矩阵的分解.doc

巢 湖 学 院毕业论文题 目 矩阵的分解 学生姓名 叶 盛 学号 07025019 所在院(系) 数 学 系 专业班级 数学与应用数学 2007级1班 指导教师 吴 永 生 完成地点 巢湖学院 2011年 5月 矩阵的分解叶盛（巢湖学院 数学系，巢湖 238000）摘要：矩阵是代数中一个应用广泛的重要概念，是代数中的主要研究对象，将一矩阵分解为若干矩阵的和或积，是解决某些线性问题的重要方法，其技巧性，实用性强，本文首先分成四部分内容来阐述矩阵分解的形式及一些很常见的分解，最后举例说明矩阵分解的应用。关键词：满秩分解 特征值分解 三角分解 分解 矩阵的表示方法贯穿了高等代数的各个章节，高等代数中的许多问题都可以归结为矩阵的问题并最终通过矩阵解决。例如线性方程组的一些重要性质就反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，而且解线性方程组的过程也就是变换这种矩阵的过程。除此之外还有各种各样的问题提出了矩阵的概念，并且这些问题的研究常常表现为矩阵的某些方面的性质的研究，从而我们可以看出矩阵是数学中的一个应用广泛的极其重要的概念，矩阵也就成为代数中的一个主要研究对象。矩阵的分解方法是解决矩阵问题的主要方法之一，它的核心思想就是删繁就简，充分体现了解决数学问题的“转化“思想。本文从四个方面来论述矩阵的分解的形式，并以一些具体的例子来说明矩阵分解在实际应用中的重要性。一、 满秩分解定义1、设是一个矩阵，为其秩.如果矩阵和矩阵满足,则称为矩阵的一个满秩分解. 矩阵的秩永远不会超过其行数和列数.如果n阶方阵的秩远比其阶数小，则满秩分解可以大大简化求解方阵特征值的计算.设n阶方阵有满秩分解，则 如果阶方阵的秩远远小于其阶数,无疑通过上式右边的行列式来求方阵的特征值要比直接计算左边的行列式简单的多！ 设为矩阵，通过行的初等变换，可以将矩阵化为如下形式的简化行阶梯形矩阵 其中根据列向量组的性质，行初等变换不改变矩阵的列向量组的线性关系，从矩阵的简化行阶梯形矩阵可以续出下面结论：矩阵的秩为r矩阵的第个列向量组成的向量组为其列向组的极大线性无关组矩阵的每一个列向量均可由中的极大线性无关组线性表示，并且第j个列向量的线性表达式为 从而，矩阵可以表示为若记=，则矩阵为m列满秩矩阵，若记=则为矩阵，因为矩阵的第列构成r阶单位矩阵，所以矩阵为满秩矩阵。=就是矩阵的一个满秩分解。注：上面讨论说明任意矩阵都存在满秩分解，但矩阵的满秩分解未必唯一。二、 特征值分解定义2：任意阶矩阵，存在酉矩阵，使得，其中为矩阵的特征值。称形如这样的分解叫做矩阵的特征值分解。 定义：任意阶矩阵，存在酉矩阵，使得，其中，且为矩阵的特征值。对于对称矩阵有如下结论：定理2.1：若为阶实对称矩阵，则存在正交矩阵，使得，其中为矩阵的特征值。证明 由性质1,知存在酉矩阵，使得又由于为阶实对称矩阵，因此从而，得 因此 得证。定理2.2：矩阵为正定矩阵的充分必要条件是存在非奇异矩阵，使得。证明 必要性 因为为正定矩阵，由定理1.1，得存在可逆的正交矩阵，使得，且，从而有 充分性 因为， 则因此为对称矩阵。又任意不为零的向量，有令，又为非奇异矩阵， 从而因此 所以为正定矩阵。 得证。定理2.3：设是阶实对称矩阵，则是正定矩阵的充分必要条件是存在正定矩阵，使得，为任意正整数。证明 必要性 因为为正定矩阵，由定理1.1，得存在可逆的正交矩阵，使得，且，对任意的正整数，令，则有必要性 由于为正定矩阵，因此对任意的非零向量，有。又，则有， 即为对称矩阵且有当为奇数时， 又为正定矩阵，因此，即有 当为偶数时，又为正定矩阵，因此，即有 从而，知对任意不为零的向量，有。因此是正定矩阵。 得证。定理2.4：设为一个阶可逆矩阵，则存在一个正定矩阵和一个正交矩阵，使得或。证明 由定理1.2，知 为正定矩阵由定理1.3,得存在正定矩阵，使得令，得 从而有 因此为正交矩阵。且又 同理可证的结论。 得证。定理2.5：设是阶实对称矩阵，是的个单位正交特征向量，对应的特征值为。则。证明 因为为阶实对称矩阵，由定理1.1,知存在正交矩阵，使得 设，其中为的的第个行向量，则 ，于是有 因的行向量是的特征向量，且为正交矩阵，故为的单位正交特征向量。 得证。定理：为正定矩阵的充分必要条件是存在个线性无关的向量，使得。证明 因为为正定矩阵，由定理1.2，知存在可逆的矩阵，使得令，又由于为可逆矩阵，因此线性无关。又 得证。定理2.6：秩为的阶实对称矩阵可表示成个秩为小于等于1的对称矩阵之和。其组合系数为的特征值。证明 由定理1.1，知存在正交矩阵，使得 令，且设的秩为，则不妨令 有 由于秩秩，从而有 秩秩， 且组合系数为的特征值。 得证。三、三角分解定义3：设为阶实可逆矩阵，则可分解为，其中为正交矩阵，为一个对角线上全为正数的上三角形矩阵。称形如这样的分解为矩阵的三角分解。定理3.1：实矩阵可以分解成一个正交矩阵和一个对角矩阵及一个正交矩阵的积。即，其中、为正交矩阵，为的秩且，。证明 存在可逆矩阵、，使得由性质3，对、作三角分解，使得，其中、为正交矩阵，、为上三角矩阵，从而有 将、分块成与等价标准形能积的形式：、，、为阶方阵。记，由定理1.2，得 为实对称的正定矩阵。且有 （1）由定理2.1，得 存在阶正交矩阵，使得 ，其中，记， 可得，从而知为正交矩阵。现令、显然、为正交阵。由（1）式，得 其中、为正交矩阵，现令，则 ，且。 得证。4、 矩阵的分解定义4 如果非奇异矩阵能够化成正交矩阵与非奇异上三角矩阵的乘积，即,则称可分解。定理4 如果是n阶非奇异矩阵，则存在着使成立，且除去相差一个对角元素的绝对值（模）全等于1的对角矩阵因子外，分解是唯一的。证明 记的列向量方针A是非奇异矩阵，所以列向量线性无关。对的列向量正交化得正交向量， 其中 K=在单位化有：=于是R=，则是正交矩阵，是非奇异上三角矩阵，且有五、矩阵分解的应用例1 经过行的初等变换，我们有于是矩阵A的秩为2，令B=，C=则为矩阵的一个满秩分解。该例中矩阵的列向量极大无关组不唯一，导致其满秩分解也不唯一，取不同的列向量极大线性无关组，则得不同的满秩分解。例如，取其第1列和第3列为极大无关组，则此时，令，则A=为矩阵的又一个满秩分解，载入，取第1列和第4列为极大列无关组，则此时，令则A=为矩阵的另一个满秩分解。例2 设矩阵，求。解 对矩阵作如下的初等变换 所以的初等因子为，。所以的标准形为 从而得 即例3设为阶矩阵，且，证明：秩+秩。解 由于，则因此，为的化零多项式从而有 所以的最小多项式的根只能为-1或1又的特征多项式与最小多项式有相同的根，因此的特征值为-1或1假设的特征值中有个-1（或1），则的另外的个特征值必为-1（或1）。由性质1，知存在正交矩阵，使得 则有 因此 同理可得 则有 从而有 秩+秩 得证。例4设是秩为的级矩阵。 证明: 存在秩为的方阵和使得。证明 因为是秩为的级矩阵，由性质2,得 存在可逆矩阵、，使得现令、，则 得证。例5 试用schmidt正交化的方法求矩阵=的分解解 取正交化得正交向量 =可单位化有Q=取R=则 例6 设为级矩阵, 求证: (1) 存在正整数使得秩() 秩(); (2) 若存在正整数使得秩()秩(), 则对于任意正整数, 秩()秩()。证明 由性质,知存在酉矩阵，使得，其中，且为矩阵的特征值。不妨假设、，则可得，为可逆矩阵，因此对任意的正整数，有， （2）又对任意，且， （3）因此可令，则由（3）式，知 （4）由（4），得对任意的，有 从而由（2）、（4），得秩秩且对任意的正整数，也有秩秩 得证。六、结束语 通过上述的讨论，对矩阵的分解有了一定的认识，将一矩阵分解为若干个矩阵的和或积，是解决某些线性问题的重要方法，其技巧性、实用性强。本文首先分成四部分内容来阐述矩阵分解的形式及一些很常见的分解。最后举例说明矩阵分解的应用参考文献 王岩,王爱青.矩阵分解的应用J.青岛建筑工程学院学报 2005,26（2）:90-93. 屈立新.关于矩阵的分解形式J.邵阳学院学报(自然科学版) 2005,2(3):4-5. 曲茹,王淑华.正交矩阵的正交分解J.高师理科学刊 2001,21(2):19-22.4 王焕庭 矩阵的三角分解及其应用J,教师学刊 2010,6(3):75-765 靳全勤。初等变换的一个应用：矩阵的满秩分解J。大学数学学刊，2009，10（5）：195-197。 2010,6(3):75-76 同济大学应用数学系 高等代数与解析几何M高等教育出版社 20057 李师正。高等代数解题方法与技巧M。北京：高等教育出版社，2006.8 北京大学数学系 高等代数M第二版 高等教育出版社 2003The analysis of the matrix Sheng Ye (Major in Mathematics and Applied Mathematics, Department of Mathematics,chaohu college,anhui,238000,china)Abstract:Themartix is a important concept what is used in algebra.It is a mostly subject to study in algebra.Will a matrix decomposition into several matrix and or product,it is an important issue of solving some linear method.Its craft is strong,strong practicabicity.This paper first divided into four sections to elaborate the decomposition of matrix form and some very co