椭圆的画法.doc

几何画板简明教程第九章 椭圆的画法和性质一椭圆的定义： 1在平面内，到两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。 2椭圆的标准方程：设M(x, y)是椭圆是上任意一点，椭圆的焦距为2c (c0)，则如图建立直角坐标系，又F1、F2的坐标分别是F1(c, 0), F2(c, 0)，若M点与F1、F2两点的距离的和等于2a (ac0)，则 |MF1|MF2|2a, , 图91整理化简，并且设b2a2c2得椭圆的标准方程 .3椭圆的第二定义：设动点M(x, y)与定点F(c, 0)的距离和它到定直线: x的距离的比是常数(ac0)，则点M的轨迹是椭圆。点F是椭圆的一个焦点，直线是椭圆中对应于焦点F的准线。常数e (0eb0)为半径作两个圆，点A是大圆上的一个点，点B是OA与小圆的交点，过点A作ANOx，垂足为N，过点B作BMAN，垂足为M，当点A在大圆上运动时，M点的轨迹是椭圆。设点M的坐标是(x, y)，是以Ox为始边，OA为终边的正角，取为参数，那么x|ON|OA|cosacos, y|NM|OB|sinbsin,图93 椭圆的参数方程是 (是参数). 二椭圆的画法：画法1：图941在x轴上取两点F1、F2，使|OF1|OF2|，用它们作为两个焦点；2在图形外作一条线段CD，使|CD|2a，(|CD|F1F2|)；3以O为中心，在x轴上取两点A1、A2，使|A1A2|CD|；4在CD上分别取C、D，使|CC|A1F1|DD|；作线段CD，并用“作图”菜单中的“对象上的点”功能在CD上作点M；5分别以F1、F2为圆心，用|CM|、|MD|为半径作圆，两圆相交于P1、P2两点；同样方法分别以F1、F2为圆心，用|DM|、|CD|为半径作圆，两圆相交于P3、P4两点；并将这四个点定义为“追踪点”；6依次选中点M、点P1 (或点M、点P2)，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，作出椭圆。理论根据：点P1是两圆的交点， 点P1到F1与F2的距离的和等于两圆的半径和,即 |PF1|PF2|CM|MD|CD|2a.说明：M点不要直接在CD上取，那样画出来的椭圆将在x轴附近断开一段，因为计算机画的曲线实际上是由若干条小线段形成的，这些线段的端点是由符合条件的若干个点中随机选取的，当我们使点M在CD上运动时，一般情况点C 、D都取不到，于是画出来的图形就不好看了。 图95画法2：1在x轴上取两点F1、F2，使|OF1|OF2|，用它们作为两个焦点；2在图形外作一条线段，使它的长度为2a，(2a|F1F2|)；3以F1为圆心，2a为半径作圆，在圆上任取一点P；4连接PF1、PF2，作PF2的中垂线与PF1交于点M，连接MF2；5将点M定义为“追踪点”，分别选中点M、点P，用“作图”菜单中的“轨迹”功能画出椭圆。理论根据：点M在PF2的中垂线上， |MP|MF2|, |MF1|MF2|MF1|MP|F1P|2a. 即点M到两个定点F1和F2的距离的和等于定长。点M的轨迹是一个椭圆。画法3：图961在平面中作两条直线，使直线为准线，另一条直线AB与直线垂直；两条直线的交点为C；2在图形外取两条线段a和c，使ac；3计算，在直线AB上取一点F，使|CF|,点F作为椭圆的焦点；4在线段FC上，取点A，使|AF|ac, 在CF的延长线上，取点B，使|FB|ac，作线段AB，用“作图”菜单中的“对象上的点”功能，取动点P；5计算e，度量|CP|的长，计算|CP|；6以点F为圆心，|CP|为半径作圆，此圆与过点P且垂直于AB的直线相交于M1，M2两点；7分别选中点M1和点P(或点M2和点)，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，画出椭圆。理论根据：图97点M1到点F的距离是|CP|，点M1到准线的距离|M1D|CP|, e. 点M1在椭圆上。画法4：1以坐标原点O为圆心，分别以a、b(ab0)为半径画两个圆;2在大圆上取一点A，连接OA与小圆交于点B；3过点A作AN垂直于Ox轴，垂足为N；作BM垂直于AN，垂足为M；4分别选中点M和点A，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，画出椭圆。理论根据：|ON|acos, |NM|bsin, 根据椭圆的参数方程知，点M的轨迹是一个椭圆。画法5：1以坐标原点O为圆心，分别以a、b(ab0)为半径画两个圆;2在大圆上取一点P，过点P作PNOx轴，垂足为N；3计算两圆半径的比k，定义为“标记比”，选中点N，定义为“缩放中心”；4选中点P，用“变换”菜单 图98中的“缩放”功能，将点P用标记比缩放得到点M；5分别选中点M和点P，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，画出椭圆。理论根据：设点M的坐标是(x, y)，则点P的横坐标为x，纵坐标y0, 点P在圆x2y2a2上， a2, 整理得 .结论：只要动点P在一个圆上运动，那么在一个方向上按一定比例压缩或延长PD，所得到的点M的轨迹都是椭圆。三椭圆中动弦的画法(一)椭圆焦点弦的画法：图991用参数方程的画法画出一个椭圆，计算它的a, b, c的值，在长轴上画出两个焦点F1、F2(使|OF1|c)；2在大圆上任取一点P，相应作出它在椭圆上的对应点M；3连接PF1延长与大圆交于点Q；4作出点Q在椭圆上的对应点N；5连接MN，则线段MN一定过焦点F1，且点M、N都在椭圆上；6保留坐标系、椭圆、焦点和焦点弦MN，隐藏其它的内容，这时选中点M，在椭圆上拖动它，则点N相应在椭圆上移动，且MN始终经过点F1.理论根据：椭圆上的点M、N是由大圆上的点P、Q得到的，线段PQ在大圆上经过定点F1，则相应的线段MN在椭圆上也经过定点F1.(二) 椭圆中过定点M的弦的画法：1用参数方程的画法画出一个椭圆，标出定点M；计算两圆半径的比k，定义为“标记比”；2作MDOx轴，垂足是D，以D为缩放中心，把点M用标记比缩放，得到点M；3在大圆上取一点P，作出它在椭圆上的相应点P；4连接PM，延长与大圆交于Q，作出点Q在椭圆上的对应点Q； 图9105连接PQ，则PQ始终经过点M，且P、Q都在椭圆上；6保留坐标系、椭圆、定点M和过定点M的弦PQ，隐藏其它的内容，这时选中点P，在椭圆上拖动它，则点Q相应在椭圆上移动，且PQ始终经过点M.理论根据：椭圆上的点P、Q是由大圆上的点P、Q得到的，线段PQ在大圆上经过定点M，则相应的线段PQ在椭圆上也经过定点M.。问题的关键是怎样由点M得到点M，我们看到，只要在纵坐标是以定比缩放点M，就得到了对应点M.(三) 椭圆中平行弦的画法的画法：图9111用参数方程的画法画出一个椭圆，计算两圆半径的比k，定义为“标记比”；2在图形外画一条线段AC，过点A作水平线AD，过C作CDAD；3选中点D作为“缩放中心”，再选中点C，用“标记比”缩放，得到点B，连接AB；4在大圆上任取一点P，过P作AB的平行线角大圆于Q；5用参数方程的作法，分别作出P、Q在椭圆上的对应点P、Q；6连接PQ，则PQ就是与AC平行的椭圆中的弦；7保留坐标系、椭圆、AC和PQ，隐藏其它的内容；选中点P在椭圆上拖动点P，则弦PQ始终与AC平行，且点P、Q在椭圆上；8作PQ的中点，标记为“追踪点”，则点P运动时，可以看到中点的轨迹是一条线段。理论根据：在大圆上，PQ/AB，这个关系保持不变，相应的点P、Q是点P、Q在椭圆上的对应点， 线段PQ的斜率保持不变。那么我们只要找到线段AC与AB的关系就可以了。在这个作法中，改变已知条件AC的倾斜角，那么相应的PQ的斜率也发生同样的变化。四椭圆切线的画法(一) 过椭圆上一个定点M的切线：1在直角坐标系中画一个椭圆，同时标出它的两个焦点F1、F2；2在椭圆上标出定点M；3以F1为圆心，椭圆的长轴2a为半径作圆；4连接F1M延长交大圆于点N；5连接F2N，作F2N的中垂线，这条中垂线过点M，并且是椭圆的切线。理论根据： 点M在椭圆上，图912 |MF1|MF2|2a, 又|F1N|2a， |MF2|MN|, 点M在F2N的中垂线上，直线MD经过点M且与椭圆有且仅有一个交点，所以直线MD是椭圆过点M的切线。(二) 过椭圆外一点作椭圆的切线：图9131在直角坐标系中画一个椭圆，同时标出它的两个焦点F1、F2；2在椭圆外标出定点T；3以点F1为圆心，椭圆的长轴2a为半径作圆；4以点T为圆心，|TF2|为半径作圆，交圆F1于点P、Q；5连接PF2，作PF