如何认识《义务教育数学课程标准》中的三重联系VIP

如何认识义务教育数学课程标准中的三重联系【摘要】针对2011年版义务教育数学课程标准明确提出的“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系”这一课程目标，本文运用教学实例较为详细地讨论了“如何正确地认识三重联系”这一问题，并明确指出：应在小学“数与代数”的教学中运用准变量（表达式）；应在联系其他学科时注意避免“数学的丧失”；应在联系生活时注意区分“数学知识的应用”与“数学知识的巩固”。【关键词】义务教育数学课程标准三重联系小数教学2001年版的全日制义务教育数学课程标准（实验稿）提出了“体会数学与自然及人类社会的密切联系”1这一总体目标，10年后的义务教育数学课程标准（2011年版）更为明确地提出了“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系”2这一总体目标。那么，我们该如何认识这三重联系呢？在本文中，笔者将结合小学数学教学实践来谈谈自己对这三重联系的认识，以期望能够引起人们的重视，并激发小学数学教育界的相关研究热情。一、数学知识之间的联系就现实而言，小学数学包括“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四部分内容，它们之间的相互联系的重要性自不待言。但是，我们却往往忽视了其各自内在的联系。譬如，“数与代数”中的“数”与“代数”之间究竟是如何联系在一起的？这不仅需要我们从数学本身来思考，更需要我们从学生学习与教师教学的视角来分析。就数学发展而言，算术（主要是指数尤其是整数甚至有理数3及其运算）的发展要早于代数，而且代数的学习相比于算术的学习需要更高的智力。但是，时至今日，当我们把数与代数合称为“数与代数”时就不能仅仅局限于其历史发展上的割裂，而应探讨其“内在可能的”关联。其实，算术可以视为“关于数的代数”，而代数则可看作“关于字母的算术”，其间的基本运算不外乎加、减、乘、除，甚至乘方与开方、绝对值等及其运算规律。就数学学习与教学而言，我们还需要“教学法的思量”。算术学习是代数学习的基础，但是，算术的思维却与代数的思维有着本质的不同：前者主要是程序思维，而后者则主要是关系思维；算术主要是由程序思维来刻画的，也即，算术程序思维的核心是获取一个（正确的）答案，以及确定获取这个答案与验证这个答案是否正确的方法；而代数思维则是由关系或结构来描述的，它的目的是发现（一般化的）关系、明确结构，并把它们连接起来。那么，我们应该如何从数学本身出发，并为学生学习和教师教学考虑，来设计数与代数之间的关联呢？算术中的准变量（表达式）可能就是这样一种关联。而在我们运用准变量这一概念时就意味着：一个或一组数字语句，它（们）蕴涵着一个潜在的数学关系，在这种关系中，不管它所包含的数字是什么，这（些）语句都是真的。譬如，62-38+38=62、53-71+71=53（这两个等式蕴含着这样一个代数关系式：a-b+b=a），32-5=32+5-10、63-7=63+3-10（这两个等式也蕴含着一个相应的代数关系式：知道是什么吗？），34-28=（30-20）-（8-4）（这类等式也蕴含着一个相应的代数关系式：能写出来吗？），2000-1987=1999-1986、2001-1987=1999-1985（这类等式所蕴含的代数关系式是什么？）其实，我们在教授学生用计算器时也能够运用算术中的准变量表达式来帮助学生灵活地掌握与运用计算器来解决问题。譬如，我们可以设计这样的问题情境，以“逼迫”学生运用准变量思维：请用计算器（其中的数字键“7”坏了）来解答如下这些计算题：（1）727+217，（2）371-277，（3）869271，（4）779271。由此可见，只要小学数学教师有一双代数的眼睛（善于观察算术中潜在的一般关系或形式）与一副代数的耳朵（善于倾听学生的思考），我们就可以在算术中教授学生代数“数与代数”也就名至实归了。不仅如此，这将更有助于我们降低或排除学生在初中（较为系统地）学习代数时的困难甚至障碍。二、数学与其他学科之间的联系在小学数学与其他学科之间的联系当中，数学与科学的联系最为紧密，尤其是在“数与量的关系”当中这种联系则显得更为明显。譬如，在“分数的初步认识”当中就蕴含着“数与量的关系”，因而也就隐含了“数学与科学的联系”。但是，在我们的教学实践当中，由于过于强调对分数的“初步认识”而往往忽视了“数与量的区分”，并因此以丧失“数的意味”为前提而着力关注于“量的含义”。具体而言，我们可以“的认识”为例。在不同版本的小学数学教材中，大多都是把某一具体的物件（譬如，月饼或圆形纸片、正方形或长方形纸片）平均分为两份，并因此而把其中的一份记为个（物件，教学实践中，这一物件都具体地指称为上述月饼等）。但是，当课堂上有学生指出：“老师，半个正方形和半个长方形好像不一样大，为什么都用来表示呢？”每到此时遇此事，老师们都会强调指出：“这里的后面都有一个具体的物件，譬如，正方形或长方形，而只是表示其中的一份。所以，可以表示把不同或任何物件平均分成两份之后的一份。”而不遇此事的任何时刻，老师们一般都不会如此强调。因为这种强调对于三年级的小学生而言犹如“成人的文字游戏”无聊而晦涩难懂！问题是，不仅如此，更为关键的是我们这里所强调的可能还并不是数“”的“数学意味”，而是其“量的含义”（即科学也是日常生活中的含义）。那么，我们到底该如何来教授三年级小学生初步认识“”却又不脱离其生活或科学常识呢？这种数学概念的获得显然属于“概念形成”。在数学概念的形成过程中，结合学生已有的生活实际和学习经验是值得肯定和鼓励的，但如何从这些“感性材料”形成表象，再从表象归纳、抽象、概括出所教授的数学概念的内涵则需要在具体的教学活动中来把握。首先，我们在引导学生用“”来表示“半圆（面积）”“一个长方形的一半（周长）”“一块月饼的一半（重量）”“10根小棒的一半（数量）”“一分米的一半（长度）”等时，似乎应该明确“区分”这里的“”是不一样的，也就是说这里的“”是“不同的量”，而非“不同的数”，即我们通常所谓的“分数的意义”。这样，我们就形成了关于单位分数“”的意义之“不同又相同的”表象，即“某个具体量的一半”（量在变化，数却没有变，即“一份与两份之间的关系”不变）。其次，我们再分析、归纳这“不同又相同的”表象中的“不同中的相同”，舍弃其“不同”：量的不同，抽象、概括出其中的“相同”：数的相同，即“某个抽象的量的一半”或“单位整体的一半”（这里的“单位整体”不是某个具体的单位整体，而是没有具体单位的“单位整体”或者说就是“1”）。再次，在得出“”等单位分数的内涵之后再回过头去体会那“不同中的相同”和“相同中的不同”，我们还会形成更高层次的表象数“”的表象。最后，我们在做上述教学活动安排时都应把单位分数植入“分数的概念框架”和“数的概念框架”之中来展开。上述内容是安排在小学三至六年级的，因此，三年级至少可以教授至第一步（完成进行式），而非第一步的未完成式。此外，我们现在的小学数学课堂教学大多会使用多媒体，但使用水平大多停留在对PPT的运用上：教材中问题情景、例题与练习的图片再现，省却了教师板书的辛劳，但却很少使用教材。其实，如果运用好了其教学效果肯定会比传统的“黑板加板书”的教学方法好。譬如，就上述“的认识”而言，如果我们能够设计出如下的动态变化过程：一根孙悟空使用的金箍棒，依据其长度平均分成两部分，上端部分涂以红色，下端部分涂以蓝色（总之，颜色反差不能太小），与此同时，教师可以通过“操控”来随意地改变金箍棒的位置与整体大小，可快可慢，但颜色及其分配不变，并让学生在仔细观察的过程中来思考：这里变化的是什么？不变的又是什么？教师可在学生的回答与讨论中帮助他们概括、抽象出如下的结论：不论金箍棒的位置如何变化，也不论金箍棒的整体大小如何变化，它们都被平均分成了两个部分（即红色部分与蓝色部分）；就整个金箍棒而言，其中的一个部分与两个部分的关系也没有任何变化其实，这就是我们要认识的“”。随后，我们可以运用其他物件来代替“金箍棒”，并重复上述过程，以表明各种变化中的“不变”仍然是我们要认识的“”。如此的教学设计肯定会达成我们上面所描述的“对分数的初步认识”的“完成进行式”。不仅如此，这里其实还存在着更多的数学与科学的联系与区别。譬如，“科学中的平均分”似乎都是会有误差的，而“数学中的平均分”是绝对不容许有任何误差的。那么，如何进行“数学的平均分”呢？其实，没有任何具体现实的办法这是科学的问题，只有在大脑中理想化、抽象化、形式化地平均分这是数学思考的方式方法。因此，“过程与方法”目标的达成就必须通过这种“数学思考”，而非仅仅是“科学思考”所能够完成的。三、数学与生活之间的联系尽管近现代数学的发展给人们的印象是“越来越远离我们的生活”，但是，数学的起源与发展无时无刻不与我们的生活紧密相连。而小学生所学习的数学基本上都属于“初等数学”的范畴，毫无例外地都与我们的生活联系紧密。因此，在小学数学中联系孩子们的生活来开展教学活动是自然而然的事情。但是，现实中却经常会出现“把成人过时的经验当成当下孩子们的经验”以及不能区分“联系生活的数学运用与知识巩固”等问题。譬如，老师在教授完一年级小学生“十加几等于十几”之后，布置了这样一道练习题：一位小学老师带领10名小朋友去公园游玩，请问需要买几张门票？现实课堂中，有位小学生回答道：“10张。”而老师则依据标准答案（11张，实为参考答案）判为“错误”。事后，我们通过询问该学生“你是怎么想的？”获悉：他上幼儿园时，老师曾带领他们去公园游玩，而老师当时并不需要买票。由此可见，该老师在评判学生的回答时已经错把“自己的经验”（抑或编写参考答案者的经验）当成了孩子的经验。因此，我们不仅要纠正此类错误，更为重要的是我们要思考这样的问题：我们到底应该如何运用此类问题来帮助孩子们学习数学？事实上，这里存在着一个教学目的的确定与选择问题。首先，这类问题的教学运用存在着两个不同的目的。如果我们想要运用孩子们的生活经验来帮助他们巩固所学习的“十加几等于十几”这一数学知识，那么我们该怎样设计此类问题及其参考答案呢？如果我们意欲引导学生运用“十加几等于十几”这一数学知识来解决或解释他们生活中的经验问题或事件，那么我们又该如何设计此类问题及其解答方式呢？其次，不同教学目的的确定与选择则决定了问题设计的不同。如果我们选择了后者，那么原来的问题就很好，只是我们不会也不可能有唯一的参考答案，更不可能会有唯一的标准答案。而如果我们再让学生说说自己的亲身经历就更好了学生的经验就是最好的教学资源之一；如果再把学生们的不同回答（譬如，“不需要买一张门票，因为我们那里的公园都免费！”“关键是要看你想去哪里的公园游玩，因为好像有些公园是免费的，而有些公园则是要门票的。”“好像我们有些同学的个子不是很高，是不是可以买半票呀？”）引入课堂讨论，那么“教学的教育价值”就会得到更好的彰显学生的相同或不同经验可以让同学们体会到差异的客观存在及其主观感受。如果我们选择了前者，那么我们就要想一想：我们真的懂孩子们吗？我们如何才能够知道、了解甚至熟悉孩子们当下的生活经验？在我们熟悉孩子们当下的生活经验之后又该如何设计联系这些经验的问题（情境），以帮助他们巩固所学的数学知识呢？还是以上述“十加几等于十几”为例，我们可以从孩子们经常收集的卡片或玩耍的游戏入手。譬如，我们可以编制这样一道题目：小学生小明现在（或本周前）有某种卡片10张，由于其本周表现都很好，母亲每天都给他买一张，请问：本周五之前他有几张卡片？本周三之前呢这样，就很有可能将有助于我们达成当初所确定与选择的教学目的，而避免甚至不会出现最初的“误判”。因此，“体会数学与生活的联系”这句话很简单，但是要把它运用得恰到好处却并不是一件容易的事情，它需要我们真心地对待每一位孩子、数学与我们自己。当然，对这三重联系的