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文档简介

3 C、R上二次型的规范形教学目的 通过讲授，使学生理解C、R上二次型规范形的概念，基本掌握实二次型的惯性定理教学内容上节已经指出，数域F上的n元二次型的标准形未必唯一因此，探索二次型的唯一简化形式是二次型研究的重要课题本节讨论复数域、实数域上二次型简化的唯一性问题3.1 复二次型的规范形设是一个复系数的二次型由定理5.2.1，经过一适当的非退化线性替换后，变成标准形 (1)其中r是的秩由于复数总可以开平方，因而再作一非退化线性替换， (2)(1)就变成 (3)(3)称为复二次型的规范形显然，规范形完全被原二次型的秩所决定，因此有定理5.3.1 任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形；且规范形是唯一的推论5.3.1 任两个复系数的n元二次型可以经过一适当的非退化线性替换把它们中的一个二次型化为另一个二次型的充分且必要条件是它们有相同的规范形 推论5.3.2 设A是一个秩为r的复n阶对称矩阵，则A合同于因此，两个复n阶对称矩阵合同的充分且必要条件是它们有相同的秩3.2 惯性定理再来看实数域的情形设是一实系数的二次型由定理5.2.1，经过一个非退化线性替换(含适当排列文字的次序)，可使变成标准形， (4)其中，i=1，r；r是的秩于是，再作一非退化线性替换， (5)(4)就变成 (6)(6)称为实二次型的规范形下面，我们来证明规范形(6)是唯一确定的定理5.3.2 任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形；且规范形是唯一的证 定理的前一半在上面已经证明，下面证其唯一性设实二次型经过非退化线性替换X=BY化成规范形 ，又经过非退化线性替换X=CZ也化成规范形现在证明p=q用反证法设pq由上假设，我们有 (7)其中 (8)令，则(8)就是 (9)考虑齐次线性方程组 ， (10)方程组(10)含有n个未知量，但其方程个数q+(n-p)=n- (p-q)q是不对的因此我们证得了pq同理可证qp，从而p=q这就证明了规范形的唯一性 这个定理通常称为Sylvester惯性定理定义1 在实二次型的规范形中，正平方项的个数p称为的正惯性指数；负平方项的个数r-p称为的负惯性指数；它们的差p-(r-p)=2p-r称为的符号差应该指出，虽然实二次型的标准形不是唯一的，但是由上面化成规范形的过程可以看出，标准形中系数为正的平方项的个数与规范形中正平方项的个数是一致的因此，惯性定理也可以叙述为：实二次型的标准形中系数为正的平方项的个数是唯一确定的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数由惯性定理得到推论5.3.3 任意两个实系数的n元二次型可以经过一适当的非退化线性替换把其中的一个二次型化为另一个二次型的充分且必要条件是它们有相同的规范形 推论5.3.4 秩为r的实n阶对称矩阵A合同于这里p+q=r因此，两个秩相同的实n阶对称矩阵合同的充分且必要条件是它们的正、负惯性指数分别相等 当然，同
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