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一道高考题引发的思考 浙江省温州中学 李芳 陈相友一年一度的普通高校招生考试又如约而至，每年的这份盛宴都会引起品尝者的浓厚兴趣. 2007年浙江省普通高校招生考试的试卷便给人耳目一新的感觉.许多题目的设计别具匠心，不仅设问角度新颖、而且解答灵活多样.其中的第16道填空题，格外引起笔者的关注！试题如下：已知点O在二面角-AB-的棱上, 点P在内，且. 若对于内异于O的任意一点Q，都有，则二面角-AB-的大小是 . （）看到此题，笔者不禁想起，在全日制普高数学教科书第二册（下B）第43页中的一个结论：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，以及斜线和平面内的任一条直线所成的角之间的关系为：（）（其中，为射影与直线所成的角）. 图1试题（）的设计似乎源自结论（）的灵感. 将结论（）辅以二面角的背景，即出现题（）：直二面角-AB-中，点O在棱AB上，点P在内，且.若对于内异于O的任意一点Q，则的大小范围是 .题（）的解法如下：在直二面角-AB-中，令，即为斜线与平面所成的角，令，.则由结论（）得，. 图2，即.由此，为题（）的一解.而题（）不仅以二面角为背景，而且将问题的条件加以开放. 它以“对于内异于O的任意一点Q，都有”为条件，反问“二面角的大小”会怎样变化？笔者不经思考，反溯性问题的答案是否唯一呢？从图形的直观上看，似乎钝二面角也有可能符合条件. 当二面角-AB-为钝角时，点在平面内的射影为点，过作的垂线交于，过作的垂线. 则为钝角，, 图3,即.因此，猜测题（）的答案是符合这个范围中的任意一角.或者在问题中加上“范围”二字，答案可为.然而，笔者以上的解法未免缺乏些严谨性.象这样的一道反溯型开放题，学生遇到时又是作何理解的呢？ 笔者做了一个实验，让部分高一实验班的学生来做这个题目，并要求写出解答过程.他们已基本掌握此题所牵涉到的所有知识，或许他们的思路会能给我们些启发.（1）最小角定理，引发合情推理最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角.如图，是平面的斜线，设其与平面所成的线面角为， 线面角只可能是或比小.若其线面角就是，则说明为在平面内的射影，便得到，也就是二面角-AB-为. 图4若其线面角比还小，则说明在平面内的射影不在半平面上（否则半平面内存在点，使得），即二面角-AB-为钝角.此法通过对图形的直观感知，大胆进行合情推理，合乎逻辑，节省答题时间.在高考中，作为填空题的解题策略，非常可取.同时，“直观感知与合情推理”乃是立体几何课程改革中强调的一种非常重要的新理念.它们是人们认识和探索几何图形及其性质的主要方法之一，它们能使学生经历知识的发生、发展过程，使数学学习“返璞归真”.这样的解法更能体现出学生的几何修养及解题智慧（2）构建模型，思辨论证若二面角-AB-为锐角或直角，则斜线在平面内的射影落在半平面内.由于点的任意性，不妨设点在平面内的射影为点.再过作的垂线于，连接. 则 ， . 图5若二面角-AB-为钝角，则斜线在平面内的射影不落在半平面内.不妨设点在平面内的射影为点.再过作的垂线于，连接，并延长至点,连接. 如图，在中，.在中，.作差比较与： 图6又，.而当点在棱上，但不与点重合时，.此法在对图形的直观认知的基础之上，构建模型，进行一定的思辨论证，体现出较强的几何论证能力.（3）抓住特殊，逆向思考若从题（）的结果出发，似乎可以这样逆向思考：当时，二面角-AB-可以是.那还可以是其它角度吗？锐二面角，钝二面角有可能吗？猜想一：当二面角-AB-为锐角时，.猜想二：当二面角-AB-为钝角时，.探究一：当二面角-AB-的大小为时，的大小是否大于等于?探究二：设二面角-AB-的大小为时，的大小是否大于等于?为了便于分析，先建立一般模型（）：在面内，过OP上一点P向棱AB作垂线于H，在面内，过点H作AB的垂线交OQ于点Q，则.又.设，则. 又有： 图7化简得到：即：.解决探究一：即 .由此，猜想一不全正确.解决探究二：即 .由此，得到猜想二的一个有利佐证.从以上思路中，我们也许能看出当时考生的一些想法.在短短的考试时间内，考生要做出较全面