2019_2020学年新教材高中数学第七章复数7.2.2复数的乘、除运算学案新人教A版必修第二册.docx

72.2复数的乘、除运算考点学习目标核心素养复数的乘除运算掌握复数乘除运算的运算法则，能够进行复数的乘除运算数学运算复数乘法的运算律理解复数乘法的运算律逻辑推理解方程会在复数范围内解方程数学运算 问题导学预习教材P77P79的内容，思考以下问题：1复数的乘法和除法运算法则各是什么？2复数乘法的运算律有哪些？3如何在复数范围内求方程的解？1复数乘法的运算法则和运算律(1)复数乘法的运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i(2)复数乘法的运算律对任意复数z1，z2，z3C，有交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z3名师点拨 对复数乘法的两点说明(1)复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行运算，但结果要将实部、虚部分开(i2换成1)(2)多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用2复数除法的运算法则设z1abi，z2cdi(cdi0)(a，b，c，dR)，则i(cdi0)名师点拨对复数除法的两点说明(1)实数化：分子、分母同时乘以分母的共轭复数，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开 判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个复数的积与商一定是虚数()(2)两个共轭复数的和与积是实数()(3)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减()答案：(1)(2)(3) (1i)(2i)()A3iB3iC3i D3i 答案：D (2019高考全国卷)若z(1i)2i，则z()A1i B1iC1i D1i解析：选D.由z(1i)2i，得zi(1i)1i. 复数z的虚部为_解析：zi.答案：复数的乘法运算(1)(1i)(1i)()A1iB1iC.i Di(2)已知a，bR，i是虚数单位，若ai与2bi互为共轭复数，则(abi)2()A54i B54iC34i D34i(3)把复数z的共轭复数记作，已知(12i) 43i，求z.【解】(1)选B.(1i)(1i)(1i)(1i)(1i2)21i.(2)选D.因为ai与2bi互为共轭复数，所以a2，b1，所以(abi)2(2i)234i.(3)设zabi(a，bR)，则abi，由已知得，(12i)(abi)(a2b)(2ab)i43i，由复数相等的条件知，解得a2，b1，所以z2i.复数乘法运算法则的应用复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将i2换成1，并将实部、虚部分别合并多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，如(abi)2a22abib2i2a2b22abi，(abi)3a33a2bi3ab2i2b3i3a33ab2(3a2bb3)i. 1(4i)(62i)(7i)(43i)_解析：(4i)(62i)(7i)(43i)(248i6i2)(2821i4i3)(262i)(3117i)515i.答案：515i2已知zC，为z的共轭复数，若z3i13i，求z.解：设zabi(a，bR)，则abi(a，bR)，由题意得(abi)(abi)3i(abi)13i，即a2b23b3ai13i，则有解得或所以z1或z13i.复数的除法运算计算：(1)；(2).【解】(1)i.(2)1i.复数除法运算法则的应用复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算 1.()Ai BiCi Di解析：选D.i，故选D.2计算：(1)；(2).解：(1)ii0.(2)1i.i的运算性质(1)复数z，则z2z4z6z8z10的值为()A1 B1Ci Di(2)等于_【解析】(1)z21，所以111111.(2)i2 019(i4)504i31504(i)i.【答案】(1)B(2)i(1)i的周期性要记熟，即inin1in2in30(nN*)(2)记住以下结果，可提高运算速度(1i)22i，(1i)22i.i，i.i. 已知z，求z100z501的值解：因为(1i)212ii22i，所以z100z5011(1i)100(1i)501(2i)50(2i)251i50i251i2i1i.在复数范围内解方程在复数范围内解下列方程(1)x250；(2)x24x60.【解】(1)因为x250，所以x25，又因为(i)2(i)25，所以xi，所以方程x250的根为i.(2)法一：因为x24x60，所以(x2)22，因为(i)2(i)22，所以x2i或x2i，即x2i或x2i，所以方程x24x60的根为x2i.法二：由x24x60知424680，所以方程x24x60无实数根在复数范围内，设方程x24x60的根为xabi(a，bR且b0)，则(abi)24(abi)60，所以a22abib24a4bi60，整理得(a2b24a6)(2ab4b)i0，所以又因为b0，所以解得a2，b.所以x2i，即方程x24x60的根为x2i.在复数范围内，实系数一元二次方程ax2bxc0(a0)的求解方法(1)求根公式法当0时，x.当0时，x.(2)利用复数相等的定义求解设方程的根为xmni(m，nR)，将此代入方程ax2bxc0(a0)，化简后利用复数相等的定义求解 1在复数范围内解方程2x23x40.解：因为b24ac32424932230，所以方程2x23x40的根为x.2已知32i是关于x的方程2x2pxq0的一个根，求实数p，q的值解：因为32i是方程2x2pxq0的根，所以2(32i)2p(32i)q0，即2(912i4)(3p2pi)q0，整理得(103pq)(242p)i0，所以解得1若复数(1bi)(2i)是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b()A2BC. D2解析：选D.因为(1bi)(2i)2b(2b1)i是纯虚数，所以b2.2已知i为虚数单位，则复数的模等于()A. B.C. D.解析：选D.因为i，所以|i|，故选D.3计算：(1)；(2)(4i5)(62i7)(7i11)(43i)解：(1)i(1i)1i(i)1 0091ii1.(2)原式(4i)(62i)(7i)(43i)2214i2525i4739i.A基础达标1复数()AiBiC.i D.i解析：选C.因为i21，i3i，i41，所以i.2(2019安徽六安一中模考)设复数z1bi(bR)且z234i，则z的共轭复数的虚部为()A2 B2iC2 D2i解析：选A.z2(1bi)21b22bi34i，所以，所以b2，故z12i，12i.故选A.3若复数z满足i，其中i为虚数单位，则z()A1i B1iC1i D1i解析：选A.由题意i(1i)1i，所以z1i，故选A.4(2019江西赣州寻乌中学期末)若复数2i(其中a，b是实数，i是虚数单位)，则复数abi在复平面内所对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选C.由2i，可得ai(bi)(2i)，即ai2b1(2b)i，所以解得所以复数abi在复平面内所对应的点的坐标为(7，3)，位于第三象限，故选C.5设复数z满足i，则|z|()A1 B.C. D2解析：选A.由i，得zi，所以|z|i|1，故选A.6复数z满足方程i1i，则z_解析：由题意可得i(1i)1i，所以z1i.答案：1i7已知i为虚数单位，若复数z，z的共轭复数为，则z_解析：依题意，得zi，所以i，所以zi(i)1.答案：18设复数z2i，若复数z的虚部为b，则b等于_解析：因为z2i，所以z2i2i2iii，所以b.答案：9计算：(1)(2i)(3i)；(2).解：(1)(2i)(3i)(7i)i.(2)22i.10已知复数z11i，z246i，i为虚数单位(1)求；(2)若复数z1bi(bR)满足zz1为实数，求|z|.解：(1)15i.(2)因为z1bi(bR)，所以zz12(b1)i，因为zz1为实数，所以b10，所以b1，所以z1i，所以|z|.B能力提升11已知复数z1i，则()A2i B2iC2 D2解析：选B.法一：因为z1i，所以2i.法二：由已知得z1i，从而2i.12若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”已知zbi(a，bR)为“理想复数”，则()Aa5b0 B3a5b0Ca5b0 D3a5b0解析：选D.因为zbibi(b)i.由题意知，b，则3a5b0.13在复数范围内，方程x26x100的根为x_解析：因为b24ac62411040，所以x3i.答案：3i14已知z11i，z222i.(1)求z1z2；(2)若，求z.解：(1)因为z11i，z222i，所以z1z2(1i)(22i)4.(2)由，得z，所以zi.C拓展探究15已知复数z满足z(13i)(1i)4.(1