1.1整数的整除性S.doc

第一章 数的整除性1.1 整数的整除性定义：设a，b为二整数，且b0，如果有一整数c，使abc，则称b是a的约数，a是b的倍数，又称b整除a，记作b|a.显然，1能整除任意整数，任意整数都能整除0.性质：设a，b，c均为非零整数，则 若c|b，b|a，则c|a. 若b|a，则bc|ac. 若c|a，c|b，则对任意整数m、n，有c|manb 若b|ac，且(a，b)1，则b|c证明： (a，b)1，则存在两个整数s，t，使得 asbt1 ascbtcc b|ac b|asc b|(ascbtc) b|c 若(a，b)1，且a|c，b|c，则ab|c证明： a|c，则cas(sZ)又b|c，则cbt(tZ)又(a，b)1 sbt(tZ)于是cabt 即ab|c若b|ac，而b为质数，则b|a，或b|c 若a|b，则b=0或者| a |b| n个连续整数的乘积一定能被n!整除 Bezout定理: (ab)|(anbn)(nN)，(ab)|(anbn)(n为奇数) 整除的判别法：设整数N 2|a12|N ； 5|a1 5|N. 3|a1a2an 3|N； 9|a1a2an 9|N. 4|4|N； 25| 25|N. 8|8|N； 125|125|N. 7|7|N 11|11|N 11|(a2n1a2n1a1)(a2na2n2a2) 11|N 13|13|N推论：三个连续的整数的积能被6整除例题选讲：1设一个五位数，其中db3，试问a，c为何值时，这个五位数被11整除.2设72|，试求a，b的值.3设n为自然数，A3237n632n855n235n， Ex：求证：n为正奇数时，6n3n2n1能被60整除.4证明：没有x，y存在，使等式x2y21995(x，yZ)成立.5试证：12，1122，111222，都是两个相邻整数的积.Ex：证明：所以形如10017，100117，1001117，的整数都能被53整除.6设p是大于5的素数，求证：240|（p4-1）.7由数码0，1，2，3，4，5，6能组成若干没有重复数字的七位数，其中有55的倍数，试求所以这些55的倍数中的最大数和最小数.Ex：试确定最小的正整数A，其末位数是6，若将未位的6移至首位，其余数字不变，其值变为原数的4倍.8（1956年北京竞赛题）证明：对任何整数n都为整数，且用3除时余2.9.一整数a若不能被2和3整除，则a2+23必能被24整除.10.求一对整数a，b满足：ab(a+b)不能被7整除；(a+b)7-a7-b7能被77整除.11.求出所有的有序正整数对（m，n），使是整数.另外的几个例题：例1(美国第4届数学邀请赛题)使n3+100能被n+10整除的正整数n的最大值是多少?例8 (上海1989年高二数学竞赛)设a、b、c为满足不等式1abc的整数，且（ab-1）（bc-1）（ca-1）能被abc整除，求所有可能数组（a，b，c）.习题1.1练习一：1.证明：设N1988198819861986，则1987N2.设n是自然数，求证n5n可被30整除.3.请确定最小的正整数A，其末位数为2，若将末位数2移至首位，其余数字不变，则是原数的2倍.4.一个正整数，若用9进制表示为，若用7进制表示为，请用10进制表示此数.5.五位数能被4整除，最末两位组成的数能被6整除，求此五位数.练习二： 1 选择题（1）（1987年上海初中数学竞赛题）若数n=2030405060708090100110120130，则不是n的因数的最小质数是（ ）.（A）19 （B）17 （C）13 （D）非上述答案（2）在整数0、1、2、8、9中质数有x个，偶数有y个，完全平方数有z个，则x+y+z等于（ ）.（A）14 （B）13 （C）12 （D）11 （E）10（3）可除尽311+518的最小整数是（ ）.（A）2 （B）3 （C）5 （D）311+518（E）以上都不是2 填空题（1）（1973年加拿大数学竞赛题）把100000表示为两个整数的乘积，使其中没有一个是10的整倍数的表达式为_.(2)一个自然数与3的和是5的倍数,与3的差是6的倍数,这样的自然数中最小的是_.(3)(1989年全国初中联赛题)在十进制中,各位数码是0或1,并且能被225整除的最小自然数是_.3.求使为整数的最小自然数a的值.4.(1971年加拿大数学竞赛题)证明:对一切整数n,n2+2n+12不是121的倍数.5.(1984年韶关初二数学竞赛题)设是一个四位正整数,已知三位正整数与246的和是一位正整数d的111倍,又是18的倍数.求出这个四位数,并写出推理运算过程.6.(1954年苏联数学竞赛题)能否有正整数m、n满足方程m2+1954=n2.7.证明：（1）133|（11n+2+12n+1），其中n为非负整数.(2)若将(1)中的11改为任意一个正整数a,则(1)中的12,133将作何改动?证明改动后的结论.8.(1986年全国初中数学竞赛题)设a、b、c是三个互不相等的正