2018年北师大九年级基础证明题.doc

基础证明题1如图，点E，F在AB上，AD=BC，A=B，AE=BF求证：ADFBCE 2如图，AC=DC，BC=EC，ACD=BCE求证：A=D 3如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC（1）求证：ABCDFE；（2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形 4如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，BCE=ACD=90，BAC=D，BC=CE（1）求证：AC=CD；（2）若AC=AE，求DEC的度数 5已知ABC中，ABC=ACB，点D，E分别为边AB、AC的中点，求证：BE=CD 6如图，A=B，AE=BE，点D在AC边上，1=2，AE和BD相交于点O（1）求证：AECBED；（2）若1=42，求BDE的度数 7已知：如图，在ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE=DF连接EF，与对角线AC交于点O求证：OE=OF 8如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的两点，且BF=ED，求证：AECF 9如图，分别以RtABC的直角边AC及斜边AB向外作等边ACD及等边ABE，已知：BAC=30，EFAB，垂足为F，连接DF（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形 10如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE=CF，连接AF、CE交于点G求证：AG=CG 11如图，在矩形ABCD，AD=AE，DFAE于点F求证：AB=DF 12如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE=AF求证：ABF=CBE 13如图，在菱形ABCD中，过点D作DEAB于点E，作DFBC于点F，连接EF求证：（1）ADECDF；（2）BEF=BFE 14如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是AB、AD上的一点，且BFCE，垂足为G，求证：AF=BE 15如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在AD，DC上，且AE=DF求证：BE=AF 16已知，如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为BA延长线上一点，且CE=AF连接DE、DF求证：DE=DF 17如图，四边形ABCD是正方形，EBC是等边三角形（1）求证：ABEDCE；（2）求AED的度数18如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BEAC，CFBD，垂足分别为E，F求证：BE=CF 19如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE（1）求证：BE=CE（2）求BEC的度数 20如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，AEF=90，EF交正方形外角的平分线CF于F求证：AE=EF 21如图，AB是O的直径，C是O上一点，D在AB的延长线上，且BCD=A（1）求证：CD是O的切线；（2）若O的半径为3，CD=4，求BD的长 22如图，AB是O的直径，ACD=20，求BAD的度数 23如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径作O交BC于点D，过点D作O的切线DE交AC于点E，交AB延长线于点F（1）求证：DEAC；（2）若AB=10，AE=8，求BF的长 24如图，在RtABC中，C=90，以BC为直径的O交AB于点D，切线DE交AC于点E（1）求证：A=ADE；（2）若AD=16，DE=10，求BC的长 25如图，在ABC中，以BC为直径的O交AC于点E，过点E作O的切线且EFAB于点F，延长EF交CB的延长线于点G， （1）求证： ABG=2C（2）若sinEGC=，O的半径是3，求AF的长26如图，AB是O的直径，点C在AB的延长线上且直线CE是O的切线， AECD，垂足为点E（1）求证：，AD平分CAE （2）若BC=3，CD=3，求弦AD的长 27如图，RtABC中，C=90，BC=3，点O在AB上，OB=2，以OB为半径的O与AC相切于点D，交BC于点E，求弦BE的长 28如图，AB为O的直径，C为O上一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D，AD交O于点E，连接CE，CB（1）求证：CE=CB；（2）若AC=2，CE=，求AE的长 29如图，AB是O的直径，CD与O相切于点C，与AB的延长线交于D（1）求证：ADCCDB；（2）若AC=2，AB=CD，求O半径 30如图，AB与O相切于点B，BC为O的弦，OCOA，OA与BC相交于点P（1）求证：AP=AB；（2）若OB=4，AB=3，求线段BP的长 31如图，已知AB是O的直径，点P为圆上一点，点C为AB延长线上一点，PA=PC，C=30（1）求证：CP是O的切线（2）若O的直径为8，求阴影部分的面积 32如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将ADM沿直线AM对折，得到ANM（1）当AN平分MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值 33如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F（1）证明：PC=PE；（2）求CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当ABC=120时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由 2018年04月04日十二中数学2的初中数学组卷参考答案与试题解析一解答题（共37小题）1如图，点E，F在AB上，AD=BC，A=B，AE=BF求证：ADFBCE【解答】解：AE=BF，AE+EF=BF+EF，AF=BE，在ADF与BCE中，ADFBCE（SAS）2如图，AC=DC，BC=EC，ACD=BCE求证：A=D【解答】证明：ACD=BCE，ACB=DCE，在ABC和DEC中，ABCDEC（SAS），A=D3如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC（1）求证：ABCDFE；（2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形【解答】证明：（1）BE=FC，BC=EF，在ABC和DFE中，ABCDFE（SSS）；（2）解：如图所示：由（1）知ABCDFE，ABC=DFE，ABDF，AB=DF，四边形ABDF是平行四边形4如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，BCE=ACD=90，BAC=D，BC=CE（1）求证：AC=CD；（2）若AC=AE，求DEC的度数【解答】解：BCE=ACD=90，3+4=4+5，3=5，在ABC和DEC中，ABCDEC（AAS），AC=CD；（2）ACD=90，AC=CD，2=D=45，AE=AC，4=6=67.5，DEC=1806=112.55已知ABC中，ABC=ACB，点D，E分别为边AB、AC的中点，求证：BE=CD【解答】证明：ABC=ACB，AB=AC，点D、E分别是AB、AC的中点AD=AE，在ABE与ACD中，ABEACD，BE=CD6如图，A=B，AE=BE，点D在AC边上，1=2，AE和BD相交于点O（1）求证：AECBED；（2）若1=42，求BDE的度数【解答】解：（1）证明：AE和BD相交于点O，AOD=BOE在AOD和BOE中，A=B，BEO=2又1=2，1=BEO，AEC=BED在AEC和BED中，AECBED（ASA）（2）AECBED，EC=ED，C=BDE在EDC中，EC=ED，1=42，C=EDC=69，BDE=C=697已知：如图，在ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE=DF连接EF，与对角线AC交于点O求证：OE=OF【解答】证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，AB=CD，BE=DF，AB+BE=CD+DF，即AE=CF，ABCD，AECF，E=F，OAE=OCF，在AOE和COF中，AOECOF（ASA），OE=OF8如图，在ABCD中，BEAC，垂足E在CA的延长线上，DFAC，垂足F在AC的延长线上，求证：AE=CF【解答】证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，AB=CD，BAC=DCA，180BAC=180DCA，EAB=FCD，BEAC，DFAC，BEA=DFC=90，在BEA和DFC中，BEADFC（AAS），AE=CF9如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的两点，且BF=ED，求证：AECF【解答】证明：连接AC，交BD于点O，如图所示：四边形ABCD是平行四边形，OA=OC，OB=OD，BF=ED，OE=OF，OA=OC，四边形AECF是平行四边形，AECF10如图，分别以RtABC的直角边AC及斜边AB向外作等边ACD及等边ABE，已知：BAC=30，EFAB，垂足为F，连接DF（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形【解答】证明：（1）RtABC中，BAC=30，AB=2BC，又ABE是等边三角形，EFAB，AB=2AFAF=BC，在RtAFE和RtBCA中，RtAFERtBCA（HL），AC=EF；（2）ACD是等边三角形，DAC=60，AC=AD，DAB=DAC+BAC=90又EFAB，EFAD，AC=EF，AC=AD，EF=AD，四边形ADFE是平行四边形11如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE=CF，连接AF、CE交于点G求证：AG=CG【解答】证明：四边形ABCD是正方形，ADF=CDE=90，AD=CDAE=CF，DE=DF，在ADF和CDE中，ADFCDE（SAS），DAF=DCE，在AGE和CGF中，AGECGF（AAS），AG=CG12如图，在矩形ABCD，AD=AE，DFAE于点F求证：AB=DF【解答】证明：四边形ABCD是矩形，ADBC，B=90，AEB=DAE，DFAE，AFD=B=90，在ABE和DFA中ABEDFA，AB=DF13如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE=AF求证：ABF=CBE【解答】证明：四边形ABCD是菱形，AB=BC，A=C，在ABF和CBE中，ABFCBE（SAS），ABF=CBE14如图，在菱形ABCD中，过点D作DEAB于点E，作DFBC于点F，连接EF求证：（1）ADECDF；（2）BEF=BFE【解答】证明：（1）四边形ABCD是菱形，AD=CD，A=C，DEBA，DFCB，AED=CFD=90，在ADE和CDF，ADECDF；（2）四边形ABCD是菱形，AB=CB，ADECDF，AE=CF，BE=BF，BEF=BFE15如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是AB、AD上的一点，且BFCE，垂足为G，求证：AF=BE【解答】证明：四边形ABCD是正方形，AB=BC，A=CBE=90，BFCE，BCE+CBG=90，ABF+CBG=90，BCE=ABF，在BCE和ABF中，BCEABF（ASA），BE=AF16如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在AD，DC上，且AE=DF求证：BE=AF【解答】证明：四边形ABCD是正方形，AB=DA，BAE=ADF=90，在BAE和ADF中，BAEADF（SAS），BE=AF17如图，四边形ABCD是正方形，EBC是等边三角形（1）求证：ABEDCE；（2）求AED的度数【解答】（1）证明：四边形ABCD是正方形，ABC是等边三角形，BA=BC=CD=BE=CE，ABC=BCD=90，EBC=ECB=60，ABE=ECD=30，在ABE和DCE中，ABEDCE（SAS）（2）BA=BE，ABE=30，BAE=（18030）=75，BAD=90，EAD=9075=15，同理可得ADE=15，AED=1801515=15018如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，AEF=90，EF交正方形外角的平分线CF于F求证：AE=EF【解答】证明：取AB的中点H，连接EH；AEF=90，2+AEB=90，四边形ABCD是正方形，1+AEB=90，1=2，E是BC的中点，H是AB的中点，BH=BE，AH=CE，BHE=45，CF是DCG的角平分线，FCG=45，AHE=ECF=135，在AHE和ECF中，AHEECF（ASA），AE=EF19已知，如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为BA延长线上一点，且CE=AF连接DE、DF求证：DE=DF【解答】证明：四边形ABCD是正方形，AD=CD，DAB=C=90，FAD=180DAB=90在DCE和DAF中，DCEDAF（SAS），DE=DF20如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BEAC，CFBD，垂足分别为E，F求证：BE=CF【解答】证明：四边形ABCD为矩形，AC=BD，则BO=COBEAC于E，CFBD于F，BEO=CFO=90又BOE=COF，BOECOFBE=CF21如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE（1）求证：BE=CE（2）求BEC的度数【解答】（1）证明：四边形ABCD为正方形AB=AD=CD，BAD=ADC=90三角形ADE为正三角形AE=AD=DE，EAD=EDA=60BAE=CDE=150在BAE和CDE中，BAECDEBE=CE； （2）AB=AD，AD=AE，AB=AE，ABE=AEB，又BAE=150，ABE=AEB=15，同理：CED=15BEC=60152=3022如图，AB是O的直径，C是O上一点，D在AB的延长线上，且BCD=A（1）求证：CD是O的切线；（2）若O的半径为3，CD=4，求BD的长【解答】（1）证明：如图，连接OCAB是O的直径，C是O上一点，ACB=90，即ACO+OCB=90OA=OC，BCD=A，ACO=A=BCD，BCD+OCB=90，即OCD=90，CD是O的切线（2）解：在RtOCD中，OCD=90，OC=3，CD=4，OD=5，BD=ODOB=53=223如图，AB是O的直径，ACD=25，求BAD的度数【解答】解：AB为O直径ADB=90相同的弧所对应的圆周角相等，且ACD=25B=25BAD=90B=6524如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径作O交BC于点D，过点D作O的切线DE交AC于点E，交AB延长线于点F（1）求证：DEAC；（2）若AB=10，AE=8，求BF的长【解答】解：（1）连接OD、AD，DE切O于点D，ODDE，AB是直径，ADB=90，AB=AC，D是BC的中点，又O是AB中点，ODAC，DEAC；（2）AB=10，OB=OD=5，由（1）得ODAC，ODFAEF，=，设BF=x，AE=8，=，解得：x=，经检验x=是原分式方程的根，且符合题意，BF=25如图，在ABC中，以BC为直径的O交AC于点E，过点E作EFAB于点F，延长EF交CB的延长线于点G，且ABG=2C（1）求证：EF是O的切线；（2）若sinEGC=，O的半径是3，求AF的长【解答】解：（1）如图，连接EO，则OE=OC，EOG=2C，ABG=2C，EOG=ABG，ABEO，EFAB，EFOE，又OE是O的半径，EF是O的切线；（2）ABG=2C，ABG=C+A，A=C，BA=BC=6，在RtOEG中，sinEGO=，OG=5，BG=OGOB=2，在RtFGB中，sinEGO=，BF=BGsinEGO=2=，则AF=ABBF=6=26如图，在RtABC中，C=90，以BC为直径的O交AB于点D，切线DE交AC于点E（1）求证：A=ADE；（2）若AD=16，DE=10，求BC的长【解答】（1）证明：连接OD，DE是切线，ODE=90，ADE+BDO=90，ACB=90，A+B=90，OD=OB，B=BDO，ADE=A（2）连接CDADE=A，AE=DE，BC是O的直径，ACB=90，EC是O的切线，ED=EC，AE=EC，DE=10，AC=2DE=20，在RtADC中，DC=12，设BD=x，在RtBDC中，BC2=x2+122，在RtABC中，BC2=（x+16）2202，x2+122=（x+16）2202，解得x=9，BC=1527如图，AB是O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分CAE交O于点D，且AECD，垂足为点E（1）求证：直线CE是O的切线（2）若BC=3，CD=3，求弦AD的长【解答】（1）证明：连接OD，如图，AD平分EAC，1=3，OA=OD，1=2，3=2，ODAE，AEDC，ODCE，CE是O的切线；（2）连接BDCDO=ADB=90，2=CDB=1，C=C，CDBCAD，=，CD2=CBCA，（3）2=3CA，CA=6，AB=CABC=3，=，设BD=K，AD=2K，在RtADB中，2k2+4k2=9，k=，AD=28如图，已知AB是O的直径，CD与O相切于C，BECO（1）求证：BC是ABE的平分线；（2）若DC=8，O的半径OA=6，求CE的长【解答】（1）证明：DE是切线，OCDE，BECO，OCB=CBE，OC=OB，OCB=OBC，CBE=CBO，BC平分ABE（2）在RtCDO中，DC=8，OC=0A=6，OD=10，OCBE，=，=，EC=4.829如图，RtABC中，C=90，BC=3，点O在AB上，OB=2，以OB为半径的O与AC相切于点D，交BC于点E，求弦BE的长【解答】解：连接OD，作OFBE于点FBF=BE，AC是圆的切线，ODAC，ODC=C=OFC=90，四边形ODCF是矩形，OD=OB=FC=2，BC=3，BF=BCFC=BCOD=32=1，BE=2BF=230如图，已知：AB是O的直径，点C在O上，CD是O的切线，ADCD于点D，E是AB延长线上一点，CE交O于点F，连接OC、AC（1）求证：AC平分DAO（2）若DAO=105，E=30求OCE的度数；若O的半径为2，求线段EF的长【解答】解：（1）CD是O的切线，OCCD，ADCD，ADOC，DAC=OCA，OC=OA，OCA=OAC，OAC=DAC，AC平分DAO；（2）ADOC，EOC=DAO=105，E=30，OCE=45；作OGCE于点G，则CG=FG=OG，OC=2，OCE=45，CG=OG=2，FG=2，在RtOGE中，E=30，GE=2，31如图，AB为O的直径，C为O上一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D，AD交O于点E，连接CE，CB（1）求证：CE=CB；（2）若AC=2，CE=，求AE的长【解答】（1）证明：连接OC，CD是O的切线，OCCDADCD，OCAD，1=3又OA=OC，2=3，1=2，CE=CB；（2）解：AB是直径，ACB=90，AC=2，CB=CE=，AB=5ADC=ACB=90，1=2，ADCACB，=，即=，AD=4，DC=2在直角DCE中，DE=1，AE=ADED=41=332如图，AB是O的直径，CD与O相切于点C，与AB的延长线交于D（1）求证：ADCCDB；（2）若AC=2，AB=CD，求O半径【解答】（1）证明：如图，连接CO，CD与O相切于点C，OCD=90，AB是圆O的直径，ACB=90，ACO=BCD，ACO=CAD，CAD=BCD，在ADC和CDB中，ADCCDB（2）解：设CD为x，则AB=x，OC=OB=x，OCD=90，OD=x，BD=ODOB=xx=x，由（1）知，ADCCDB，=，即，解得CB=1，AB=，O半径是33如图，已知AB是O的直径，过O点作OPAB，交弦AC于点D，交O于点E，且使PCA=ABC（1）求证：PC是O的切线；（2）若P=60，PC=2，求PE的长【解答】解：（1）连接OC，AB是O的直径，ACB=90，BCO+ACO=90，OC=OB，B=BCO，PCA=ABC，BCO=ACP，ACP+OCA=90，OCP=90，PC是O的切线；（2）P=60，PC=2，PCO=90，OC=2，OP=2PC=4，PE=OPOE=OPOC=4234如图，AB与O相切于点B，BC为O的弦，OCOA，OA与BC相交于点P（1）求证：AP=AB；（2）若OB=4，AB=3，求线段BP的长【解答】（1）证明：OC=OB，OCB=OBC，AB是O的切线，OBAB，OBA=90，ABP+OBC=90，OCAO，AOC=90，OCB+CPO=90，APB=CPO，APB=ABP，AP=AB（2）解：作OHBC于H在RtOAB中，OB=4，AB=3，OA=5，AP=AB=3，PO=2在RtPOC中，PC=2，PCOH=OCOP，OH=，CH=，OHBC，CH=BH，BC=2CH=，PB=BCPC=2=35如图，已知AB是O的直径，点P为圆上一点，点C为AB延长线上一点，PA=PC，C=30（1）求证：CP是O的切线（2）若O的直径为8，求阴影部分的面积【解答】（1）证明：连接OP，如图所示：PA=PC，C=30，A=C=30，APC=120，OA=OP，OPA=A=30，OPC=12030=90，即OPCP，CP是O的切线（2）解：AB是O的直径，APB=90，OBP=90A=60，OP=OB=4，OBP是等边三角形，POC=60，OPCP，C=30，OC=2OP=2OB=8，PC=4，阴影部分的面积=扇形OBP的面积OBP的面积=44=436如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将ADM沿直线AM对折，得到ANM（1）当AN平分MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值【解答】解：（1）由折叠性质得：ANMADM，MAN=DAM，AN平分MAB，MAN=NAB，DAM=MAN