二、极坐标系

极坐标系 从这向东走500米 请问 去 中学怎么走 请分析上面这句话 他告诉了问路人什么 从这向东走500米 出发点 方向 距离 在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置 这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想 就是极坐标的基本思想 一 极坐标系的建立 在平面内取一个定点O 叫做极点 引一条射线OX 叫做极轴 再选定一个长度单位和计算角度的正方向 通常取逆时针方向 这样就建立了一个极坐标系 O 强调 不做特殊说明时 0 R当 0时 表示极点 0 表示线段OM的长度 叫做点M的极径 有序数对 就叫做点M的极坐标 表示以OX为始边 射线OM为终边的角 叫做点M的极角 二 极坐标系内一点的极坐标的规定 例1 如图 写出各点的极坐标 x A 4 0 E 4 5 1 例2 下图是某校园的平面示意图 点A B C D E分别表示教学楼 体育馆 图书馆 实验楼 办公楼的位置 建立适当的极坐标系 写出各点的极坐标 变式训练 在课本P10的图上描下列点 小结 由极坐标描点的步骤 1 先按极角找到点所在射线 2 在此射线上按极径描点 三 点的极坐标的表达式的研究 如图 OM的长度为4 请说出点M的极坐标的表达式 思考 这些极坐标之间有何异同 思考 这些极角有何关系 这些极角的始边相同 终边也相同 也就是说它们是终边相同的角 极径相同 不同的是极角 四 极坐标系下点与它的极坐标的对应情况 1 给定 就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M 2 给定平面上一点M 但却有无数个极坐标与之对应 原因在于 极角有无数个 3 如果限定 0 0 2 那么除极点外 平面内的点和极坐标就可以一一对应了 点与极坐标是一对多的关系 在一般情况下 极径都是取正值 但在某些必要的情况下 也允许取负值 0 当 0时如何规定 对应的点的位置 当 0时 点M 的位置规定 M 点M 在角 终边的反向延长线上 且 OM 五 关于负极径 小结 从比较来看 负极径比正极径多了一个操作 将射线OP 反向延长 关于负极径的思考 负极径 真是 负 的 根据极径定义 极径是距离 当然是正的 现在所说的 负极径 中的 负 到底是什么意思 负极径的实质 从比较来看 负极径比正极径多了一个操作 将射线OP 反向延长 而反向延长也可以看成是旋转 因此 所谓 负极径 实质是管方向的 这与数学中通常的习惯一致 用 负 表示 反向 负极径小结 极径变为负 极角增加 说出下图中当极径取负值时各点的极坐标 练一练 x 小结 2k 2k 1 都是同一点的极坐标 1 与直角坐标系的联系与区别 极坐标系与直角坐标系的异同是什么 都是用有序实数对来表示平面上的点 其中坐标的意义不同 直角系的坐标与平面上点是一一对应的 极坐标系的坐标与平面上点多对一的 有没有办法使极坐标与点之间一一对应 除极点外 限制 平面内一点P的直角坐标是 其极坐标如何表示 点Q的极坐标为 其直角坐标如何表示 思考 六 极坐标与直角坐标的互化公式 互化公式的三个前提条件 1 极点与直角坐标系的原点重合 2 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合 3 两种坐标系的单位长度相同 例3 互化下列直角坐标与极坐标 小结 建立一个极坐标系需要哪些要素极点 极轴 长度单位 角度单位和它的正方向极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式 无数 极角有无数个一点的极坐标有否统一的表达式 有 2k 极坐标与直角坐标的互化 课堂练习 2