是的二次型，且的系数不为0，属于第一种情况，定理成立。3）由于对称性，有这时是n-1元二次型。根据归纳假设，它能用非退化线性替换变成平方和。 这样就完成了定理得证明。说明：虽然配方法是基础方法，但在应用化简二次型时比较麻烦。配方法需要通过观察来配方，对初学者来讲，具有一定的盲目性。四、化二次型为标准形方法之二：合同变换法（初等变换法）由上述配方法即得：定理 在数域P上，任意一个对称矩阵都合同于以对角矩阵。即对于任意一个对称矩阵A，都可以找到一个可逆矩阵C使成对角形。也即任意对称矩阵都可用同样类型的初等行变换和初等列变换化成与之合同的对角矩阵。典型例题：用合同变换法化二次型为标准型，并写出非退化的线性替换。解：的矩阵为A= 以下为合同变换过程： 因此D=，C=令X=CY，得=五、 化二次型为标准形方法之三：正交变换法（实二次型）利用欧式空间的理论，我们得到这样的结论：对于任意一个n级是对称矩阵A，都存在一个n级是正交矩阵T，使 成对角形。定理 任意一个实二次型 （=）都可经过正交的线性替换变成平方和=其中平方项系数就使矩阵A的特征多形式全部的根。 因此只要求出特征根，二次型标准形也就求出来了。正交变换更具实用性。如：典型例题：作直角变换，把下述二次曲面方程化成标准方程，并指出它是什么二次曲面？解：此方程左端的二项式部分为： =下把它正交替换成标准型：它的矩阵A=（）（）（）A的全部特征值是2，5，-1对于特征值2，求出（2E-A）X=0的一个基础解系：把单位化，得对于特征值5，求出（5E-A）X=0的一个基础解系：把单位化，得对于特征值-1，求出（-E-A）X=0的一个基础解系：把单位化，得令T=，则T是正交矩阵，且令，则=所以原二次型在新的直角坐标系中的方程为：=1由此看出，这是单叶双曲面。六、化二次型为标准形方法之四：雅可比方法（一）相关定义1、 双线性函数定义V是数域P上一个线性空间，f(,)是V上一个二元函数，即对V中任意两个向量、，根据f都唯一地对应于P中一个数f(,)。如果f(,)有下列性质：1） f(,+)=2） 其中是V中任意向量，是P中任意数，则称f(,)为V上的一个双线性函数。 例如：欧式空间V的内积是V上双线性函数。2、 对成双线性函数的定义 f(,) 线性空间V上的一个双线性函数，如果对V中任意两个向量,都有f（，）=f(,),则称f(,)为对称双线性函数。3、 度量矩阵定义 设f(,)是数域P上n维线性空间V上的一个双线性函数。是V的一组基，则矩阵叫做f(,)在下的度量矩阵。 结论：双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵。（二）化二次型为标准型的雅可比方法 设V是数域P上一个n维线性空间，取定V的一组基，令=,=，x=,y=,那么给定一个F上的n元二次型（其中A是n阶对称矩阵），则由A可以定义一个V上对称双线性函数f(,)= ，其中。反之亦然。在固定的基下，二次型和对称双线性函数f(,)=是互相唯一确定的（都是由A确定的）。 这种方法的中心问题是：对在V的基下游二次型确定的对称双线性函数f(,)=，满足条件=0，对ij(i,j=1,2,n) 我们知道，设是V的另一组基，而B=是f(,)关于这个基的矩阵，又设C=是由基到基的过渡矩阵，即=，i=1,n那么 B=， (1)即一个双线性函数关于V的两个基的两个矩阵式合同的。 由于任一对称矩阵必能合同于对角矩阵。设可逆矩阵C使成对角阵，B=, (2)再设C是基到基的过渡矩阵，由（1）式知，f(,)关于基的矩阵是对角矩阵（2）式，即=0，对ij(i,j=1,2,n)这表明，对于每一个对称双线性函数f(,)，都存在一个适当的基，使它可以写成如下形式f(,)=,其中，从而它所确定的二次型可以写成标准形=且二次型化为所作的非退化线性替换为x=Cz，其中C是由基到基的过渡矩阵，它使=B。于是，化二次型为标准形的问题就可以归结为上述关于对称双线性函数的“中心问题”，为此，需要寻找满足条件（2）得V的一个基。 在中，从一个基出发，利用施密特正交化方法，可以构造一个与之等价的正交基。该方法的实质就是设然后用待定系数法求使得=0（其中 ij，i,j=1,2,n）的系数。为此我们先解决下问题：1）设V是数域P上一个n维线性空间，f(,)=使V上对称双线性函数，其中是V的一组基，=,=，x=,y=,A是n阶对称矩阵，那么从基出发，是否能构造如下形式的基：使得 =0，对ij(i,j=1,2,n) 解：将代入得=，所以，若对任意的i及ji有=0，则对ji，有=0，即是所求的基。于是，问题归结为求待定系数使向量 （3）满足条件 =0，j=1,2,i-1 （4）显然，若满足=0，则的数量倍也满足=0，故为了确定，我们再要求满足条件=1。 （5） 这样，可以利用条件（4）（5）唯一确定了，将（3）式代入（4)和（5），得到关于的线性方程组 （6）这方程组的系数行列式为。因此，当0时，方程组（6）由唯一解，从而可求得向量。于是，当A=的顺序主子式=，=，=都不等于0时，可以由方程组（6）求出向量，i=1，2，n2）由1）可知，在0，i=1，2，n的情形下，由方程组（6）可求出上三角矩阵C=,从而由（3）式求得，i=1，2，n，它们满足=0，对ij，i,j=1,2,n使得双线性函数f(,)关于基的矩阵为B=,是对角矩阵，由此可见，二次型可经非退化线性替换x=Cz，化成标准形=其中x=,z=.下面计算=i=1，2，n，由（3）（4）（5）可得 =再由克拉默法则，由方程组（6）可解得=（其中令=1）。因此，=，i=1，2，n综上所述，我们可得以下结论：设二次型（其中=）中，顺序主子式，, 都不等于零，则该二次型必可化为下面的标准形：其中=1。这个化二次型为标准形的方法称为雅可比方法。典型例题：用雅可比方法化二次型为标准型，并写出非退化的线性替换。=解：由于矩阵A=,它的顺序主子式=2，=，=都不等于零，故可用雅可比方法。 设，双线性函数f(,)关于基，的矩阵为A,则A=设系数可由条件=1求出，即=2=1故=，故有=系数可由方程组求出，得，故=系数可由方程组求出，得，故由此可得，由基，到的过渡矩阵为C=因此经线性替换X=CZ化成标准型=（三）雅可比方法在判定二次型的正定性问题上的应用1）实二次型=是正定的充要条件是：矩阵A的顺序主子式，, 全大于零；2）实二次型=是负定的充要条件是：证：1）必要性显然成立，下正充分性。由于矩阵A的顺序主子式全大于零，故该二次型必可化为 由于0（i=1,2,.,n），故该二次型的正惯性指数等于n,所以它是正定的。2）证明与1)类似，只是因故0（i=1,2,.,n）所以该二次型的负惯性指数等于n,是负定的。七、小结 化二次型为标准形的方法最基本的就是上述这些方法，当然还有其他许多比较灵活的方法来解决特殊的二次型问题，这里就不一一详述。本科阶段只需熟练掌握并灵活应用上述方法，综合代数和几何知识灵活解决问题。对于初学者来说，配方法是最基础的方法，它的原理很容易被学生消化吸收，因此，这种方法需要熟练掌握，灵活应用。配方法是推导二次型重要理论的基础，要熟悉它的推导过程。对于简单的二次型也可以灵活使用合同变换法，有时候这种方法更具简便性，节约计算量和计算时间。正交变换法由于具有保持几何形状不变的优点而备受青睐。在用正交变换法化二次型为标准型中,如何求正交矩阵是一个难点,常见的求法只有一种,求解过程大致如下:先用二次型矩阵A的特征方程求出A的n个特征值,然后通过直接求矩阵方程的基础解系,得到对应于征值的线性无关的特征向量,再用施密特正交化过程将它们正交化、单位化,进而得到n个两两正交的单位特征向量,最后由这n个两两正交的单位特征向量构成正交矩阵,即得所要求的正交变换和对应的标准型。这种方法综合性比较强,算比较复杂。雅可比方法是一种新的方法，它的过程与施密特正交化过程类似，思想上也