解三角形中的数学思想.docx

专题讲座 解三角形问题中的数学思想1.转化思想2练习一42.方程思想5练习二63.函数思想7练习三74、数形结合思想8练习48练习题答案10中国数学解题研究会 齐建民1.转化思想常见的转化方式（1） 边与角的互化方式（I）：在等式的两边或分式的上下可同时进行下列双向的转化：;如：；例 （2014陕西理16）ABC的内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，（1）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinB=2sin（A+C）；（2），若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值例：（2014江苏14）若的内角满足,则的最小值是解析：因为，故由正弦定理可知，所以，又由余弦定理可知（当且仅当，即，可设，验证等号成立）方式（2）：用余弦定理实现边与角的互化：例1：在三角形中，求证：分析：左边是边，很自然地要把右边的两个余弦用余弦定理表示出来，实现角与边的互化：；例2：在三角形中，三边成等差数列，求证：分析：要证明的问题是关于角的，而条件是关于边的，将边化为角是自然的； 由已知得，则，当且仅当时去等号，即，故方式（3）：用诱导公式实现角度的转化，方式（4）：用内角的关系实现减元，角度的转化；如：若，则应用：三角形中，求的最大值例1 在中，若，求证:法1：我们采用分析法，要证明，我们需要什么条件？容易想，即，即，即，若，则易知,满足；若，则可得；以上是分析法得出思路，再用综合法写出过程即可；法2：条件与余弦定理的结构相似，可考虑从余弦定理入手.解：因为，所以，即，由正弦定理得，因为，所以，即点评：本题很关键一点是从条件的结构入手，在解题过程中，又先后运用了化边为角，消元等思想，体现了解题过程要不断向目标努力，找到的关系，所以要消去例2 在ABC中，已知，且，求方法1：条件与余弦定理相似，条件与两角和差正弦类似，所以有下面的思路：由与可得；对条件，可以联想到两角和差公式，可得，即，所以，由可得方法2：本题共2个条件，一个是边的，一个是角度，而角的可以化为边的，因此产生下面的解法：解：因为，所以，得，又，即，联立，得，所以练习一1、 已知，求2.（2013新课标）在内角的对边分别为,已知.()求;（2）若,求面积的最大值.o.m 3. （2012大纲）中,已知,求.4、（2014大纲）中，已知，求5、已知.（1）求的值；(2)若，求边的长6、在锐角中，则的值等于 ,的取值范围为 . 7、（08重庆）中，求的值8.中，求的值9、（2010江苏）在锐角中，则=_10 、在中，已知,求：（1）的值；（2）的值.2.方程思想方程（组）思想，这主要在求值时应用，比如要求1个（2个）量，我们就要思考，如何得到含这1（2）个未知量的方程或方程组，必须注意到，绝大多数情况下，未知数的数量应该等于方程的数量；例1的周长为，面积是，求的长解：由条件易得，即，三个未知数，两个方程显然是不能解出的，必须再找一个方程！由，加上这个，三个条件就够了，现在的条件即，解这个方程还需要一定的技巧；代入解得例2（08辽宁）在中，内角对边的边长分别是，已知，（）若的面积等于，求；（）若，求的面积第一问分析：要求，就要找到两个含有的方程联立，已知，可以通过余弦定理建立一个方程，再利用面积构造第二个解：由余弦定理及已知条件得，又因为的面积等于，所以，得，将联立方程组解得，第二问分析：要求三角形面积，由于已知，所以只需求出（整体思路）或与的值，而条件是关于角的，可以借助正弦定理化为边的关系；解：由题意得，即， 当时，当时，得，由正弦定理得，联立方程组解得，综上，所以的面积 练习二1、锐角中，（1）求证：；（2）设，求边上的高2、（08全国）设的内角所对的边长分别为，且，（）求边长；（）若的面积，求的周长3、在中，角的对边分别是，且。（1）若的面积等于，求的值；（2）若，求的面积。4、中，内角的对边分别是，若，则。3.函数思想函数思想，往往用在求某个变量的最值或范围的题目中，我们要求目标的范围，可以考虑选取一个自变量，设法得到目标函数的表达式，进而将问题转化为求一个函数的值域（最值）问题，这种思想广泛用于高中数学中。例1（2011浙江） 在中，若，且，若为锐，求的取值范围.解：因为，由正弦定理可得，又，即，因为，所以，依题意，于是例2中，为上一点，若，求的周长的最大值解：，所以为正三角形，中，根据正弦定理可得，因为,，的周长为，因为，所以，所以，当，即时，的周长取得最大值练习三1、中，求的最值2、中，且，（1）判断三角形的形状；（2）若，求的取值范围3、（2010辽宁） ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且 （）求A的大小；（）求的最大值.4、数形结合思想例 （2013新课标）如图,在ABC中,ABC=90,AB=,BC=1,P为ABC内一点,BPC=90(1)若PB=,求PA;(2)若APB=150,求tanPBA练习4DACBE如图所示，在四边形中， ，；为边上一点，.（）求sinCED的值；（）求BE的长15（本小题共13分）（）设.在中，由余弦定理，得 2分得CD2CD60，解得CD2(CD3舍去) 4分在中，由正弦定理，得6分（）由题设知，所以 8分而，所以. 11分在中，. 13分练习题答案练习一1. 由正弦定理可得，即，整理得，即，因为，所以2、（1）已知得由已知及正弦定理得，又，由和得，则;（2） 三角形面积，由已知及余弦定理得，又，故，当且仅当时等号成立，故三角形面积最大值为3、由正弦定理及可得 ，而，已知即，联立即得，因为,故,所以,故.4、解：得,得5、 答案：解：（1）； （2）可得：sinC = , 6、答案 2，7、解：由余弦定理得故8、解：用余弦定理可得原式的值为29、解：，化简可得，由正弦定理，得：上式=.10.法1：注意到已知向量的关系，可得下面的解法：由，则，即，即，故;法2：求的是边，所以设法将已知条件向边转化：由已知得，由余弦定理得，两式相加得；（2）练习二1、（1）将已知两个式子展开可以求得,两式相除即可；（2）由可得,结合，可以求得,设边上的高为，则,得2、解：（1）要求，就要得到一个含的方程（组），题目里出现了，所以从正弦定理入手，;下面我们思考，如何求出，看看现在我们已经有了什么条件，3个未知数，3个等式，每一个都是可以解出的，易得，（2）由，得到由，解得：，最后3、解：（1）因为，所以，又由余弦定理：，上述两式联立解得。（2）因为，所以由正弦定理得，与联立解得，从而。4、得，故，代入，得。（三边均不可求出，所以考虑以为基本量表示）练习三1、解：，所以，则，当时，即时，取得最大值为2、解：（1）由已知得，化简得，由正弦定理得，由已知得，于是，因为，则，所以该三角形是等腰三角形（2），所以，即，即，因