前四章复习课.doc

第一章 集合论 一 基本概念1 集合的分类：按照元素个数的多少，分为有限集和无限集。有限集合：由有限多个元素组成的集合无限集合：由无限多个元素组成的集合无限集又分为可数集与不可数集。2 集合的基数（或势）：集合的元素的个数3两个集合同势（或对等）：设A、B是两个非空集合，如果存在A到B的一个一一对应，则称集合A与B对等或同势。4 可数集合：和正整数集对等的集合不可数集合：不和正整数集对等的集合（或不是可数集的无限集合）5连续统的基数：集合（0，1）的基数 集合（0，1）的基数比正整数集的基数大6 阿列夫与阿列夫零：正整数集的基数记为集合（0，1）的基数记为7 代数数：若一个实数或复数是某一个整系数方程的根，称这个数为代数数超越数：不是代数数的实数。例如：e，8 罗素的理发师悖论二 基本定理（是什么、会证明）P26-30 定理15定理1：任何无限集合都至少包含一个可数子集。定理2：可数集合的任何无限子集必为可数集合，从而可数集的任何子集或者是有限集或者是可数集。定理3： 可数集与可数集的并集还是可数集；可数集与有限集的并集还是可数集定理4：全体有理数组成的集合是可数集定理5：（0，1）内全体实数的基数比的基数大三 典型例题书P2125 例1例8课后习题：P4142 2，3，4，5，6，7书P41 2 有人说：“我在说谎”，他是否属于所有说谎人所组成的集合？请分析说明。解：设此人为元素a，设所有说谎人组成的集合为A。1）若，则此人说的句句为谎话。他现在说“我在说谎”，则这句话也是谎话，即他没有说谎，则。矛盾。2）若，则此人说的句句为真话。他现在说“我在说谎”，则这句话也是真话，即他说谎了，则。矛盾。综上，这是一个“谎话悖论”。3作出下列集合的一一对应（1）（1，1）到(，)：（2）正整数集到整数集Z：（3）（0，1）到（a,b）： （4）（0，1）到实数集(，)：书P42 6 求集合的所有子集的元素和的和解：集合的所有子集的个数为个，集合的所有子集的个数为个，故含有元素1的集合的个数为个同理，含有元素2，3，100的集合的个数都为个则集合M的所有的子集的元素的和的和为：（123100）5050书P42 7 证明：由直线上互不相交的开区间作为集合A的元素，则A为至多可数集证明：直线上每一个开区间至少包含一个有理数，不妨在每一个开区间内取一个有理数，因为这些开区间互不相交，则从这些开区间内取出的有理数也各不相同。设这些有理数构成的集合为B，则B为有理数集的一个子集。集合A与B建立了一一对应。因为有理数集是可数集，根据P27定理2，可数集的任何子集或者是有限集或者为可数集，则B为至多可数集，则A也为至多可数集。第二章 非欧几何一 基本概念1欧几里德著的几何原本由最初的23个定义、5条公设和5条公理出发，推出了286个命题，建立了一个严密的几何学的公理体系。2 欧氏几何第五公设：若同一平面内一条直线与另外两条直线相交，当有一侧的两个同侧内角的和小于两直角和时，则这两条直线就在这一侧相交。3 欧氏几何于公元前3世纪由古希腊数学家欧几里德创立、罗氏几何于1826年2月23日由俄国数学界罗巴切夫斯基创立、黎曼几何于1854年由德国数学家黎曼创立。4 关于几何论证的方法，欧几里德提出了分析法、综合法和归谬法（或反证法）5几何学的研究对象：一是基本对象（即元素）；二是基本关系（即元素之间的关系）。6公理系统：几何的若干基本概念（基本对象和基本关系）和若干公理的集合。（可用来表示）7 几何公理法的基本思想：在公理系统的基础上，每个概念都必须给出定义，每个命题都必须给出证明。8公理系统的三项基本要求：相容性、独立性和完备性。（各自的定义、要求）9 1）公理系统是相容的：若由公理系统不可能推导出两个相互矛盾的命题。2)证明公理系统相容性的方法：构造模型的方法3）公理系统是独立的：即公理系统的任一条公理都不能由其余公理推导出。4）独立性要求：在保留同样多的推论或命题的前提下，公理系统所含的公理的个数要最少。5）公理系统是完备的：若公理系统的所有模型都同构。6）两个模型是同构的：若公理系统的两个模型、的对象之间可以建立一一对应，使得对应的对象之间有同样的关系，称公理系统的两个模型是同构的。7）完备性要求：确保从公理系统能够推导出所论数学分支的全部命题，使得建立几何命题时能够纯粹按逻辑的推理进行，而无需再用到直觉。10 任何一个公里系统必须是相容的，但未必是独立的和完备的。11希尔伯特的几何公理化系统（书P63 图表） 基本元素：点、直线、平面；基本关系：结合关系（点与直线的结合，点与平面的结合） 顺序关系（一点在另外两点之间） 合同关系（两线段合同，两角合同）基本公理：结合公理 8条；顺序公理 4条；合同公理 5条；平行公理1条，连续公理2条。（详见书P6368）13罗氏几何中的离散直线：在同一平面内，既不相交又不平行的直线。14 三种几何的异同。1 )相同点：这三种几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。都满足前面23个定义，5条公理，前4条公设。2） 不同点（1）第五公设和或平行公理不同。欧氏几何第五公设：平面内过已知直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线不相交；罗氏几何第五公设：平面内过已知直线外一点，存在无数条直线与已知直线不相交。黎曼几何第五公设：平面内过已知直线外一点，不存在任何一条直线与已知直线不相交。即任何两条直线都相交。欧氏几何平行公理：平面内过已知直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行。罗氏几何平行公理：平面内过已知直线外一点，存在两条直线与已知直线平行。黎曼几何平行公理：平面内过已知直线外一点，不存在直线与已知直线平行。（即：在同一平面内任何两条直线都相交）（2）各自的公理系统的模型不同欧氏几何的模型是现实世界的三维空间；罗氏几何的模型是克莱因模型，罗氏几何适用于宇宙空间中或原子核世界；黎曼几何适用于在地球表面研究航海、航空等实际问题。2)两直线的关系不同欧氏几何（抛物几何）：两直线平行、相交罗氏几何（双曲几何）：两直线平行、相交、离散黎曼几何（椭圆几何）：两直线相交二 重要证明书P6368：结合公理、顺序公理以合同公理的证明第三章 拓朴学一 基本概念1 拓扑空间设X是一个非空集合，是X的一个子集族，如果它满足：1）X和都属于 2) 中任意多个集合的并集仍然属于 3）中有限多个集合的交集仍然属于则称为X上的一个拓扑，中集合称为开集，X连同其上的拓扑一起称为拓扑空间：记为（X，）例：设X，写出X上所有的拓扑：例：X，在X上可以赋予29种不同的拓扑。2 平凡拓扑、平凡拓扑空间；离散拓扑、离散拓扑空间设X为任一集合X上的平凡拓扑：。（X，）称为平凡拓扑空间。X 上的离散拓扑（即X的全体子集）。（X，）称为离散拓扑空间。3 闭集1) 定义：设A是拓扑空间X的子集，如果A的余集是X的开集，则称A为闭集。2) 性质：X和都是闭集；任意多个闭集的交是闭集；任意有限多个闭集的并是闭集4 邻域1）定义：设X是拓扑空间，N是X的子集，如果存在开集U，使得，则称N为的邻域。5 连续映射对于拓扑空间X 和Y及映射，如果对于的任意邻域N，都存在的邻域M，使得，则称在点连续。如果在X的每一点都连续，则称是X到Y的连续映射，简称连续。6 映射、满射、单射、双射1）映射：设设f是集合A到集合B的一个对应法则，使得对A种任一元，都存在B中唯一的元，使得。2） 满射：设f是A到B的一个映射，若对B中的任一元，都存在A中的元，使（即每个象都有原象）。3）单射：设f是A到B的一个映射，对A中任意两个不同的元，都有（即不同的原象对应于不同的象）。4）双射（一一对应、一一映射）:既是满射，又是单射。7 拓扑变换（或同胚）设X和Y是拓扑空间，是映射。如果f是双射，且f是连续映射，其逆映射也是连续映射，则称f为拓扑空间X到Y的拓扑变换（或同胚）。此时称拓扑空间X和Y同胚，记为。8 拓扑空间的连通性、不连通性拓扑空间X是连通的：如果它不能表示成两个不相交的非空开集的并集，拓扑空间是不连通的：如果它能表示成两个不相交的非空开集的并 二 重要的定理、结论1欧拉公式定理1：任意简单多面体的顶点数V、面数F和棱数E之间满足 V+F-E=2补充：书P102 第二段第三行：欧拉公式也适用于连通的平面图补充后的定理1：任意简单多面体以及连通的平面图的顶点数V、面数F和棱数E之间满足 V+F-E=22欧拉公式的推广定理2：球面上一个连通的图的节点数V、枝数E以及它分割球面所成的面块数F满足V+F-E=2定理3：环面上一个连通图若分割环面成一些简单面块（没有洞），则节点数E、面块数F和枝数E满足 V+F-E=2 3简单多面体的面数和棱数、顶点数和棱数的关系对于一个简单多面体，若顶点数为v，棱数为E，若各个面都为n边形，每一顶点处有r条棱，则其面数f与棱数e有如下关系：nf2e其顶点数和r和棱数v有如下关系 ： rV2e4 一笔画定理：一个网络图能一笔画的充要条件是它是连通的，且奇顶点的个数为0个或者2个。或者：分析一个连通的能一笔画的网络图的各个顶点的指数。5 定理1一张岛屿地图（或者一张平面地图）可以着两种颜色的充要条件是图中每个陆上顶点(或者非边界的点）的指数都是偶数。6定理2：如果一个球面被划分成若干区域，且每一个顶点的指数都是偶数，那么这些区域可以用两种颜色来着色。7定理3 如一个球面被划分成若干区域，其中每一个区域都有偶数条边界，且每一个顶点处有三个区域相交，那么这张地图可着三种颜色。8定理4：如一个球面被划分为至少5个区域，每一个区域与相邻的区域有公共边界，那么这些区域可以用三种或者更少的颜色来着色。四 重要的例题1欧拉公式的证明（以六面体为例）证明任意简单多面体的顶点数v、面数f和棱数e之间有下列关系即 v+fe2证明：2） 将立体图形投影到底面，成为一个平面图形，此时面数少1，只需证明 顶点面数棱数1即可。即证V+F-E=12 ）对平面图形中每个多边形，如果不是三角形就添上一条（或几条）对角线，将多边形分解成三角形。此时每添一条对角线，面数和棱数增加1，顶点数不变，仍然证V+F-E=13） 观察每个三角形，去掉不和其他三角形公共的边。每去掉一条边，面数和棱数各少1，顶点数不变，仍然证V+F-E=14 ）继续去掉不和其他三角形公共的边以及顶点。如此下去，直到最后只剩下1条边。此时V=2,F0，E=1，V+F-E=1仍然成立。得证。2书P102 例1 有三个工厂，三座矿山，要从每个工厂到每个矿山各修一条专用铁路，能否让所有的铁路互不交叉？解：若9条铁路不在同一地平面上，则可以修三条地面铁路，三条轻轨，三条地铁，使得这9条铁路不交叉。若9条铁路在同一地平面上，若它们互不交叉，则构成一个简单多面体。则满足v+f-e=2。即6f92 得f5又该连通图中不存在三条边围成的面，因此图中每个面至少有4条边。又 nf2e即5n2e 得 又因为 ,故,与e9矛盾。则同一平面上的9条铁路必相交。3证明正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种证明：设正多面体的顶点数为V,面数为F，棱数为E，每个面都有n条边，从每个顶点出发引出r条棱。则由欧拉公式：VFE2 (1)又 nF=2E (2) rV2E (3)由（2）得，由（2）得，代入（3）得 (4)又当时，不可能。故n与r至少有一个取3。1）当n3时， 因，故，又.故r=3,4,5 当n3，r3时，e=6,，正多面体为正四面体当n3，r4时，e=12,，正多面体为正八面体当n3，r5时，e=30,，正多面体为正二十面体2）当r3时， 因，故，又.故n=3,4,5 当r3，n3时已讨论过。当r3 ，n4时，e=12,，正多面体为正六面体。当r，n5时，e=30,，正多面体为正十二面体。综上所述，正多面体只有五种：正四、六、八、十二、二十面体。4 1996年的诺贝尔化学奖授予对发现 有重大贡献的三位科学家。是由60个C原子组成的分子，它的结构为简单多面体，形状象足球。这个多面体有60个顶点，从每个顶点引出3条棱，由32个正五边形和正六边形组成。问：正五边形和正六边形各有多少个？解：设正五边形有x个，则正六边形有(32x)个，设顶点数为v，枝数为e，面数f32，设每个顶点处有r条枝相交。则 rv=2e (1) 得 5x+6(32-x) =2e (2) 得又由欧拉公式的推广定理2得：v+f-e=2 即v+32-e=2 (3）将和代入v+32-e=2中整理得其中，r-20,又0x0 且 132r-38x32(r-2)得 即r=3. 故 12所以正五边形有12个，正六边形有20个。4 分析一个连通的能一笔画的网络图中各顶点的指数（或证明一笔画定理：一个网络图能一笔画的充要条件是它是连通的，且奇顶点的个数为0个或者2个）。解：对于一个顶点，若从该顶点出发画弧，称从该顶点“出”，若沿一条弧回到该顶点，称从该顶点“进”。在某一顶点处相交的弧数为该顶点的指数。1)图形为开放图形（即起点和终点不同）：即一笔画的起点和终点不同。设A是起点，B是终点。则对于起点A来说，一定始于出，止于出，中间可能有若干次出和进。则A的指数一定为奇数。对于终点B来说，一定始于进，止于进，中间可能有若干次出和进，则B的指数一定为奇数.对于其他不是起点和终点的中途顶点，一定是始于进，至于出。中间可能有若干次进和出。则中途顶点的指数一定为偶数。2)图形为封闭图形（即起点和终点相同）：即一笔画的起点和终点相同。设A是起点，A是终点。对于起点A来说，一定始于出，止于进，中间可能有若干次出和进。则A的指数一定为偶数。对于其他不是起点和终点的中途顶点，一定是始于进，至于出。中间可能有若干次进和出。则中途顶点的指数一定为偶数。综上所述，图形为开放图形，则起点和终点都为奇顶点，其他中途点为偶顶点。即奇顶点个数为2。图形为封闭图形，则起点和终点都为偶顶点，其他中途点为偶顶点，即所有的顶点都为偶顶点。奇顶点个数为0。第四章 抽象代数第一节 群一 基本概念1群的第一定义一个不空集合G对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，若1 G对于这个乘法来说是闭的。（即G中任意两个元在乘法运算后的结果仍在G中。）2 结合律成立 a(bc)=(ab)c 对于G中任意三个元都对3 对于G中的任意两个元a,b来说，方程ax=b 和ya=b都在G里有解2 群的第二定义：一个不空集合G对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如1） G对于这个乘法来说是闭的。2 ） 结合律成立 a(bc)=(ab)c 对于G中任意三个元都对3） G中至少存在一个左单位元e，能让ea=a对于G中的任何元都成立4 ） 对于G中的任一元a,在G里至少存在一个左逆元，能让3单位元、逆元单位元：一个群的唯一的能使得ea=ae=a（）的元e叫做群G的单位元。逆元：群G的唯一的能使（）的元叫做元a的逆元（有时简称逆）。4有限群、无限群、群的阶有限群：群的元的个数是一个有限整数。 无限群：群的元的个数是一个无限整数 群的阶：一个有限群的元的个数5 交换群一个群叫做一个交换群或阿贝尔群，假如ab=ba对于G中任何两个元a,b都成立。6 变换1） 一个A到A的映射称为A的一个变换.2 ）一个A到A的满射、单射或一一映射称为A的一个满射变换、单射变换或一一变换.7代数系统（或者代数系）定义：A是一个集合，在其上规定一个代数运算（也把此运算称为乘法），则把规定了此种代数运算的集合称为一个代数系统，记为 8同态映射、满同态映射、单同态映射、同构映射、自同构1 ）同态映射：设，是两个代数系统，f是集合A到集合B的映射，只要，就有，称f是集合A到集合B的一个同态映射2） 满同态映射定义：设、是两个代数系统， f是集合A到集合B的一个同态映射，且f是满射，称f是集合A到集合B的一个满同态映射，简称满同态。（即除了满足1外，B中每个象必须在A中有原象）3）单同态（映射）定义：设、是两个代数系统， f是集合A到集合B的一个同态映射，且f是单射，称f是集合A到集合B的一个单同态映射（简称单同态）。（即除了满足1外，A中原象不同，对应于B中的象不同）4）同构 ：设、是两个代数系统， f是集合A到集合B的一个同态映射，且f是一一映射，称f是集合A到集合B一个同构映射（简称同构）。此时称对于代数运算和来说，集合A与集合B同构，记为5）自同构：是一个代数系统，f是集合A到集合A一个同构映射，则称f是一个对于运算来说A的自同构二 重要性质、定理1性质1 在一个群G里至少有一个元e，叫做G的左单位元，能让ea=a对于G中任何元a都成立 证明：对于G中一个固定的元b，yb=b在G里有解。我们任取一个解，叫它作e，即eb=b。对于G中任意一个元a ，以及上述固定元b，bx=a有解，设解为c，即bc=a。则对G中任意一个元a，有ea=e(bc)=(eb)c=bc=a这样，我们证明了e的存在性。2 性质2 在一个群G里至少有一个元，叫做G的右单位元，能让对于G中任何元a都成立3性质3 在一个群G里，对任意元a ,存在一个G里的一个元，叫做a的一个左逆元，能让成立。这里e是一个固定的左单位元。证明：对于G中的任意两个元a,b，方程ya=b都在G里有解。则方程ya =e有解。记为。即在G里至少存在一个元，能让成立。我们把元叫做a的一个左逆元4性质4 在一个群G里，对任意元a ,存在一个G里的一个元，叫做a的一个右逆元，能让成立。这里e是一个固定的左单位元。5性质5：一个群G的一个左逆元一定也是一个右逆元 即由可得证明：由群的第二定义的4），对于G中的任一元,在G里至少存在一个左逆元c，能让则 故6性质6 一个群G的一个左单位元也一定是个右单位元。证明：由结论1，对于G中的任意元a，有ea=a。下证ae=a 由结论3，对于G中任意元a ，至少存在一个左逆元 ，使得。而（由结合律）故ae=a。得证。7定理1 在一个群G里，存在且只存在一个元e,能使 ea=ae=a对G的任意元a都成立。证明:由性质1，性质2，性质6知在一个群G里存在一个元e使得ea=ae=a对G的任意元e都成立。下证唯一性。设还有一个，对，使得由a的任意性，取ae，则故 矛盾。唯一性得证。8定理2 对于群G的每一个元a来说，在G里存在一个而且只存在一个元，使得证明:由性质3，性质4，性质5知在一个群G里存在一个元，使得对G的任意元e都成立。下证唯一性。设还有一个，对，使得则矛盾。唯一性得证。9定理3 一个群的乘法适合消去律：若 ，则 若，则证明：若 则等式两边左乘即可 ，即，即即 若，则等式两边右乘即可得三 重要例题1书P156 1设G为群，对，。其中，e为单位元。证明：G为交换群（或者阿贝尔群）证明方法1：即，而，故由消去律，得而，则 又（因为群对于乘法封闭），故而（因为，）故，有，故G为交换群。2 Az, A的代数运算是普通加法；，B的代数运算是普通乘法即有两个代数系（A，），（B，）证明：1）是A到B的一个同态映射 2） 不是A到B