奶产品定价4.doc

奶产品定价摘要：奶制品定价关乎于政府对奶制品生产者的利益保护，对社会安定影响起重大作用。对奶制品定价，我们步骤如下：1.需要测定市场需求，本文中奶制产品需求量与需求价格的伸缩性有密切关系；2.分析竞争者的产品与价格，如奶酪1与奶酪2是可以相互替代的，这就需要考虑两者的价格的交叉伸缩性；3.确定定价方法，建立非线性规划数学模型。针对问题，我们建立了非线性规划模型，应用建模软件MATLAB高效的求解技术，进行了模型求解，得到奶制品定价，以及在此价格下的销售总收入。在问题二中，由于政策不允许某种价格指标上升，所以我们对4种产品分情况进行讨论，分别得到这4种产品价格指标不上升时所造成的经济代价。关键词：非线性规划 MATLAB软件 定价 销售总收入 经济代价一、问题重述某国政府要为其牛奶、奶油和奶酪等奶制品定价。所有这些产品都直接或间接的来自国家的原奶生产。原奶首先要分离成脂肪和奶粉两种组合，去掉生产出口产品和农场消费的产品后，余下的共有60万吨脂肪和70万吨奶粉，可用于生产牛奶、奶油和两种奶酪，供国内全年消费。 各种产品的百分比组成见下表：产品成分脂肪奶粉水牛奶4987奶油80218奶酪1353035奶酪2254035往年的国内消费和价格如下表：产品牛奶 奶油奶酪1奶酪2消费量（千吨）482032021070价格（元/吨）2977201050815价格的变化会影响消费需求。为表现这方面的规律，定义需求的价格伸缩性 E：E=需求降低百分数/价格提高百分数；各种产品的E值，可以据往年的价格和需求变化情况的统计数据，用数理统计方法求出。另外，两种奶酪的需求，随它们价格的相对变化，在某种程度上可以相互替代。表现这一规律要用需求关于价格的交叉伸缩性EAB其定义为：EAB=A需求提高百分数/B价格提高百分数。奶酪1到奶酪2的E12值和奶酪2到奶酪1的交叉伸缩性E21值,同样可以凭数据用统计方法求出。现已经求出牛奶、奶油、奶酪1、奶酪2的E值依次为0.4，2.7，1.1和0.4以及E12=0.1, E21=0.4。问题一：试求出4种产品的价格及所导致的需求，使销售总收入为最大。问题二：如果政策不允许某种价格指标上升，这使得新的价格必须使消费的总费用较上一年度不增加，这是对这个问题的一个特别重要的附加要求。请对这一政策限制的经济代价给出数量表示。二、问题分析非线性规划规划数学模型的建立如何使其具有较好的可解性和灵活性，是两个不容忽视的重要问题。目前对非线性规划的求解还在发展阶段，只有当模型具有某种使问题简化的特殊结构时才有有效的解法，如可分规划法、二次规划法等；动态规划法由于存在“维数实”，不适合于求解多状态变量的复杂系统的优化问题。对于一般非线性规划，只能采用直接寻优的方法求解。目前常见的“拉格朗日乘子法”或“罚函数”等用来求解这种多约束、多变量的一般非线性规划是直接寻优的一种途径，但都无法避免来自三个方面的困难。本研究采用MATLAB求解非线性规划，不仅避免了上述的困难，且可以保证直接求得全局最优，其精度也可以按规划的要求来控制，总是容易得到满足，起到了事半功倍的效果。 建立非线性规划模型遵循六个步骤：（1）设置决策变量；（2）确定资源常量；（3）找出决策变量之间的关系及其与资源约束常量之间的关系；（4）找出决策变量的价值系数并形成目标函数；（5）确定每个决策变量的取值范围；（6）整理所得到的代数表达式，形成规范的非线性规划数学模型。问题一分析：问题为对4种产品进行定价，所以4种产品的价格为决策变量，目标函数为使得销售总收入为最大，问题中有如下约束：（1）每种商品价格均非负，（2）材料约束：各种产品的百分比组成*各种产品的需求量材料，（3）各产品水的总和0,。确定资源常量，并找出约束关系。问题二分析：问题二中政策不允许某种价格指标上升，这使得新的价格必须使消费的总费用较上一年度不增加。由此我们对问题进行分4种情况分别讨论，得到分别当这4种产品价格指标不上升时的经济代价，即与上一年比较所损失的收入。三 模型的基本假设 假设:往年的国内消费和价格均无异常；假设:国内的消费和价格不受其他外界因素影响；假设:需求的价格伸缩性与交叉伸缩性均为真实值，且每年固定不变。四 符号说明：产品价格:产品需求：需求的价格伸缩性：需求价格的交叉伸缩性Z：销售总收入五、模型的建立与求解问题一现已知需求关于价格的伸缩性E其定义为：由公式变形得各产品的需求提高百分数，公式变形如下：因此我们可以求得各产品需求价格： 牛奶、奶油的需求量:牛奶：奶油：由于两种奶酪的需求，随它们价格的相对变化，在某种程度上可以相互替代。表现这一规律要用需求关于价格的交叉伸缩性EAB其定义为：所以奶酪1的需求量是由奶酪1的价格和奶酪2的价格同时决定的，而奶酪2的需求量也是由奶酪2的价格和奶酪1的价格同时决定的：奶酪1、奶酪2的需求量: 奶酪1：奶酪2：二确立目标函数我们设置4种产品定价为决策变量，设牛奶、奶油、奶酪1、奶酪2分别为，建立使得销售总收入为最大的目标函数Z： 由题可知，原奶首先要分离成脂肪和奶粉两种组合，去掉生产出口产品和农场消费的产品后，余下的共有60万吨脂肪和70万吨奶粉，可用于生产牛奶、奶油和两种奶酪，供国内全年消费。 各种产品的百分比组成见下表：产品成分脂肪奶粉水牛奶4987奶油80218奶酪1353035奶酪2254035由此得到约束1，2，3，4:约束1：各产品成分中，脂肪的总和不得大于60万吨；约束2：各产品成分中，奶粉的总和不得大于70万吨；约束3：各产品成分中，水的总和要大于0；约束4：各产品定价要大于0。得到约束方程如下：代入，经MATLAB化简得：以上为非线性规划，在MATLAB中求解可得最优解(见附录(1)、(2):即，当牛奶的价格为524.4元，奶油的价格为582.0元，奶酪1的价格为1222.7元，奶酪2的价格为1953.2元时，销售总收入最大，为元。问题二问题而中假设如果政策不允许某种价格指标上升，这使得新的价格必须使消费的总费用较上一年度不增加。现假设牛奶的价格指标不上升即297(元)，上一年度的消费总费用为问题一中的最大总收入。设：奶油、奶酪1、奶酪2分别为决策变量，牛奶的价格不变仍然为297(元)，则得到目标函数及约束如下：分别为决策变量的需求量。由于我们有价格伸缩性和交叉伸缩性，由此我们可得到关于的关系式，代入并简化得到目标函数与约束条件以上数学模型在MATLAB中求解得最优解(见附录(3)、(4)：即当牛奶价格为297元不变时，奶油价格为641.5元，奶酪1价格为1249元，奶酪2价格为1974.2元，所能获取的最大销售总收入为元，比上一年降低，这一政策的实行的经济代价为元。同理可得：当奶油价格为720元不变时，牛奶价格为468.5元，奶酪1价格为5091元，奶酪2价格为2989.4元，销售总收入为元，比上一年降低，经济代价为元。当奶酪1价格为1050元不变时，牛奶价格为524.8元，奶油价格为594.5元，奶酪2价格为1821.6元，销售总收入为元，比上一年降低，经济代价为元。当奶酪2价格为815元不变时，牛奶价格为524.7元，奶油价格为592.7元，奶酪1价格为1091.4元，销售总收入为元，比上一年降低，经济代价为元。六、模型的评价在这次模型建立中，我们运用了非线性规划模型，并运用MATLAB强大的运算能力，可以较简单计算得到我们所需要的结果。由于使用了MATLAB，所以需要有一定的编程能力。但这不会影响模型计算的结果。七、模型推广该方法能够较简单准确的得到产品定价的最优方案。只要在实际情况中稍加改动，便可以运用去其他公司与企业的产品规划问题中。过程简单易懂，而且结果准确。八、参考文献1：朱建青，张国梁 数学建模方法 2003年8月第1版 郑州：郑州大学出版社；2：宣明 数学建模与数学实验 2010年9月1日 浙江大学出版社；3：周柯 非线性规划的算法研究 2009 年11月2日 中国论文下载中心；附录：(1)function f=fun1(x);f=-(1000*x(1)*(6748-1928/297*x(1)+1000*x(2)*(1184-6/5*x(2)+1000*x(3)*(420-11/50*x(3)+21/815*x(4)+1000*x(4)*(70-28/815*x(4)+2/75*x(3);(2) x0=0;0;0;0;A=-19280/33 -120/5 -830/15 -980/163;-77120/297 -960 -2110/30 -70/163;559120/99 1080/5 203/3 490/163;b=-85000;-781620;6255380;Aeq=;beq=;VLB=0;0;0;0;VUB=;x,fval=fmincon(fun1,x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)(3) function f=fun2(x);f=-(1431540000+1000*x(1)*(1184-6/5*x(1)+1000*x(2)*(420-11/50*x(2)+21/815*x(3)+1000*x(3)*(70-28/815*x(3)+