抛物线经典性质总结

1 抛物线抛物线 抛 物 线 0 2 2 p pxy 0 2 2 p pxy 0 2 2 p pyx 0 2 2 p pyx 定义 平面内与一个定点和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 点Fl 叫做抛物线的焦点 直线 叫做抛物线的准线 Fl 点 M 到直线 的距离 MFM l 范围 0 xyR 0 xyR 0 xR y 0 xR y 对称性关于轴对称x关于轴对称y 0 2 p 0 2 p 0 2 p 0 2 p 焦点 焦点在对称轴上 顶点 0 0 O 离心率 1e 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 准线 方程 准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等 顶点到准 线的距离2 p 焦点到准 线的距离 p 焦半径焦半径 11 A x y 1 2 p AFx 1 2 p AFx 1 2 p AFy 1 2 p AFy x y O l Fx y O l F l F x y O x y O l F 2 焦点弦长焦点弦长 AB 12 xxp 12 xxp 12 yyp 12 yyp 以以为直径的圆必与准线为直径的圆必与准线 相切相切ABl 若若的倾斜角为的倾斜角为 则 则AB 2 2 sin p AB 若若的倾斜角为的倾斜角为 则 则AB 2 2 cos p AB 2 12 4 p x x 2 12 y yp 焦点弦 的几AB 条性质 11 A x y 22 B xy 112AFBFAB AFBFAFBFAFBFp 切线 方程 00 y yp xx 00 y yp xx 00 x xp yy 00 x xp yy 1 直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系 直线 抛物线 消 y 得 1 当 k 0 时 直线 与抛物线的对称轴平行 有一个交点 l 2 当 k 0 时 0 直线 与抛物线相交 两个不同交点 l 0 直线 与抛物线相切 一个切点 l 0 直线 与抛物线相离 无公共点 l 3 若直线与抛物线只有一个公共点 则直线与抛物线必相切吗 不一定 4 2 2 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线 抛物线 lbkxy 0 p 1 1 联立方程法 联立方程法 o o x 22 B xy F F y y 11 A x y 3 pxy bkxy 2 2 0 2 222 bxpkbxk 设交点坐标为 则有 以及 还可进一步求 11 yxA 22 yxB0 2121 xxxx 出 bxxkbkxbkxyy2 212121 2 2121 2 2121 bxxkbxxkbkxbkxyy 在涉及弦长 中点 对称 面积等问题时 常用此法 比如 a a 相交弦相交弦 ABAB 的弦长的弦长 21 2 21 2 21 2 4 11xxxxkxxkAB a k 2 1 或 21 2 21 2 21 2 4 1 1 1 1yyyy k yy k AB a k 2 1 b 中点中点 00 yxM 2 21 0 xx x 2 21 0 yy y 2 2 点差法 点差法 设交点坐标为 代入抛物线方程 得 11 yxA 22 yxB 1 2 1 2pxy 2 2 2 2pxy 将两式相减 可得 2 212121 xxpyyyy 2121 21 2 yy p xx yy a 在涉及斜率问题时 在涉及斜率问题时 21 2 yy p kAB b 在涉及中点轨迹问题时在涉及中点轨迹问题时 设线段的中点为 AB 00 yxM 002121 21 2 22 y p y p yy p xx yy 即 0 y p kAB 同理 对于抛物线 若直线 与抛物线相交于两点 点 0 2 2 ppyxlBA 4 是弦的中点 则有 00 yxMAB p x p x p xx kAB 0021 2 2 2 注意能用这个公式的条件 1 直线与抛物线有两个不同的交点 2 直线的 斜率存在 且不等于零 一 抛物线的定义及其应用一 抛物线的定义及其应用 例例 1 1 设P是抛物线y2 4x上的一个动点 1 求点P到点A 1 1 的距离与点P到直线x 1 的距离之和的最小值 2 若B 3 2 求 PB PF 的最小值 例例 2 2 2011 山东高考 设M x0 y0 为抛物线C x2 8y上一 点 F为抛物 线C的焦点 以F为圆心 FM 为半径的圆和抛物线C的准线相交 则y0 的取 值范围是 A 0 2 B 0 2 C 2 D 2 二 抛物线的标准方程和几何性质二 抛物线的标准方程和几何性质 例例 3 3 抛物线y2 2px p 0 的焦点为F 准线为l 经过F的直线与抛物线交于 A B两点 交准线于C点 点A在x轴上方 AK l 垂足为K 若 BC 2 BF 且 AF 4 则 AKF的面积是 A 4 B 3 C 4 D 8 33 例例 4 4 过抛物线y2 2px p 0 的焦点F的直线交抛物线于点A B 交其准线l 于点C 若 BC 2 BF 且 AF 3 则此抛物线的方程为 A y2 x B y2 9x C y2 x D y2 3x 3 2 9 2 5 三 抛物线的综合问题三 抛物线的综合问题 例例 5 5 2011 江西高考 已知过抛物线y2 2px p 0 的焦点 斜率为 2的直 2 线交抛物线于A x1 y1 B x2 y2 x10 上 M点到抛物线C的焦点F 的距离为 2 直线l y x b与抛物线C交于A B两点 1 2 1 求抛物线C的方程 2 若以AB为直径的圆与x轴相切 求该圆的方程 6 练习题练习题 1 已知抛物线x2 ay的焦点恰好为双曲线y2 x2 2 的上焦点 则a等于 A 1 B 4 C 8 D 16 2 抛物线y 4x2上的一点M到焦点的距离为 1 则点M的纵坐标是 A B C D 17 16 15 16 7 16 15 16 3 2011 辽宁高考 已知F是拋物线y2 x的焦点 A B是该拋物线上的两点 AF BF 3 则线段AB的中点到y轴的距离为 A B 1 C D 3 4 5 4 7 4 4 已知抛物线y2 2px 以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是 A 相离 B 相交 C 相切 D 不确定 5 2012 宜宾检测 已知F为抛物线y2 8x的焦点 过F且斜率为 1 的直线 交抛物线于A B两点 则 FA FB 的值等于 A 4 B 8 C 8 D 16 22 6 在y 2x2上有一点P 它到A 1 3 的距离与它到焦点的距离之和最小 则 点P的坐标是 A 2 1 B 1 2 C 2 1 D 1 2 7 2011 陕西高考 设抛物线的顶点在原点 准线方程为x 2 则抛物线 的方程是 A y2 8x B y2 8x C y2 4x D y2 4x 8 2012 永州模拟 以抛物线x2 16y的焦点为圆心 且与抛物线的准线相切 的圆的方程为 9 已知抛物线的顶点在原点 对称轴为y轴 抛物线上一点Q 3 m 到焦点 的距离是 5 则抛物线的方程为 10 已知抛物线y2 4x与直线 2x y 4 0 相交于A B两点 抛物线的焦点 7 为F 那么 FA FB 11 过抛物线y2 4x的焦点作直线交抛物线于A x1 y1 B x2 y2 两点 若x1 x2 6 那么 AB 等于 12 根据下列条件求抛物线的标准方程 1 抛物线的焦点是双曲线 16x2 9y2 144 的左顶点 2 过点P 2 4 13 已知点A 1 0 B 1 1 抛物线C y2 4x O为坐标原点 过点A 的动直线l交抛物线C于M P两点 直线MB交抛物线C于另一点Q 若向量 与的夹角为 求 POM的面积 OM OP 4 8 参考答案 一 抛物线的定义及其应用一 抛物线的定义及其应用 例例 1 1 1 如图 易知抛物线的焦点为F 1 0 准线是x 1 由抛物线的定义知 点P到直线x 1 的距离等于点P到焦点F的距离 于是 问题转化为 在曲线上求一点P 使点P到点A 1 1 的距离与点P到 F 1 0 的距离之和最小 显然 连结AF交曲线于P点 则所求的最小值为 AF 即为 5 2 如图 自点B作BQ垂直准线于Q 交抛物线于点P1 则 P1Q P1F 则有 PB PF P1B P1Q BQ 4 即 PB PF 的最小值为 4 例例 2 2 解析 圆心到抛物线准线的距离为p 即p 4 根据已 知只要 FM 4 即 可 根据抛物线定 FM y0 2 由y0 2 4 解得y0 2 故y0 的取值范围是 2 二 抛物线的标准方程和几何性质二 抛物线的标准方程和几何性质 例例 3 3 设点A x1 y1 其中y1 0 由点B作抛物线的准线的垂线 垂足为B1 则 有 BF BB1 又 CB 2 FB 因此有 CB 2 BB1 cos CBB1 CBB1 即直线AB与x轴的夹角为 又 BB1 BC 1 2 3 3 AF AK x1 4 因此y1 4sin 2 因此 AKF的面积等于 p 2 33 AK y1 4 2 4 1 2 1 233 例例 4 4 分别过点A B作AA1 BB1垂直于l 且垂足分别为A1 B1 由已知条件 BC 2 BF 得 BC 2 BB1 BCB1 30 又 AA1 AF 3 AC 2 AA1 6 CF AC AF 6 3 3 F为线段AC的中 点 故点F到准线的距离为p AA1 故抛物线的方程为y2 3x 1 2 3 2 三 抛物线的综合问题三 抛物线的综合问题 例例 5 5 1 直线AB的方程是y 2 x 与y2 2px联立 从而有 2 p 2 9 4x2 5px p2 0 所以 x1 x2 由抛物线定义得 AB x1 x2 p 9 5p 4 所以p 4 从而抛物线方程是y2 8x 2 由p 4 4x2 5px p2 0 可简化为x2 5x 4 0 从而 x1 1 x2 4 y1 2 y2 4 从而A 1 2 B 4 4 2222 设 x3 y3 1 2 4 4 4 1 4 2 OC 2222 又y 8x3 即 2 2 1 2 8 4 1 2 32 即 2 1 2 4 1 解得 0 或 2 例例 6 6 1 设动点P的坐标为 x y 由题意有 x 1 化简 x 1 2 y2 得y2 2x 2 x 当x 0 时 y2 4x 当x 0 时 y 0 所以 动点P的轨迹C的方程为y2 4x x 0 和y 0 x0 的准线为x 由抛物线定义和已知条件可 p 2 知 MF 1 1 2 解得p 2 故所求抛物线C的方程为y2 4x p 2 p 2 2 联立Error 消去x并化简整理得y2 8y 8b 0 10 依题意应有 64 32b 0 解得b 2 设A x1 y1 B x2 y2 则 y1 y2 8 y1y2 8b 设圆心Q x0 y0 则应用 x0 y0 4 x1 x2 2 y1 y2 2 因为以AB为直径的圆与x轴相切 所以圆的半径为r y0 4 又 AB x1 x2 2 y1 y2 2 1 4 y1 y2 2 5 y1 y2 2 4y1y2 5 64 32b 所以 AB 2r 8 解得b 5 64 32b 8 5 所以x1 x2 2b 2y1 2b 2y2 4b 16 48 5 则圆心Q的坐标为 4 故所求圆的方程为 x 2 y 4 2 16 24 5 24 5 练习题 练习题 1 1 C C 解析 解析 根据抛物线方程可得其焦点坐标为 0 双曲线的上焦点为 a 4 0 2 依题意则有 2 解得a 8 a 4 2 2 B B 解析 解析 抛物线方程可化为x2 其准线方程为y 设M x0 y0 y 4 1 16 则由抛物线的定义 可知 y0 1 y0 1 16 15 16 3 3 C C 解析 解析 根据拋物线定义与梯形中位线定理 得线段AB中点到y轴的距离 为 AF BF 1 2 1 4 3 2 1 4 5 4 4 4 C C 解析 解析 设抛物线焦点弦为AB 中点为M 准线l A1 B1分别为A B在 直线l上的射影 则 AA1 AF BB1 BF 于是M到l的距离 d AA1 BB1 AF BF AB 半径 故相切 1 2 1 2 1 2 5 5 C C 解析 解析 依题意F 2 0 所以直线方程为y x 2 由Error 消去y得 x2 12x 4 0 设A x1 y1 B x2 y2 则 FA FB x1 2 x2 2 x1 x2 8 x1 x2 2 4x1x2144 162 6 6 B B 解析 解析 如图所示 直线l为抛物线y 2x2的准线 F为 11 其焦点 PN l AN1 l 由抛物线的定义知 PF PN AP PF AP PN AN1 当且仅当A P N三点共线 时取等号 P点的横坐标与A点的横坐标相同即为 1 则可排除 A C D 答 案 B 7 7 B B 解析 解析 由准线方程x 2 可知抛物线为焦点在x轴正 半轴上的标 准方程 同时得p 4 所以标准方程为 y2 2px 8x 8 8 解析 解析 抛物线的焦点为F 0 4 准线为y 4 则圆心为 0 4 半径 r 8 所以 圆的方程为x2 y 4 2 64 9 9 解析 解析 设抛物线方程为x2 ay a 0 则准线为y Q 3 m 在抛 a 4 物线上 9 am 而点Q到焦点的距离等于点Q到准线的距离 m