二次型的性质及应用.doc

唐山师范学院本科毕业论文题 目 二次型的正定性及其应用 学 生 王倩柳 指导教师 张王军 讲师年 级 2012级数学专接本专 业 数学与应用数学系 别 数学与信息科学系唐山师范学院数学与信息科学系2014 年5月郑重声明 本人的毕业论文（设计）是在指导教师张王军的指导下独立撰写完成的。如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督。特此郑重声明。毕业论文（设计）作者（签名）： 2014 年 月 日目 录摘 要(1)前言(1)1 二次型的历史及概念(2）1.1二次型的历史（2）1.1 二次型的矩阵形式(2)1.2 正定二次型与正定矩阵的概念(3)2 二次型的正定性判别方法及其性质(3)3 二次型的应用(6)3.1 多元函数极值(6)3.2 证明不等式 (12) 3.3 因式分解(12)3.4 二次曲线(13)结论(14)参考文献(14)致谢(15)14 二次型的正定性及其应用 学生：王倩柳指导老师：张王军摘 要：二次型是高等代数中的主要内容之一, 其理论的应用非常广泛。在中学数学的不等式的证明、求极值及因式分解等问题中, 用初等数学方法处理会相当麻烦, 而如果利用高等代数中二次型的性质去解决, 就会使很多问题化繁为简, 由难转易。因此, 讨论二次型理论在证明不等式、多项式的因式分解、求极值、计算椭圆面积、判断二次曲线的形状等实际例题中的应用, 是很有意义的。关键词：二次型；矩阵；正定性；应用The second type of positive definite matrix and its applications Student: Wang qianliu Instructor: Zhang wangjunAbstract: Quadratic and its matrix is exactly corresponding relation, Quadratic form is one of its main content in Higher Algebra, Quadratic form theory is widely used in the middle school mathematics-the proof of inequality, extremum and the factorization problem, It is too cumbersome often using elementary mathematics method, but if solve them using of advanced algebra quadratic form properties, will make a lot of problems change numerous for brief, from difficult to easy. For our students, more should learn to use the knowledge of higher mathematics to guide or understanding of elementary mathematics knowledge content, a deeper understanding of the essence of higher algebra. This paper will discuss quadratic form theory to prove inequality, polynomial factorization, calculation of elliptical area, judge two the shape of the curve and actual examples of application.Quadratic and its matrix is exactly corresponding relation,Quadratic and its matrix is exactly corresponding relation,Key words: Quadratic; Quadratic matrix; Qualitative; Application 前言 二次型是高等代数中的主要内容之一, 其理论的应用非常广泛。在中学数学的不等式的证明、求极值及因式分解等问题中, 用初等数学方法处理会相当麻烦, 而如果利用高等代数中二次型的性质去解决, 就会使很多问题化繁为简, 由难转易。因此, 讨论二次型理论在证明不等式、多项式的因式分解、求极值、计算椭圆面积、判断二次曲线的形状等实际例题中的应用, 是很有意义的。其中实二次型中的正定二次型占用特殊的位置. 二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别，因此，对正定矩阵的讨论有重要的意义.1 二次型的历史及概念1.1二次型的历史 二次型的系统是从18世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论，将二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状，这个问题是在18世纪引进的。柯西在其著作中给出结论：当方程式标准型时，二次曲面用二次型的符号来进行分类。然而，那并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项。西尔维斯特回答了这个问题，他给出了n个变数的二次型的惯性定律，但没有证明。这个定律后被雅克比重新发现和证明。1801年，高斯在算数研究中引进了二次型的正定，负定，半正定和半负定等术语。二次型化简的进一步研究设计二次型或行列式的特征方程的概念。特征方程的概念隐含地出现在欧拉的著作中，拉格朗日在其关于线性微分方程组的著作中首先明确地给出了这个概念。而三个变数的二次型的特征值的实性则由阿歇特、蒙日和泊松建立的。二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中，有很大的实际使用价值。它不仅在数学的许多分支中用到，而且在物理学中也会经常用到，其中实二次型中的正定二次型占用特殊的位置. 二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别，并将其实现应用价值.1.2 二次型的矩阵形式 定义1.1 设P是一个数域，p,n个文字, 的二次齐次多项式 其中称为数域p上的一个n元二次型，简称二次型.当为实数时，f称为实二次型.当 为复数时,称 f为复二次型.如果二次型中只含有文字的平方项，即=称f为标准型. 二次型可唯一表示成=，其中，为对称矩阵，称上式为二次型的矩阵形式，称A为二次型的矩阵（必是对称矩阵），称A的秩为二次型f的秩.1.3 正定二次型与正定矩阵的概念 定义1.2 设=是n元实二次型（A为实对称矩阵），如果对任意不全为零的实数都有，则称f为正定二次型,称A为正定矩阵；如果，则称f为半正定二次型，称A为半正定矩阵;如果，则称f为负定二次型，称A为负定矩阵;如果，称f 为半负定二次型，称A为半负定矩阵；既不是正定又不是负定的实二次型称为不定的二次型，称A为不定矩阵. 定义1.2 另一种定义 具有对称矩阵的二次型(1) 如果对任何非零向量, 都有 （或）成立，则称为正定（负定）二次型，矩阵称为正定矩阵（负定矩阵）.(2) 如果对任何非零向量, 都有 （或）成立，且有非零向量，使，则称为半正定（半负定）二次型，矩阵称为半正定矩阵（半负定矩阵）. 注:二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的.二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.2 二次型的正定性的判别方法及其性质定理2.1实二次型=为正定的充要条件为（若是负定矩阵，则为正定矩阵）：1） 矩阵A的各阶顺序主子式都大于零；2） 矩阵A与单位矩阵合同；3） A的全部特征值是正的。4） n 级实对称矩阵A 是正定的充分必要条件是, 存在n 级实可逆矩阵C,使A = CC .定理2.2实二次型=为半正定（半负定）的充要条件为：1） 的所有主子式大于（小于）或等于零；2） 的全部特征值大于（小于）或等于零.3） A与矩阵合同，这里r是矩阵A的秩4） n 级实对称矩阵A 是半正定的充分必要条件是, 存在n 级实矩阵C使A = CC （A = CC ）.推论2.1 若为正定矩阵,则.定理2.2 秩为的元实二次型, 设其规范形为则：(1)负定的充分必要条件是且(即负定二次型,其规范形为)(2)半正定的充分必要条件是(即半正定二次型的规范形为)(3)半负定的充分必要条件是 (即)(4)不定的充分必要条件是 (即) 定义2.1 阶矩阵的个行标和列标相同的子式 称为的一个阶主子式.而子式 称为的阶顺序主子式.定理2.3证明阶矩阵为正定矩阵的充分必要条件是的所有顺序主子式 . 例2.1 设A B分别是m级、n级正定矩阵，证明 正定矩阵。证明： 法1 设为m+n维向量，其中x，y分别是m维和n维列向量. 当z不=0时，x，y不同时为零向量，于是故C为正定矩阵。 法2 设A的各阶顺序主子式为 而B的顺序主子式为。由A,B正定知，由于C的各阶顺序主子式（i=1，2，.,m+n）满足故C为正定矩阵。 例 2.2 考虑二次型,问为何值时，f为正定二次型.解:利用顺序主子式来判别,二次型f的矩阵为，A的顺序主子式为 ； ；. 于是，二次型f正定的充要条件是：，有，可知，；由 , 可得, 所以，当时,f正定. 例2.3 设是n级正定矩阵，是n级实反对称矩阵，证明为正定矩阵。分析：只要证明的特征值全大于零即可证明:由正定知是实对称矩阵，,.从而， 即也是实对称矩阵. 对任意有， 即，的特征值全大于零，故，为正定矩阵.（注： 正定矩阵必须是实对称矩阵，因此在论证之前应注意A是否为实对称矩阵，若不是实对称矩阵，根本谈不上正定性）3 二次型的应用3.1 多元函数极值 在实际问题中经常要遇到求三元以上函数的极值问题，对此可由二次型的正定性加以解决 定义3.1.1 设元函数在的某个邻域内有一阶、二阶连续偏导数.记, 称为函数在点处的梯度. 定义3.1.2 满足的点称为函数的驻点. 定义3.1.3 称为函数在点处的黑塞矩阵.显然是由的个二阶偏导数构成的阶实对称矩阵. 定理3.1.1 (极值存在的必要条件) 设函数在点处存在一阶偏导数，且为该函数的极值点，则. 定理3.1.2 (极值的充分条件) 设函数在点的某个邻域内具有一阶、二阶连续偏导数，且则:(1) 当为正定矩阵时，为的极小值; (2) 当为负定矩阵时，为的极大值; (3) 当为不定矩阵时，不是的极值.应注意的问题： 利用二次型的正定性来判断多元函数的极值虽然是一个很好的方法,但也有一定的局限性,因为充分条件对正定和负定的要求是很严格的,若条件不满足,那结论就不一定成立. 例3.1.1 求三元函数的极值.解:先求驻点，由 得所以驻点为.再求(Hessian)黑塞矩阵因为,所以，可知是正定的，所以在点取得极小值：.当然，此题也可用初等方法求得极小值，结果一样. 定理3.1.3 设n元实函数在点P0的一个邻域中连续，且有足够高阶的连续偏导数，则函数在点P0近旁有性质：1）若正定，则P0为极小点；2）若负定，则P0为极大点；3）若不定，则P0非极大点或极小点；4）其余情形时，在点P0性质有待研究余项R的性质来确定.特别当是二次函数时，R=0，只要半正（负）定，则P0为极小（大）点. 例3.1.2 求函数的极值.解：解方程组，易得，于是，经计算得 正定； 负定；不定.故在点，点，Z不取极值；在点，Z取极小值，；在点，Z取极大值，. 下面利用二次型的矩阵的特征值求多元函数的最值.设元二次型 ，则在条件下的最大（小）值恰为矩阵的最大（小）特征值. 例3.1.3 求函数在的最小值. 解：先对二次型将其化为标准形式,然后在条件下讨论函数的最小值.该二次型的实对称矩阵为，它的特征多项式.对于特征值，求得两个线性无关的特征向量；再用正交化方法，得两个单位正交的特征向量取正交矩阵 则有.对二次型做正交变换，得 相应地，条件化为. 于是原题意化为对式的三元二次其次函数在满足条件时求其最小值.此时，显然有又当时，所以满足条件的最小值，而且它仅在和处取得最小值.回到变元，则在和处取得最小值. 最后再介绍一个有用的定理： 定理3.1.3 设A为n阶正定矩阵与实向量，为实数，则实函数当时取得最小值.证明:，由A正定，存在（对称）而，其中，正定，故，所以取得最小值. 例3.1.4 已知实数满足，求 的最大值和最小值. 解的矩阵，。因此，特征值于是得在下的最大值是 最小值是 。 3.2 证明不等式其证明思路是: 首先构造二次型, 然后利用二次型半正定性的定义或等价条件, 判断该二次型（矩阵）为半正定, 从而得到不等式.例3.2.1（不等式）设为任意实数, 则.证明 记因为对于任意, 都有, 故关于的二次型是半正定的.因而定理1知, 该二次型矩阵的行列式大于或等于0, 即. 故得.例3.2.2 证明 证明 记, 其中将矩阵的第2,3,列分别加到第一列,再将第2,3, 行减去第1行,得, 于是的特征值为0, 由定理可知, 为半正定矩阵, 即二次型是半正定的, 从而得, 即结论得证.例3.2.3 设是一个三角形的三个内角, 证明对任意实数,都有.证明 记，其中对做初等行变换得: , 于是的特征值为0, 1, , 从而得二次型是半正定的, 即对于任意实数, 得证.例3.2.4 设为阶半正定矩阵, 且, 证明.证明 设的全部特征值为, 则的全部特征值为. 因为为实对称矩阵, 所以存在正交矩阵, 使得 由于为半正定矩阵, 且, 则是半正定的, 且其中至少有一个, 同时至少有一个等于零. 故, 结论得证. 以上是根据不等式的要求证明该二次型为半正定二次型, 从而证明不等式. 使用这种方法简单, 方便.3.3 因式分解定理 一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式乘积的充分必要条件是: 它的秩为2和符号差为0, 或秩等于1. 例3.3.1 多因式在上能否分解, 若能, 将其分解. 解 考虑二次型, 则的矩阵为,对施行合同变换, 求得可逆矩阵, 且.显然, 的秩为2且符号差为0, 由定理2.6知, 可以分解.经非退化线性替换, 化为. 由, 得, . 于是.故.例3.3.2 多项式在上能否分解? 如果能,将其分解解 考虑二次型, 其矩阵为则秩, 所以能在上分解, 则也能在上分解. 易得.3.4 二次曲线事实上，化简二次曲线并判断曲线的类型所用的坐标变换就是二次型中的非退化线性替换，因此可以利用二次型判断二次曲线的形状.例3.5.1 判断二次曲线的形状.解：设，令，则.对实施非退化线性替换：,即则，从而.即，故曲线表示椭圆. .结论 二次型的研究起源于解析几何中二次曲线和二次曲面的理论，二次型的理论在数学和物理的许多分支都有着广泛的应用。用二次型来解决初等数学、微积分中的一些问题，有时会起到意想不到的效果。本文通过研究二次型的性质，借助例子说明二次型在求多元函数的的极值、最值、证明不等式、及判断二次曲线的形状等方面的应用。将多元元函数求极值问题化为一个二次型问