房地产投资决策的期权博弈分析

房地产投资决策的期权博弈分析摘要：近年来随着房地产行业竞争的日益加剧，基于房地产企业核心竞争力的战略投资越来越引起房地产企业的重视。在一些资产雄厚的企业中，一家房地产公司可以同时对几个项目进行投资，这就需要企业充分考虑内部资金的合理分配，项目的投资顺序等系列投资决策问题，以使企业获得的综合效益最大。引用期权博弈理论对房地产企业内部的项目投资决策进行研究，在深入剖析房地产开发项目所具有的期权特性的基础上，建立房地产企业内部双项目投资期权博弈模型。此外，我们还将利用变分法对模型的最优解进行讨论，从而为房地产企业内部多项目投资提供最优化策略建议。关键词：房地产投资；战略投资；期权博弈；变分法；最优策略中图分类号：F127文献标志码：A文章编号：1673-291X（2012）35-0060-041问题提出近年来房地产项目投资决策已经成为众多房地产开发商所关注的热点。目前，我国房地产投资在评估新的项目的时候，主要有两类投资决策方法。第一类是传统的投资方法，目前使用比较广泛。它主要是采用传统的贴现现金流法来评估整个项目的价值，但因为这种方法是一种比较静态而且刚性的评价方法，忽略了未来收益的不确定性和项目实施过程中的管理弹性价值，以及投资时机的选择，因此，在许多情况下，缺少对投资项目价值的客观真实评价，从而导致决策的失误，错过合适的投资机会。第二类是1991年Smets1提出的期权博弈理论投资方法，在1993年，Smit和Ankum2建立了第一个离散型的期权博弈模型。此这种方法将Hayes和Abernathy3，Hayes和Garvin4，StewartMyers5提出的实物期权理论与博弈论结合起来，他们通过把期权定价结合到各种博弈模型中，确立了间断时间期权博弈的标准分析模式。Williams（1993）6和Grenadier（1996）7是最早结合实物期权和博弈论来分析房地产开发实际问题的论文。Williams（1993）开发了一种投资时机的均衡模型，该模型考虑了开发商期权执行对已开发和未开发房地产新供给的内生影响。Grenadier首次将期权博弈模型应用到房地产市场中，考察了投资期权的策略执行问题。期权博弈评价的基本思想是在项目价值可行性判别这一目标下，全面考虑影响项目价值的因素，确定出不确定性环境中的项目价值函数、基于主体策略互动的项目均衡价值组合，并最终判别项目可行性的条件和最优化的组合。这种方法的一个优点就是正视了投资项目中存在的不确定性，并将管理弹性价值和战略价值也作为影响投资的因素加以考虑，因而更加科学。房地产投资是整个房地产发展的重要动力和引擎。由于房地产业具有投资资金大，开发周期长，不确定性大等特点，而期权博弈理论正是为适应这种类型的项目投资而迅速发展起来的，它综合考虑了市场的不确定性，不完全信息，竞争者的反应等因素，并根据这些因素设置相应的变量，建立一个包含有博弈论思想的模型，为投资决策者提供了更加科学的理论基础。然而，房地产企业除了面临与竞争对手之间的项目决策，他们更多的会面临对企业内部多个项目进行投资的问题。当企业资金充足时，需要考虑各项目的投资额，从而实现最小的投入获得最大的收益；当企业资金不足时，多个项目便不能同时投入市场，需要求出各个项目投入市场的最佳时间，制定有限资金的合理分配方案，以使企业获利最大。另外，我们知道房地产项目投资决策问题总体上属于系统控制和动态优化问题，对于此类问题我们常用动态规划的方法进行研究。动态规划方法是解决多阶段决策以及一大类线性、非线性规划问题的有效方法，对于某些离散性的控制问题，它是有效的方法，但对于连续型的控制问题，动态规划方法使用起来并不方便。而房地产开发项目资金安排的控制则恰属于系统控制中的连续型控制问题，解决这种连续型的最优控制问题的可行方法之一是变分法，它是解决一大类泛函极值的有效方法。变分法是研究泛函极值的一种方法，在力学、物理学、光学、经济学、信息论与自动控制论等诸多方面有广泛应用。泛函是指一个因变量，其值取决于一个或多个函数，这一个或多个函数是泛函的“自变量”，而泛函就是这些函数的“函数”，这些“自变量”往往是一元或多元函数。变分问题就是求泛函极值问题，它有很多种，但最后的求解都可以归结为解欧拉方程的边值问题。极值原理的应用又使变分法在此类最优控制问题上的研究更具有可行性。对于房地产开发项目的资金分配问题，陈伟和于福海8曾应用变分法将生产性和营销性的资金投入比例问题转化成相应的数学模型，并求出最优解，从而得到使开发商获得最大收益的决策方案。本文引入期权博弈理论来研究房地产企业多项目战略投资最佳时间组合和不同项目资金分配的问题，建立相应的数学模型，再利用变分法求解，从而为房地产企业项目投资提供最优策略建议。2模型描述在期权博弈理论的投资战略中，假设房地产投资的风险是中性的，使用无风险贴现率，企业的逆需求函数为：P（t）=Y（t）D（NA，NB）这里Y（t）是符合几何布朗运动（取值永远不小于）的随机需求冲击因子（反映着市场需求的随机变化性）。dY（t）=Y（t）dt+Y（t）dz上式中：飘移项；资产价格的变动率；dz维纳增量；如果经营成本为0，则P（t）可被解释为利润流。根据期权博弈理论，在相应的时间点是否进行投资，还存在着一个投资临界值，当Y小于投资临界值YF时，说明市场需求状况不佳，企业不进行投资；当Y大于YF时，企业会进行投资。下面我们将以房地产企业对两个项目投资为例，多个项目的投资可以类比实施。假设一家房地产公司在同一时间拍下两个项目A和B。根据期权博弈公式可知D（NA，NB）是确定的市场需求参数，它取决于公司对两个项目的投资情况NK，其中kA，B：当NK=1时，对K进行投资，当NK=0时，对K不进行投资，即D（NA，NB）的可能值为：（1）D（0，0）表示项目A和项目B均不投资；（2）D（1，0）表示项目A先进行投资并成为领导者，项目B暂不投资并成为跟随者；（3）D（0，1）表示项目B先进行投资并成为领导者，项目A暂不投资并成为跟随者；（4）D（1，1）表示项目A和项目B同时进行投资。对于第（1）种情况，我们拟设定成品房收益率高于地皮增值收益率，且企业没有出现资金链断裂等极端状态，则（1）种情况发生的可能性很小，基本符合当前房地产市场的项目投资开发的实际。此外，2012年6月1日国土资源部第53号令规定：土地未动土开发满一年，按照土地出让或者划拨价款的20%征缴土地闲置费；土地未动土开发满两年，无偿收回国有建设用地使用权。这就更加减少了房地产企业土地招牌挂成功后的土地闲置率。对于第（2）和第（3）种情况，我们可以把它们看成是同一种方案：在企业资金有限的情况下，两个项目针对自己所要投入市场的情况，分先后顺序进入各自的市场。这就需要企业先对市场进行考察，并求出两个项目进入各自市场的最佳时间，先进入市场的称为领导者，另一个称为跟随者。下面将对以上两种情况进行分析。D（1，0）表示此时的A为领导者，B为跟随者。此种情况下，可以看成起初项目将公司的资金垄断，只用来满足对自己的投资，当投资到一定时期时，由于对楼盘的营销活动等因素，会有业主前来购房，这样就会有一定的资金回流，未来收益又将作用于企业投资战略决策，即将公司内现存的部分资金投入到对项目B的建设中，接下来是项目A和项目B以不同的进度同时进行开发。项目A处于垄断阶段时，其利润流为YD（1，0），当在t=t1处时，利润跌至YD（1，1）。在此问题中，我们重在解决跟随者进行项目投资的时间，从而实现两个项目的总收益最大化。对于第（4）种情况，需要我们同时对两个项目进行投资。这就需要我们确定每个项目的投资额分配，该投资额的确定，与两个项目总效用的折现率控制。3模型建立与最优解讨论基于期权博弈对上述房地产企业内部双项目投资的四种情况深入分析，我们将分D（1，0）（或D（0，1）和D（1，1）两类建立房地产企业对内部项目投资的期权博弈模型，同时，我们还利用变分法对模型的最优解进行讨论。（1）D（1，0）（或D（0，1）投资模型利用资产组合复制方法，确定领导者的垄断价值为M（Y），则领导者的价值L（Y）可以表示为：L（Y）=M（Y）-I（I为投资沉没成本）其中M（Y）满足以下贝尔曼偏微分方程9-10：该方程的解是由一个齐次解，加上方程的一个特解，其中1和2是特征方程的两个根。其中：根据上述贝尔曼偏微分方程，初始条件：M（0）=0，价值匹配条件：M（Y）=V（YF）-I，平滑粘贴条件：MY（YF）=VY（YF），求解得：因此，当Y当YYF时，领导者进行投资的最佳时间为：D（0，1）表示此时的为领导者，A为跟随者。项目B处于垄断阶段时，其利润流为YD（0，1），当在t=t1处时，利润跌至YD（1，1）。利用资产组合复制方法，确定跟随者的项目期权价值F（Y）满足贝尔曼偏微分方程：求得跟随者的项目价值为：其中，投资阈值：因此，跟随者的价值可以表示为：当Y当YYF时跟随者进行投资的最佳时间为：。接下来讨论资金的分配问题：首先，开发商手中有固定资金l（t），设先开发的项目设为i（i=1，2），且两项目的产品是相同的。对第二个项目进行投资的时刻设为Tj（j=F，L）。现在将资金的一部分li（t）安排到项目i的投资中，在此期间会用这部分资金对项目i进行工程建设和项目营销，通过开展各种营销活动，提高楼盘的知名度及销售业绩，加快资金周转及投入资金的回收，假设Tj时刻回收回来的资金为Ic（t），然后将开发商起初剩余的资金l（t）-li（t）和lc（t）都安排到第二个项目的投资中，后面将用（t）代替（t）=l（t）-li（t）+lc（t）。设第一个项目的工程完成量函数为c1（t）=f（li（t），工程完成量的效用为u（c1）。效用11是西方经济学中的概念，类似于商品或服务的使用价值，是商品或服务为消费者带来的某种满足，在本文中，效用可理解为项目的资金投入为房地产商带来的直接利益。设第二个项目完成量函数为c2（t）=g（t），工程完成量的效用为u（cB）。开发商在t时间段内创造或回收价值的速度8为V（c1，c2）=u（c1（t）+u（c2（t）将t时间段项目创造的总价值换算为获准预售时刻的现值，则为e-rtV（c1，c2），0rr为折现率。则在0，T内，开发商获得的全部效用折现后就是综上，可得到如下的数学模型：设拉格朗日乘子为，则拉格朗日函数为欧拉方程是：解方程得：（2）D（1，1）投资模型针对第（4）种情况：假设在t时间段内，开发商共有资金l（t），其中lA（t）安排到项目A，lB（t）安排到项目B。设项目A的完成量函数为cA（t）=f（lA（t）项目完成量的效用为u（cA）。由于两个项目是由同一家公司投资的，所以在对外宣传上会有相互影响，因此不妨设项目的完成量与项目的完成量成正比，即af（lA（t），则项目B的完成量函数为cB（t）=af（lA（t），项目完成量的效用为u（cB），开发商在t时间段内创造或回收价值的速度为V（cA，cB）=u（cA（t）+u（cB（t）将t时间段项目创造的总价值换算为获准预售时刻的现值，则为e-rtV（cA，cB），0rr为折现率。则在0，T内，开发商获得的全部效用折现后就是综上，可得到如下的数学模型：设拉格朗日