几何中的最值问题

0 几何中的最值问题 讲义 几何中的最值问题 讲义 一 知识点睛一 知识点睛 几何中最值问题包括 几何中最值问题包括 面积最值面积最值 及及 线段 和 差 最值线段 和 差 最值 求面积的最值 需要将面积表达成函数 借助函数性质结合取值范围求解 求线段及线段和 差的最值 需要借助 垂线段最短 两点之间线段最短 及 三角 形三边关系 等相关定理转化处理 一般处理方法 一般处理方法 常用定理 常用定理 两点之间 线段最短 已知两个定点时 垂线段最短 已知一个定点 一条定直线时 三角形三边关系 已知两边长固定或其和 差固定时 l B B A P l B A B P 二 精讲精练二 精讲精练 1 如图 圆柱形玻璃杯 高为 12cm 底面周长为 18cm 在杯内离杯底 4cm 的点C处有一 滴蜂蜜 此时一只蚂蚁正好在杯外壁 离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点A处 则蚂蚁到 达蜂蜜的最短距离为 cm 线段和 周长 最小 转化 构造三角形 两点之间 线段最 短 垂线段最短 PA PB 最小 需转化 使点在线异侧 PA PB 最大 需转化 使点在线同 侧 线段差最大线段最大 小 值 三角形三边关系定理 三点共线时取得最值 平移 对称 旋转 使点在线异侧 如下图 使点在线同侧 如下图 使目标线段与定长 线段构成三角形 平移 对称 旋转 1 蜂蜜 蚂蚁A C N M O P B A 第 1 题图 第 2 题图 2 如图 点P是 AOB内一定点 点M N分别在边OA OB上运动 若 AOB 45 OP 3 则 PMN周长的最小值为 2 3 如图 正方形ABCD的边长是 4 DAC的平分线交DC于点E 若点P Q分别是AD和 AE上的动点 则DQ PQ的最小值为 Q P E D C B A Q P K D CB A 第 3 题图 第 4 题图 4 如图 在菱形ABCD中 AB 2 A 120 点P Q K分别为线段BC CD BD上的任 意一点 则PK QK的最小值为 5 如图 当四边形PABN的周长最小时 a N a 2 0 P a 0 B 4 1 A 1 3 O y x F D CB Ax y O E 第 5 题图 第 6 题图 2 6 在平面直角坐标系中 矩形OACB的顶点O在坐标原点 顶点A B分别在x轴 y轴 的正半轴上 OA 3 OB 4 D为边OB的中点 若E F为边OA上的两个动点 且 EF 2 当四边形CDEF的周长最小时 则点F的坐标为 7 如图 两点A B在直线MN外的同侧 A到MN的距离AC 8 B到MN的距离 BD 5 CD 4 P在直线MN上运动 则的最大值等于 PAPB A B CDPMN x O A B y 第 7 题图 第 8 题图 8 点A B均在由面积为 1 的相同小矩形组成的网格的格点上 建立平面直角坐标系如图 所示 若P是x轴上使得的值最大的点 Q是y轴上使得QA QB的值最小PAPB 的点 则 OP OQ 9 如图 在 ABC中 AB 6 AC 8 BC 10 P为边BC上一动点 PE AB于E PF AC 于F M为EF中点 则AM的最小值为 A BC E F P M AB C D P 第 9 题图 第 10 题图 10 如图 已知AB 10 P是线段AB上任意一点 在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边 APC和等边 BPD 则CD长度的最小值为 11 如图 点P在第一象限 ABP是边长为 2 的等边三角形 当点A在x轴的正半轴上 运动时 点B随之在y轴的正半轴上运动 运动过程中 点P到原点的最大距离是 若将 ABP中边PA的长度改为 另两边长度不变 则点P到原点的最22 大距离变为 3 A B O P x y AD CB P Q A 第 11 题图 第 12 题图 12 动手操作 在矩形纸片ABCD中 AB 3 AD 5 如图所示 折叠纸片 使点A落在BC边 上的A 处 折痕为PQ 当点A 在BC边上移动时 折痕的端点P Q也随之移 动 若限定点P Q分别在AB AD边上移动 则点A 在BC边上可移动的最大距离为 13 如图 直角梯形纸片ABCD AD AB AB 8 AD CD 4 点E F分别在线段AB AD上 将 AEF沿EF翻折 点A的落点记为P 1 当P落在线段CD上时 PD的取值范围为 2 当P落在直角梯形ABCD内部时 PD的最小值等于 P F E DC BA AB CD E F P 14 在 ABC中 BAC 120 AB AC 4 M N两点分别是边AB AC上的动点 将 AMN 沿MN翻折 A点的对应点为A 连接BA 则BA 的最小值是 AB CD 4 A N M CB A 几何中的最值问题 作业 几何中的最值问题 作业 1 如图 在梯形ABCD中 AB CD BAD 90 AB 6 对角线AC平分 BAD 点E在AB 上 且AE 2 AE AD 点P是AC上的动点 则PE PB的最小值是 P E DC BA C D Q P B A 第 1 题图 第 2 题图 2 在边长为 2cm 的正方形ABCD中 点Q为BC边的中点 点P为对角线AC上一动点 连 接PB PQ 则 PBQ周长的最小值为 cm 结果不取近似值 3 如图 一副三角板拼在一起 O为AD的中点 AB a 将 ABO沿BO对折于 A BO 点M为BC上一动点 则A M的最小值为 60 A 45 M O C D B A N M A B D C 第 3 题图 第 4 题图 4 如图 在锐角 ABC中 BAC 45 BAC的平分线交BC于点D 点 4 2AB M N分别是AD和AB上的动点 则BM MN的最小值为 5 在 Rt ACB中 ACB 90 AC 6 BC 8 P Q两点分别是边AC BC上的动点 将 PCQ沿PQ翻折 C点的对应点为 连接A 则A的最小值是 C C C 5 C C Q P B A A y x O C B 第 5 题图 第 6 题图 6 如图 在 ABC 中 ACB 90 AC 4 BC 2 点 A C 分别在 x 轴 y 轴上 当点 A 在 x 轴上运动时 点 C 随之在 y 轴上运动 在运动过程中 点 B 到原点的最大距离是 7 一次函数y1 kx 2 与反比例函数y2 m 0 的图象交于A B两点 其中点A的坐标 m x 为 6 2 1 求m k的值 2 点P为y轴上的一个动点 当点P在什么位置时 PA PB 的值最大 并求出最大值 y x O B A 8 已知点A 3 4 点B为直线x 1上的动点 设B 1 y 1 如图 1 若点C x 0 且 1 x 3 BC AC 求y与x之间的函数关系式 2 如图 2 当点B的坐标为 1 1 时 在x轴上另取两点E F 且EF 1 线段EF 在x轴上平移 线段EF平移至何处时 四边形ABEF的周长最小 求出此时点E的坐 标 6 x y O C B D A x 1 B 1 1 DO EF A y x x 1 图1 图2 9 如图 已知平面直角坐标系中A B两点的坐标分别为A 2 3 B 4 1 1 若P p 0 是x轴上的一个动点 则当p 时 PAB的周长最短 2 若C a 0 D a 3 0 是x轴上的两个动点 则当a 时 四边形 ABDC的周长最短 3 设M N分别为x轴和y轴上的动点 请问 是否存在这样的点M m 0 N 0 n 使四边形ABMN的周长最短 若存在 请写出m和n的值 若不存在 请说 明理由 7 B A O x y 3 B A O x y 2 1 y x O A B 中考数学几何中的最值问题综合测试卷中考数学几何中的最值问题综合测试卷 一 单选题一 单选题 共共 7 7 道 每道道 每道 1010 分分 1 如图 圆柱形玻璃杯 高为 12cm 底面周长为 18cm 在杯内离杯底 5cm 的点 C 处有一滴蜂蜜 此 时一只蚂蚁正好在杯外壁 离杯上沿 5cm 与蜂蜜相对的点 A 处 则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离 为 cm A B 15 C D 12 2 如图 在矩形 ABCD 中 AB 2 AD 4 E 为 CD 边的中点 P 为 BC 边上的任一点 那么 AP EP 的 最小值为 A 3 B 4 C 5 D 6 8 3 如图 在锐角 ABC 中 AB 6 BAC 60 BAC 的平分线交 BC 于点 D 点 M N 分别是 AD 和AB 上的动点 则 BM MN 的最小值为 A B C 6 D 3 4 如图 当四边形 PABN 的周长最小时 a A B C D 5 如图所示 已知 A y1 B 2 y2 为反比例函数 y 图象上的两点 动点 P x 0 在 x 轴 正半轴上运动 当线段 AP 与线段 BP 之差达到最大时 点 P 的坐标是