（浙江专用）高考数学第五章平面向量、复数3第3讲平面向量的数量积及应用举例教学案.docx

第3讲平面向量的数量积及应用举例1向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB就是a与b的夹角设是a与b的夹角，则的取值范围是 0180若0，则a与b同向；若180，则a与b反向；若90，则a与b垂直2.平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为，则数量|a|b|cos_叫做a与b的数量积，记作ab投影|a|cos_叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos_叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_的乘积3向量数量积的运算律(1)abba；(2)(a)b(ab)a(b)；(3)(ab)cacbc.4平面向量数量积的有关结论已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为.结论几何表示坐标表示模|a|a|夹角cos cos ab的充要条件ab0x1x2y1y20疑误辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量()(3)由ab0可得a0或b0.()(4)(ab)ca(bc)()(5)两个向量的夹角的范围是.()(6)若ab0，则a和b的夹角为锐角；若ab0，则a和b的夹角为钝角()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)教材衍化1(必修4P108A组T6改编)已知ab12，|a|4，a和b的夹角为135，则|b|为()A12B6C3D3解析：选B.ab|a|b|cos 13512，所以|b|6.2(必修4P105例4改编)已知向量a(2，1)，b(1，k)，a(2ab)0，则k_解析：因为2ab(4，2)(1，k)(5，2k)，由a(2ab)0，得(2，1)(5，2k)0，所以102k0，解得k12.答案：123(必修4P106练习T3改编)已知|a|5，|b|4，a与b的夹角120，则向量b在向量a方向上的投影为_解析：由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos 4cos 1202.答案：2易错纠偏(1)没有找准向量的夹角致误；(2)不理解向量的数量积的几何意义致误；(3)向量的数量积的有关性质应用不熟练致误1已知ABC的三边长均为1，且c，a，b，则abbcac_解析：因为a，bb，ca，c120，|a|b|c|1，所以abbcac11cos 120，所以abbcac.答案：2已知点A(1，1)，B(1，2)，C(2，1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影为_解析：(2，1)，(5，5)，由定义知，在方向上的投影为.答案：3设向量a(1，2)，b(m，1)，如果向量a2b与2ab平行，那么a与b的数量积等于_解析：a2b(12m，4)，2ab(2m，3)，由题意得3(12m)4(2m)0，则m，所以ab121.答案：平面向量数量积的运算 (1)如图，已知平面四边形ABCD，ABBC，ABBCAD2，CD3，AC与BD交于点O.记I1，I2，I3，则()AI1I2I3 BI1I3I2CI3 I1I2 DI2I1I3(2)已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()的最小值是()A2 BC D1【解析】(1)如图所示，四边形ABCE是正方形，F为正方形的对角线的交点，易得AOAF，而AFB90，所以AOB与COD为钝角，AOD与BOC为锐角根据题意，I1I2()|cosAOB0，所以I1I3，作AGBD于G，又ABAD，所以OBBGGDOD，而OAAFFCOC，所以|，而cosAOBcosCOD，即I1I3.所以I3I1I2.(2)如图，以等边三角形ABC的底边BC所在的直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(1，0)，C(1，0)，设P(x，y)，则(x，y)，(1x，y)，(1x，y)，所以()(x，y)(2x，2y)2x22，当x0，y时，()取得最小值，为，选择B.【答案】(1)C(2)B (变问法)在本例(2)的条件下，若D，E是边BC的两个三等分点(D靠近点B)，则等于_解析：法一：(通性通法)因为D，E是边BC的两个三等分点，所以BDDECE，在ABD中，AD2BD2AB22BDABcos 602222，即AD，同理可得AE，在ADE中，由余弦定理得cosDAE，所以|cosDAE.法二：(光速解法)如图，建立平面直角坐标系，由正三角形的性质易得A(0，)，D，E，所以，所以.答案： (1)向量数量积的两种运算方法当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cosa，b当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.(2)数量积在平面几何中的应用解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，常利用解析法，巧妙构造坐标系，利用坐标求解 1(2020杭州中学高三月考)若A，B，C三点不共线，|2，|3|，则的取值范围是()A. B.C. D.解析：选D.设|x，则|3|3x，由于A，B，C三点不共线，能构成三角形，如图：由三角形三边的性质得，解得x1，由余弦定理的推论得，cos C，所以|cos C3x25x22，由x1得，5x220)上，如图，数形结合可知|ab|min|1.故选A.法二：由b24eb30得b24eb3e2(be)(b3e)0.设b，e，3e，所以be，b3e，所以0，取EF的中点为C，则B在以C为圆心，EF为直径的圆上，如图设a，作射线OA，使得AOE，所以|ab|(a2e)(2eb)|a2e|2eb|1.故选A.【答案】A角度三两向量垂直问题 已知|a|4，|b|8，a与b的夹角是120.求k为何值时，(a2b)(kab)?【解】由已知得，ab4816.因为(a2b)(kab)，所以(a2b)(kab)0，ka2(2k1)ab2b20，即16k16(2k1)2640.所以k7.即k7时，a2b与kab垂直角度四求参数值或范围 已知ABC是正三角形，若与向量的夹角大于90，则实数的取值范围是_【解析】因为与向量的夹角大于90，所以()0，即|2|cos 602.故填(2，)【答案】(2，) (1)求平面向量的夹角的方法定义法：利用向量数量积的定义知，cos ，其中两个向量的夹角的范围为0，求解时应求出三个量：ab，|a|，|b|或者找出这三个量之间的关系；坐标法：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则cos ；(2)求向量的模的方法公式法：利用|a|及(ab)2|a|22ab|b|2，把向量模的运算转化为数量积运算几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解 1(2020浙江新高考研究联盟)已知向量a，b，c满足|a|1，|b|k，|c|2k且abc0，则b与c夹角的余弦值的取值范围是_解析：设b与c的夹角为，由题bca，所以b2c22bc1.即cos 1.因为|a|bc|bc|，所以|2k2|1.所以k.所以1cos .答案：2已知向量与的夹角为120，且|3，|2.若，且，则实数的值为_解析：因为，所以0.又，所以()()0，即(1)220，所以(1)|cos 120940.所以(1)32()940.解得.答案：向量数量积的综合应用 (2020金华十校联考)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(cos(AB)，sin(AB)，n(cos B，sin B)，且mn.(1)求sin A的值；(2)若a4，b5，求角B的大小及向量在方向上的投影【解】(1)由mn，得cos(AB)cos Bsin(AB)sin B，所以cos A.因为0Ab，所以AB，则B，由余弦定理得52c225c，解得c1.故向量在方向上的投影为|cos Bccos B1.平面向量与三角函数的综合问题(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等 1在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量m，n，且2mn|m|，则A_解析：因为2mn2sin cos 2cos2 sin A(cos A1)sin 1，又|m|1，所以2mn|m|sin，即sin.因为0A，所以A，所以A，即A.答案：2已知向量a(cos x，sin x)，b(3，)，x0，(1)若ab，求x的值；(2)记f(x)ab，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值解：(1)因为a(cos x，sin x)，b(3，)，ab，所以cos x3sin x.若cos x0，则sin x0，与sin2xcos2x1矛盾，故cos x0.于是tan x.又x0，所以x.(2)f(x)ab(cos x，sin x)(3，)3cos xsin x2cos.因为x0，所以x，从而1cos.于是，当x，即x0时，f(x)取到最大值3；当x，即x时，f(x)取到最小值2.平面向量中的最值范围问题 (1)(2020杭州市高三模拟)在ABC中，C90，AC4，BC3，D是AB的中点，E，F分别是边BC、AC上的动点，且EF1，则的最小值等于()A. B.C. D.(2)(2020浙江新高考研究联盟联考)已知向量a，b满足|ab|4，|ab|3，则|a|b|的取值范围是()A3，5 B4，5C3，4 D4，7【解析】(1)以三角形的直角边为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示： 则A(0，4)，B(3，0)，C(0，0)，D.设E(x，0)，则F(0, )，0x1.所以，.所以x422.令f(x)2，当x1时，则f(x).令f(x)0得x.当0x时，f(x)0，当x1时，f(x)0.所以当x时，f(x)取得最小值f.当x1时，f(1)，故选B.(2)|a|b|max|ab|，|ab |4，(|a|b|)2|ab|2|ab|225，所以|a|b|5.【答案】(1)B(2)B求解向量数量积最值问题的两种思路(1)直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值(2)建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值 1已知平面向量a，b，|a|1，|b|2，ab1，若e为平面单位向量，则|ae|be|的最大值是_解析：由ab1，|a|1，|b|2可得两向量的夹角为60，建立平面直角坐标系，可设a(1，0)，b(1，)，e(cos ，sin )，则|ae|be|cos |cos sin |cos |cos |sin |sin |2|cos |，所以|ae|be|的最大值为.答案：2(2020金华十校高考模拟)若非零向量a，b满足：a2(5a4b)b，则cosa，b的最小值为_解析：非零向量a，b满足：a2(5a4b)b，可得a b(a24b2)(|a|24|b|2)2|a|b|，即有cosa，b，当且仅当|a|2|b|，取得最小值.答案：核心素养系列12数学建模平面向量的综合运用一、平面向量在平面几何中的应用 (1)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足()，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的()A内心B外心C重心D垂心(2)在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点若1，则AB_【解析】(1)由原等式，得()，即()，根据平行四边形法则，知2(D为BC的中点)，所以点P的轨迹必过ABC的重心故选C.(2)在平行四边形ABCD中，又因为，所以()()22|2|cos 60|211|21.所以|0，又|0，所以|.【答案】(1)C(2)向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解 二、平面向量与函数、不等式的综合应用 (1)设是两个非零向量a，b的夹角，若对任意实数t，|atb|的最小值为1，则下列判断正确的是()A若|a|确定，则唯一确定B若|b|确定，则唯一确定C若确定，则|b|唯一确定D若确定，则|a|唯一确定(2)(一题多解)已知向量a，b为单位向量，且ab，向量c与ab共线，则|ac|的最小值为_【解析】(1)设g(t)(atb)2b2t22taba2，当且仅当t时，g(t)取得最小值1，所以b22aba21，化简得a2sin 21，所以当确定时，|a|唯一确定(2)法一：因为向量c与ab共线，所以可设ct(ab)(tR)，所以ac(t1)atb，所以(ac)2(t1)2a22t(t1)abt2b2，因为向量a，b为单位向量，且ab，所以(ac)2(t1)2t(t1)t2t2t1，所以|ac|，所以|ac|的最小值为.法二：因为向量a，b为单位向量，且ab，所以向量a，b的夹角为120，在平面直角坐标系中，不妨设向量a(1，0)，b，则ab，因为向量c与ab共线，所以可设ct(tR)，所以ac，所以|ac|，所以|ac|的最小值为.【答案】(1)D(2)通过向量的数量积运算把向量运算转化为实数运算，再结合函数、不等式的知识解决，同时也要注意平面向量的坐标运算在这方面的应用 三、平面向量与解三角形的综合应用 已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(sin A，sin B)，n(cos B，cos A)，mnsin 2C.(1)求角C的大小；(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且()18，求c.【解】(1)mnsin Acos Bsin Bcos Asin(AB)，对于ABC，ABC，0C0，b0)的左焦点，定点A为双曲线虚轴的一个端点，过F，A两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B，若3，则此双曲线的离心率为_【解析】(1)由椭圆1可得F(1，0)，点O(0，0)，设P(x，y)(2x2)，则x2xy2x2x3x2x3(x2)22，2x2，当且仅当x2时，取得最大值6.(2)由F(c，0)，A(0，b)，得直线AF的方程为yxb.根据题意知，直线AF与渐近线yx相交，联立得消去x得，yB.由3，得yB4b，所以4b，化简得3c4a，所以离心率e.【答案】(1)6(2)向量在解析几何中的2个作用载体作用向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题工具作用利用abab0(a，b为非零向量)，abab(b0)可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法基础题组练1已知A，B，C为平面上不共线的三点，若向量(1，1)，n(1，1)，且n2，则n等于()A2 B2C0 D2或2解析：选B.nn()nn(1，1)(1，1)2022.2(2020温州市十校联合体期初)设正方形ABCD的边长为1，则|等于()A0 B.C2 D2解析：选C.正方形ABCD的边长为1，则|2|2|2|22121212124，所以|2，故选C.3(2020温州市十校联合体期初)已知平面向量a，b，c满足cxayb(x，yR)，且ac0，bc0.()A若ab0，y0B若ab0则x0，y0则x0，y0则x0，y0解析：选A.由ac0，bc0，若ab0，bc10，ab10，可举a(1，0)，b(2，1)，c(1，1)，则ac10，bc30，ab20，由cxayb，即有1x2y，1y，解得x1，y1，则可排除C，D.故选A.4在ABC中，()|2，则ABC的形状一定是()A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形解析：选C.由()|2，得()0，即()0，所以20，所以.所以A90，又因为根据条件不能得到|.故选C.5已知正方形ABCD的边长为2，点F是AB的中点，点E是对角线AC上的动点，则的最大值为()A1 B2C3 D4解析：选B.以A为坐标原点，方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则F(1，0)，C(2，2)，D(0，2)，设E(，)(02)，则(，2)，(1，2)，所以342.所以的最大值为2.故选B.6(2020金华市东阳二中高三月考)若a，b是两个非零向量，且|a|b|ab|，则b与ab的夹角的取值范围是()A. B.C. D.解析：选B.因为|a|b|ab|，不妨设|ab|1，则|a|b|.令a，b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则平行四边形OACB为菱形故有OAB为等腰三角形，故有OABOBA，且00，解得0b2.令f(b).所以当b时，f(b)取得最小值.又f(0)0，f(2)2.所以f(b)2.即的取值范围是.综合题组练1(2020嘉兴市高考模拟)已知平面向量a，b满足|a|b|1，ab，若向量c满足|abc|1，则|c|的最大值为()A1 B.C. D2解析：选D.由平面向量a，b满足|a|b|1，ab，可得|a|b|cosa，b11cosa，b，由0a，b，可得a，b，设a(1，0)，b，c(x，y)，则|abc|1，即有1，即为1，故|abc|1的几何意义是在以为圆心，半径等于1的圆上和圆内部分，|c|的几何意义是表示向量c的终点与原点的距离，而原点在圆上，则最大值为圆的直径，即为2.2(2020温州市高考模拟)记maxa，b，已知向量a，b，c满足|a|1，|b|2，ab0，cab(，0，且1)，则当maxca，cb取最小值时，|c|()A. B.C1 D.解析：选A.如图，设a，b，则a(1，0)，b(0，2)，因为，0，1，所以01.又cab，所以ca(abb)a；cb(abb)b44.由44，得.所以maxca，cb.令f().则f().所以f()min，此时，所以cab.所以|c| .故选A.3(2020瑞安市龙翔高中高三月考)向量m，n(sin x，cos x)，x(0，)，若mn，则tan x_；若m与n的夹角为，则x_解析：m，n(sin x，cos x)，x(0，)，由mn，得cos xsin