空间直线方程的拟合.docx

空间直线方程的拟合霍晓程(株洲职业技术学院 , 湖南 株洲 412001)摘 要 : 探讨用最小二乘法解决空间直线方程的拟合问题 1 先拟合三个直角坐标系中的投影直线 , 再通过投影直线求出空间直线方程 , 并对拟合出来的三个不同的直线方程进行比较 , 选择最佳拟合方案 1关键词 : 最小二乘法 ;中图分类号 : O24112拟合 ;空间直线文献标识码 : A文章编号 : 1671 - 9743 (2009) 02 - 0016 - 04自然界中常见的光束是以射线方式传播的 , 计算机应用领域中图形图像也是许多光束投影的结果 , 射线是直线的一部分1 - 3 1 如何测量并计算光束所在的直线方程呢 ? 光束有粗细之分 , 测量出来的数据点肯定有 误差 , 那么如何拟合空间直线方程呢3 ? 下面笔者用最小二乘法来拟合空间直线方程 11 最小二乘法拟合空间直线方程问题 1计算数学中讲到的直线拟合 , 主要是用最小二乘法拟合平面上的直线方程4 - 5 , 拟合出来的方程为 y = a + bx ,但空间中的直线方程形式为 x -x0y - y0z -z0=,该怎样拟合它呢 ?=ABC若将空间直线方程转化为平面直线方程 , 这种拟合就容易多了 1 一般情况下 , 空间直线在三个坐标系XO Y 、XO Z 、YO Z 中的投影也都是直线 ,所以可以先将它的投影拟合成直线 , 只要拟合出两条投影直线就可以 求出空间直线方程 ,因为平面直角坐标系中的直线方程也是空间直角坐标系中的平面方程 ,两个平面的交线就 是我们要求的空间直线 1对于给定的点 ( xi , yi , zi ) ( i = 1 ,2 , n) ,其在坐标系 XO Z 和 YO Z 的投影为 ( xi , zi ) 、( yi , zi ) ,先在坐标系XO Z 和 YO Z 中拟合这两条直线 za1 + b1 x , z = a2 + b2 x ,显然这两条直线是空间直线在坐标系 XO Z 和 YO Z=中的投影 4 ,因 z =a + b x , z = a + b x 在坐标系 O - X Y Z 中是两个特殊的平面方程 ,这两个平面的交线就1 12 2是我们要求的空间直线方程 1在坐标系 XO Z 中 ,通过最小二乘法可以将投影点 ( xi , zi ) ( i = 1 ,2 , n) 拟合成如下方程 :n nn nzi x i2- xi xi zi i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 a1=nnnnna1 + b1 xi= zin x i2- ( xi )2i = 1i = 1i = 1i = 1得nnnnn na1 xi+ b1 x i2= xi zin xi zixi zi-i = 1i = 1i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 b1=nnn x2- ( x ) 2iii = 1ni = 1nnnnnnzix i2- xi xi zin xi zi- xi zi i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 +x直线方程 : z =nnnnn x2- ( x ) 2n x2 - ( x ) 2iiiii = 1i = 1i = 1i = 1收稿日期 : 2009 - 01 - 16作者简介 : 霍晓程 (1972 - ) , 男 , 湖南武冈人 , 株洲职业技术学院讲师 , 硕士生 , 主要研究计算数学 117第 28 卷第 2 期霍晓程 :空间直线方程的拟合同理在坐标系 YO Z 中拟合的直线方程为 :n nnnnnnzi y i2- yi yi zin yi zi- yi zi i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 z =+ynnnnn y2- ( y ) 2n y2- ( y ) 2iiiii = 1i = 1i = 1i = 1所以对于给定的点 ( xi , yi , zi ) ( i = 1 ,2 ,3 , n) ,拟合出来的空间直线方程为 :n nn nn nnzi x i2- xi xi zin xi zi- xi zi i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 z =+xnnnnn x i2- ( xi )2n x i2- ( xi )2i = 1i = 1i = 1i = 1( 3 )nnn nnnnzi y i2- yi yi zin yi zi- yi zi i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 z =+ynnnnn y2- ( y ) 2n y2- ( y ) 2iiiii = 1i = 1i = 1i = 1方程的唯一性讨论2问题 2通过在直角坐标系 XO Z 、YO Z 中拟合其投影直线分别为 z = a1 + b1 x , z = a2 + b2 x ,再计算出来=na1 +a2 +nzzb1 xb2 y的空间直线方程在坐标系 XO Y 上的投影是否为直接在坐标系 XO Y 拟合出来的方程 :nnnnn2yi x ixi xi yin xi yi- xi yi- i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 x 呢 ?y =+nnnnn x2- ( x ) 2n x2- ( x ) 2iiiii = 1z =z =i = 1i = 1i = 1a1 +a2 +nb1 xb2 yna1 - a2b1x ,如果这两条直线相吻合的话 ,则必有由得 y=+b2b2nn2yix i-xixi yia1 - a2i = 1 i = 1i = 1 i = 1=nnb2n nn nn x2( x ) 2- i i2x i i iy-xx yiia - ai = 1i = 11 2i = 1 i = 1i = 1 i = 1两式相除得=nnnb1nn nn xi yixi yi-n xi yi- xi yi b1i = 1i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 =nnb2n x i2- ( xi )2i = 1i = 1nnnnnnn即 ( a1 - a2 )n xi yi- xi yib1 yi x i2- xixi yi=i = 1i = 1 i = 1i = 1 i = 1i = 1i = 1也就是说 ,当满足以上关系式时 ,拟合出来的空间直线方程才是唯一的 13 拟合方程的修正nnn问题在 空 间 直 线 的 拟 合 过 程 中 , 问 题 2 中 的 关 系 式 ( a1 -a2 )n xi yi- xiyi=3i = 1i = 1i = 1nnnnb1yix i2- xi xi yi 成 立 的 巧 合 性 很 小 , 那 么 该 如 何 修 正 已 经 拟 合 出 来 的 空 间 直 线i = 1 i = 1i = 1 i = 1z =z =a1 + b1 xa2 + b2 y,使其偏差程度很小呢 ?18 怀化学院学报2009 年 2 月=a1 +a2 +zzb1 xb2 ya1 - a2b1直线在 直 角 坐 标 系 XO Y 的 投 影 为 y+x , 只 要 所 求 的 总 误 差 Q =b2b22n a1 - a2 b122 ( zi为最小时 , 那么拟合出来的直线方程-b1 xi ) + ( zi - a2 - b2 xi ) +yi -xia1bb22i = 1z =z =a1 + b1 xa2 + b2 y更理想 ,但通过令 5 Q = 0 , 5 Q= 0 , 5 Q = 0 , 5 Q = 0 很难求得出 a , a , b , b ;这种方法是行5 a15 a25 b15 b21 2 1 2不通的 ,所以我们只能对通过三个坐标系 XO Y 、XO Z 、YO Z 中任意两个坐标系中的投影拟合出来的三条不同的空间直线进行复查 、进行比较 ,取最符合要求的这个方程 1 怎样比较呢 ?方法如下 :z = a1 + b1 xz = a2 + b2 y通过直角坐标系 XO Z 、YO Z 中的投影拟合出来的空间直线方程在坐标系 XO Y 上的投影直a1 - a2b1+x , 它 与 在 直 角 坐 标 系 XO Y 上 直 接 拟 合 出 来 的 投 影 直 线 方 程 y =线是y =b2nb2nnnnn nyi x i2- xixi yin xi yi- xi yi i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 x 的夹角是可以计算出来的 ;用类似方法还可以计算另+nnnnn x i2- ( xi )2n x i2- ( xi )2i = 1i = 1i = 1i = 1外两个在直角坐标系 YO Z 、XO Z 内的夹角、,比较、的大小就可以决定空间拟合直线的取舍了 1示例4例 1已知空间坐标系中 5 个离散数据点的坐标值如表 1 所示 ,试用最小二乘法方法来拟合空间直线方程 1表 15 个离散数据点的坐标值XYZ2040608041357155101401311810101201102919839197 100 16180 50105 5 个离散数据点的 x2 、y2 、z2 、xy 、yz 、zx 值表 2x2y2z2XYZxyyzzx204060804135715510141311810101201129198391974001600360064001819225571002510811617317124100120014041018981800415971601873026241054144315435151175531117925261804620012804179818319716 100 1618 50105 10000 282124 25051003 1680 840184 5005 nnnnnnxi= 300 , yi= 52128 , zi= 150111 , x i = 22000 , y i = 64010374 , z i = 550516139 ,222i = 1i = 1ni = 1i = 1i = 1i = 1nnxi yi = 374714 , yi zi = 187417351 , zi xi = 1100516i = 1i = 1i = 1= 150111 22000 - 300 1100516 + 5 1100516 - 300 150111 xz5 22000 - 3002z = 01037 + 0149975 x5 22000 - 3002即= 150111 64010374 - 52128 187417351 + 5 187417351 - 52128 150111 yz5 64010374 - 521282z = - 411439 + 312676 y5 64010374 - 521282即19 第 28 卷第 2 期霍晓程 :空间直线方程的拟合52128 22000 - 300 374714 + 5 374714 - 300 52128 xy =5 22000 - 3002y = 11297 + 0115265 x z = 01037 + 0149975 xz = - 411439 + 312676 y5 22000 - 3002即由得y = 112795 + 011529 x , 它 与11297 + 0115265 x 的 夹 角 为 tan =y = 011529 - 0115265 = 0100024431 + 011529 0115265z = 01037 + 0149975 xy = 11297 + 0115265 x+ 312676 y 的 夹 角 为 tan =由得 z = - 412092+ 312738 y , 它 与 z= - 411439 312738 - 312676 = 0100053001 + 312738 312676z = - 411439 + 312676 yy = 11297 + 0115265 x由得 z = 010942+ 014988 x , 它 与= 01037 + 0149975 x 的 夹 角 为 tan =z 014988 - 0149975 = 0100076041 + 014988 0149975因为 0 tan tan tan 01001 ,即 ,所以通过最小二乘法拟合出来的最佳空间直线方程z = 01037 + 0149975 xz = - 411439 + 312676 y为5结束语观察以上空间直线的拟合过程 , 尽管难度大 , 计算过程复杂 , 但还是可以用最小二乘法把它拟合出来的 , 而且拟合出来的不同的三条空间直线 , 它们的直观误差也是很小的 ; 事实上 , 我们还可以用这种方法拟 合空间曲线 , 可见插值算法中的最小二乘法在空间图像学中的应用价值也是很大的 1参考文献 :徐舒畅 , 张三元. 利用直线拟合估算光源色度 J .计算机辅助设计与图形学学报 , 2005 , (12) .12345刘光耀 , 叶秀清 , 顾伟康 , 基于三维重建的交通流量检测算法 J . 中国图象图形学报 , 2003 , (6) .胡学军 , 王俊亮 , 王 刚. 全最小二乘法在三坐标测量中的应用 J .武汉工程大学学报 , 2008 , (4) .崔国华主编. 计算方法 M .武汉 : 华中科技大学出版社 , 1996 , (1) .华中工学院数学 , 软件教研室编. 算法语言计算方法