求下列微分方程的通解.doc

习题12-4 1. 求下列微分方程的通解: (1); 解 . (2)xy+y=x2+3x+2; 解 原方程变为. . (3)y+ycos x=e-sin x; 解 . (4)y+ytan x=sin 2x; 解 =cos x(-2cos x+C)=C cos x-2cos2x . (5)(x2-1)y+2xy-cos x=0; 解 原方程变形为. . (6); 解 . (7); 解 . (8)yln ydx+(x-ln y)dy=0; 解 原方程变形为. . (9); 解 原方程变形为. =(x-2)(x-2)2+C=(x-2)3+C(x-2). (10). 解 原方程变形为. . 2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解: (1), y|x=0=0; 解 . 由y|x=0=0, 得C=0, 故所求特解为y=xsec x . (2), y|x=p=1; 解 . 由y|x=p=1, 得C=p-1, 故所求特解为. (3), ; 解 . 由, 得C=1, 故所求特解为. (4), y|x=0=2; 解 . 由y|x=0=2, 得, 故所求特解为. (5), y|x=1=0. 解 . 由y|x=1=0, 得, 故所求特解为. 3. 求一曲线的方程, 这曲线通过原点, 并且它在点(x, y)处的切线斜率等于2x+y . 解 由题意知y=2x+y, 并且y|x=0=0. 由通解公式得 =ex(-2xe-x-2e-x+C)=Cex-2x-2. 由y|x=0=0, 得C=2, 故所求曲线的方程为y=2(ex-x-1). 4. 设有一质量为m的质点作直线运动, 从速度等于零的时刻起, 有一个与运动方向一至、大小与时间成正比(比例系数为k1)的力作用于它, 此外还受一与速度成正比(比例系数为k2)的阻力作用. 求质点运动的速度与时间的函数关系. 解 由牛顿定律F=ma, 得, 即. 由通解公式得 . 由题意, 当t=0时v=0, 于是得. 因此 即 . 5. 设有一个由电阻R=10W、电感L=2h(亨)和电源电压E=20sin5t V(伏)串联组成的电路. 开关K合上后, 电路中有电源通过. 求电流i与时间t的函数关系. 解 由回路电压定律知 , 即. 由通解公式得 . 因为当t=0时i=0, 所以C=1. 因此 (A). 6. 设曲在右半平面(x0)内与路径无关, 其中f(x)可导, 且f(1)=1, 求f(x). 解 因为当x0时, 所给积分与路径无关, 所以 , 即 f(x)=2f(x)+2xf(x)-2x, 或 . 因此 . 由f(1)=1可得, 故. 7. 求下列伯努利方程的通解: (1); 解 原方程可变形为 , 即. , 原方程的通解为. (2); 解 原方程可变形为 , 即. , 原方程的通解为. (3); 解 原方程可变形为 , 即. , 原方程的通解为. (4); 解 原方程可变形为 , 即. , 原方程的通解为. (5)xdy-y+xy3(1+ln x)dx=0. 解 原方程可变形为 , 即. , 原方程的通解为. 8. 验证形如yf(xy)dx+xg(xy)dy=0的微分方程, 可经变量代换v=xy化为可分离变量的方程, 并求其通解. 解 原方程可变形为 . 在代换v=xy下原方程化为 , 即 , 积分得 , 对上式求出积分后, 将v=xy代回, 即得通解. 9. 用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程, 然后求出通解: (1); 解 令u=x+y, 则原方程化为 , 即. 两边积分得 x=arctan u+C. 将u=x+y代入上式得原方程的通解 x=arctan(x+y)+C, 即y=-x+tan(x-C). (2); 解 令u=x-y, 则原方程化为 , 即dx=-udu. 两边积分得 . 将u=x+y代入上式得原方程的通解 , 即(x-y)2=-2x+C(C=2C1). (3)xy+y=y(ln x+ln y); 解 令u=xy, 则原方程化为 , 即. 两边积分得 ln x+ln C=lnln u, 即u=eCx. 将u=xy代入上式得原方程的通解 xy=eCx, 即. (4)y=y2+2(sin x-1)y+sin2x-2sin x-cos x+1; 解 原方程变形为 y=(y+sin x-1)2-cos x. 令u=y+sin x-1, 则原方程化为 , 即. 两边积分得 . 将u=y+sin x-1代入上式得原方程的通解 , 即. (5)y(xy+1)dx+x(1+xy+x2y2)dy=0