2018届高考数学二轮复习专题对点练14数列与数列的证明及数列中的存在性问题理.docx

专题对点练14数列与数列不等式的证明及数列中的存在性问题1.若数列an满足:a1=,a2=2,3(an+1-2an+an-1)=2.(1)证明:数列an+1-an是等差数列;(2)求使+成立的最小的正整数n.(1)证明 由3(an+1-2an+an-1)=2可得an+1-2an+an-1=,即(an+1-an)-(an-an-1)=,故数列an+1-an是以a2-a1=为首项,为公差的等差数列.(2)解 由(1)知an+1-an=(n-1)=(n+1),于是累加求和得an=a1+(2+3+n)=n(n+1),=3.+=3-,n5.最小的正整数n为6.2.(2017广东揭阳二模,理17)已知数列an,a1=1,an+1=+n+1.(1)求证:数列是等比教列;(2)求数列an的前n项和Sn.(1)证明 an+1=+n+1,=2+1,+1=2,数列是等比教列,公比为2,首项为2.(2)解 由(1)可得+1=2n,可得an=n2n-n.设数列n2n的前n项和为Tn,则Tn=2+222+323+n2n,2Tn=22+223+(n-1)2n+n2n+1,两式相减可得-Tn=2+22+2n-n2n+1=-n2n+1,Tn=(n-1)2n+1+2.Sn=(n-1)2n+1+2-.3.已知数列an的前n项和Sn=1+an,其中0.(1)证明an是等比数列,并求其通项公式;(2)若S5=,求.解 (1)由题意得a1=S1=1+a1,故1,a1=,a10.由Sn=1+an,Sn+1=1+an+1得an+1=an+1-an,即an+1(-1)=an.由a10,0得an0,所以.因此an是首项为,公比为的等比数列,于是an=.(2)由(1)得Sn=1-.由S5=得1-,即.解得=-1.4.(2017吉林白山二模,理17)在数列an中,设f(n)=an,且f(n)满足f(n+1)-2f(n)=2n(nN*),且a1=1.(1)设bn=,证明数列bn为等差数列;(2)求数列an的前n项和Sn.(1)证明 由已知得an+1=2an+2n,bn+1=+1=bn+1,bn+1-bn=1.又a1=1,b1=1,bn是首项为1,公差为1的等差数列.(2)解 由(1)知,bn=n,an=n2n-1.Sn=1+221+322+n2n-1,2Sn=121+222+(n-1)2n-1+n2n,两式相减得-Sn=1+21+22+2n-1-n2n=2n-1-n2n=(1-n)2n-1,Sn=(n-1)2n+1.5.设数列an的前n项和为Sn,且(3-m)Sn+2man=m+3(nN*),其中m为常数,且m-3.(1)求证:an是等比数列;(2)若数列an的公比q=f(m),数列bn满足b1=a1,bn=f(bn-1)(nN*,n2),求证:为等差数列,并求bn.证明 (1)由(3-m)Sn+2man=m+3,得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3,两式相减,得(3+m)an+1=2man.m-3,an是等比数列.(2)由(3-m)Sn+2man=m+3,得(3-m)S1+2ma1=m+3,即a1=1,b1=1.数列an的公比q=f(m)=,当n2时,bn=f(bn-1)=,bnbn-1+3bn=3bn-1,.是以1为首项,为公差的等差数列,=1+.又=1也符合,bn=.6.已知数列an的前n项和为Sn,a1=-2,且满足Sn=an+1+n+1(nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=log3(-an+1),求数列的前n项和Tn,并求证Tn.(1)解 Sn=an+1+n+1(nN*),当n=1时,-2=a2+2,解得a2=-8.当n2时,an=Sn-Sn-1=an+1+n+1-,即an+1=3an-2,可得an+1-1=3(an-1).当n=1时,a2-1=3(a1-1)=-9,数列an-1是等比数列,首项为-3,公比为3.an-1=-3n,即an=1-3n.(2)证明 bn=log3(-an+1)=n,.Tn=+.Tn0,且4Sn=+2an+1(nN*),数列bn为等比数列,公比q1,b1=a1,且2b2,b4,3b3成等差数列.(1)求an与bn的通项公式;(2)令cn=,若cn的前n项和为Tn,求证:Tn0,an-an-1-2=0,即an-an-1=2,数列an是等差数列,公差为2.an=1+2(n-1)=2n-1.2b2,b4,3b3成等差数列,2b4=2b2+3b3.2b2q2=2b2+3b2q,即2q2-3q-2=0,解得q=2.又b1=a1=1,bn=2n-1.(2)证明 cn=,则cn的前n项和为Tn=1+Tn=+,Tn=1+2=1+2,Tn=6-6.导学号168041938.已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,且对任意正整数n,点(an+1,Sn)都在直线2x+y-2=0上.(1)求数列an的通项公式;(2)是否存在实数,使得数列为等差数列?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.解 (1)由题意,得2an+1+Sn-2=0.当n2时,2an+Sn-1-2=0.-,得2an+1-2an+an=0(n2),所以(n2).因为a1=1,2a2+a1=2,所以a2=.所以an是首项为1,公比为的等比数列.所以数列an的通项公式为an